القيمة المتوقعة اللانهائية: هل يلزم أن تظهر نتيجة لانهائية؟

القيمة المتوقعة اللانهائية لا تستلزم نتيجة لانهائية. [1]

الخلاصة السريعة

لا؛ المثال التالي يوضح الفرق. [1]

• نختار عددًا صحيحًا موجبًا N بتوزيع P(N=n)=2^(-n)، ثم نضع X=2^N؛ القيم بلا وحدة. مجموع الاحتمالات 1، وكل قيمة ممكنة منتهية، دون سقف مشترك منتهٍ. [3]
• لكل K≥1 صحيح، مساهمة أول K نتائج هي Σ(n=1..K) 2^n×2^(-n)=K. تكبر المجاميع بلا حد، فتكون القيمة المتوقعة غير منتهية. [1][2]
• نكتب E(X)=+∞ بالمعنى الممتد للمتغير غير السالب. لا يوجد متوسط منتهٍ وفق تعريف المرجع الثاني. سقف مشترك منتهٍ للقيم كان سيضمن متوسطًا منتهيًا. [2]
• للقص إلى صفر: Z_K=X I(N≤K)، حيث I يساوي واحدًا عند تحقق الشرط وصفرًا خلافه. إذن E(Z_K)=K. لا نحذف احتمالات الذيل ولا نعيد توزيعها؛ هذا ليس متوسطًا مشروطًا. [4]
• للسقف Y_K=min(X,2^K)، احتمال N>K هو 2^(-K)، ومساهمته 2^K×2^(-K)=1؛ إذن E(Y_K)=K+1. عند K=2,4,8، متوسطات القص 2,4,8، والسقف 3,5,9. تناقص احتمال الذيل لا يمحو مساهمته. [1][4]

المراجع

1. Stanford: توقع غير منتهٍ
2. Penn State: تعريف التوقع
3. Penn State: التوزيع الهندسي
4. OpenStax: المتوسط الاحتمالي

حساب المتوسط الحسابي

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.