حساب مساحة المضلع بالإحداثيات: رتب الرؤوس وأغلق المسار

الخلاصة السريعة

رتب الرؤوس وأغلق المسار؛ المساحة نصف القيمة المطلقة للفرق بين مجموعي الضرب المتقاطع. [1]

• رتب الرؤوس بالتتابع على الحدود، لا بحسب قيمة x وحدها. [1]
• أغلق المسار بزوج يصل الرأس الأخير بالأول. [1]
• اجمع x للأول × y للتالي، ثم y للأول × x للتالي؛ المساحة = |S1 − S2| ÷ 2. [1]
• في مثالنا A(0,0)، B(5,0)، C(5,3)، D(2,1)، E(0,3): المجموعان 26 و6، والمساحة 10 وحدات مربعة.
• عكس ترتيب مثالنا يعطي فرقًا سالبًا، لكن القيمة المطلقة تبقي المساحة 10؛ وإذا كانت وحدة الطول مترًا فالناتج 10 م².
• الصيغة هنا لمضلع مستوٍ دون تقاطع ذاتي. نتأكد من مثالنا أيضًا: مستطيل مساحته 15 ناقص مثلث مساحته 5 يساوي 10. [1]

ابدأ من المسار لا من قائمة مبعثرة

تشترط الصيغة ترتيب الرؤوس حول حدود المضلع وإغلاق المسار. لا تستخدم ترتيبًا عشوائيًا قد يرسم أضلاعًا متقاطعة. [1]

في الرسم نتحرك من A أسفل اليسار إلى B أسفل اليمين، ثم C أعلى اليمين، ثم D داخل التجويف، ثم E أعلى اليسار، ونعود إلى A. موضع D يجعل الشكل مقعّرًا، لكن أضلاعه في هذا المسار لا تتقاطع. الحرف يحدد الرأس؛ والزوج المرتب يحدد مكانه.

اكتب الأزواج كما هي: الرقم الأول أفقي x والثاني رأسي y. لا تبدل إحداثيي D مثلًا إلى (1,2)؛ لأن ذلك ينقل الرأس ويصنع شكلًا مختلفًا. في مثالنا المحوران بالمقياس نفسه، وكل مربع في الشبكة وحدة مربعة واحدة.

احسب زوجين من الضرب لكل ضلع

لكل ضلع نضرب x للبداية في y للنهاية؛ والعمود الثاني يعكس الأدوار، ثم نجمع العمودين. [1]

نسجل كل انتقال في مثالنا مرة واحدة، بما فيه E → A. الجدول خاص بإحداثياتنا، وليس بيانات مأخوذة من تمرين في المرجع.

لضلع C → D نحصل على 5 × 1 = 5 في العمود الأول، و3 × 2 = 6 في الثاني. أما D → E فيعطي 2 × 3 = 6، و1 × 0 = 0. الأصفار في الصفوف الأخرى نتائج ضرب فعلية؛ لا نحذف الرأس لأنه يقع على أحد المحورين.

اجمع العمودين ثم احسب المساحة

العمود الأول: S1 = 0 + 15 + 5 + 6 + 0 = 26. العمود الثاني: S2 = 0 + 0 + 6 + 0 + 0 = 6. إذن الفرق 26 − 6 = 20، والمساحة |20| ÷ 2 = 10 وحدات مربعة. خذ القيمة المطلقة للفرق الكامل؛ لا تحول فروق كل صف إلى قيم موجبة قبل جمعها.

يمكنك التحقق من الخطأ الأخير بأرقامنا: فروق الصفوف هي 0، 15، −1، 6، 0. مجموعها 20؛ أما جمع قيمها المطلقة فيعطي 22 ثم مساحة خاطئة مقدارها 11. لذلك لا تضع علامة القيمة المطلقة داخل مجموع الصفوف.

ماذا يحدث إذا عكست الاتجاه؟

أعد المثال بالمسار A → E → D → C → B → A. يصبح مجموع العمود الأول 6 والثاني 26، فيكون الفرق −20. بعد القيمة المطلقة والقسمة على 2 تبقى المساحة 10. هذه مراجعة حسابية لنفس الشكل، لا تغيير في مواضع رؤوسه.

يمكن أيضًا البدء من D واتباع D → E → A → B → C → D؛ يعيد ذلك ترتيب الصفوف دون تغيير مجموعها. البدء من رأس آخر يختلف عن تبعثر الرؤوس: في الحالة الأولى تحفظ كل ضلع، وفي الثانية قد تنشئ أضلاعًا لم تكن في الشكل الأصلي.

راجع النتيجة بمستطيل ناقص مثلث

نحيط شكلنا بمستطيل عرضه 5 وارتفاعه 3، فتكون مساحته 15. المنطقة التي ينقصها المضلع من أعلى المستطيل مثلث رؤوسه E وD وC. قاعدته EC طولها 5، وارتفاعه العمودي من D إلى خط y = 3 يساوي 2.

مساحة الجزء الناقص: 5 × 2 ÷ 2 = 5. نطرحه من المستطيل: 15 − 5 = 10. تتفق النتيجة مع جدول الإحداثيات. الارتفاع 2 هنا ليس طول الضلع المائل DC أو DE؛ إنه المسافة العمودية من D إلى القاعدة الأفقية.

هذه المراجعة تصلح لترتيبنا المحدد، الذي ينقصه مثلث واحد من مستطيل. لا تفترض أن كل مضلع مقعّر سيقبل الطرح نفسه؛ إذا رسمت شكلًا آخر فحدد المناطق الناقصة فعلًا قبل استعمال هذا التحقق.

دوّن الوحدة وحدود المسألة

تعاملنا مع إحداثيات طول في مستوى واحد وبوحدة مشتركة. إذا كانت كل خطوة على المحور تساوي مترًا، فالنتيجة في مثالنا 10 م²؛ وإذا كانت سنتيمترًا تصبح 10 سم². لا تكتب وحدة طول مفردة بجانب المساحة.

موضوع هذا الدرس شكل له حدود واحدة دون ثقوب، وأضلاعه لا تتقاطع ذاتيًا. إذا تغير الرسم أو ترتيب رؤوسه، ارسم المسار مجددًا قبل الحساب. لا تستخدم جدولنا لإحداثيات جغرافية أو مساحة أرض على سطح منحنٍ؛ نحن نحل مسألة هندسية مستوية.

في دفتر الحل اكتب قائمة الرؤوس المرتبة، وصف الإغلاق، ومجموعي العمودين، والفرق، والقيمة المطلقة، ووحدة المساحة. هذه السلسلة تجعل مراجعة الخطأ ممكنة؛ فالنتيجة «10» وحدها لا تبين هل حُفظ الشكل الأصلي أو أُسقط ضلع الإغلاق.