المبرهنة اليابانية: مجموع أنصاف الأقطار عند تثليث الرباعي

الخلاصة السريعة

إذا قسمنا مضلعًا محدبًا تقع رؤوسه على دائرة إلى مثلثات، فإن مجموع أنصاف أقطار دوائرها الداخلية مستقل عن طريقة التقسيم. [1]

• نختار A=(5,0)، B=(0,5)، C=(−5,0)، D=(3,−4). الرؤوس على x²+y²=25 وبالترتيب حول الحد؛ AC و BD يقسمان الرباعي بطريقتين، كل منهما إلى مثلثين.
• نحسب نصف القطر الداخلي من r=K/s، حيث K مساحة المثلث و s نصف محيطه. [2] في المثال تعطي المساحات 25 و 20 على AC، و 15 و 30 على BD، فيبقى مجموع مساحة المثلثات 45.
• على AC، نصفا القطر r1=5√2−5 و r2=3√5−5. المجموع 5√2+3√5−10، أي نحو 3.7793 وحدة طول؛ لا نقسم هذا المجموع على عدد الدوائر.
• على BD، القيمتان نحو 1.4265 و 2.3527. حسابهما الدقيق يعطي المجموع نفسه 5√2+3√5−10، رغم اختلاف كل قيمة عن قيم التقسيم الأول. المبرهنة تثبت المجموع، لا الدوائر منفردة.
• مساحة كل قرصπr². مجموع مربعي نصفَي القطر نحو 7.2073 في التقسيم الأول و 7.5704 في الثاني؛ لذلك مجموع مساحة القرصين مختلف، مع ثبات مجموع أنصاف القطر.
• شرطا المحدبية ووقوع الرؤوس على دائرة جزء من المبرهنة. [1] التكبير بعامل 2 يضاعف مجموع أنصاف القطر، ويزيد مساحات الأقراص أربع مرات. النقل والدوران يحفظان الأطوال؛ لا نقدم هنا برهانًا عامًا أو عكس المبرهنة.

تحقق من الرباعي وحدد التقسيمين

الرؤوس A=(5,0)، B=(0,5)، C=(−5,0)، D=(3,−4) تبعد 5 عن O=(0,0). مربعات المسافات هي 25 و 25 و 25 و 9+16=25. الدائرة المحيطة إذن x²+y²=25، وليست واحدة من الدوائر الداخلية الصغيرة التي سنرسمها في المثلثات.

نصل الرؤوس بالترتيب A ثم B ثم C ثم D ثم A. اتجاه الانعطاف عند كل رأس واحد، والقطران داخل الشكل المحدب. رسم AC يعطي ABC و ACD، ورسم BD يعطي ABD و BCD. لا نرسم القطرين معًا ثم نعد المناطق الأربع مقارنة بالتقسيمين المطلوبين.

الأطوال AB=BC=5√2، AD=2√5، CD=4√5. القطر AC=10، والقطر BD=3√10. مثلًا BD²=(3−0)²+(−4−5)²=90، بينما AD²=(3−5)²+(−4−0)²=20. هذه أرقام مؤلفة يمكن مراجعتها بعيدًا عن قياس الصورة.

المضلع ثابت في اللوحتين: الرؤوس والدائرة المحيطة والمقياس نفسه. الذي نغيره هو القطر الداخلي وطريقة تجميع المنطقة إلى مثلثات. لا نغير الشكل حتى نصنع مساواة جديدة بين مجموعين.

استخرج نصف القطر من المساحة ونصف المحيط

للمثلث، نصف القطر الداخلي r=K/s، و s نصف مجموع أطوال أضلاعه. [2] هذا r مسافة عمودية من مركز الدائرة الداخلية إلى ضلع، وليس المسافة إلى رأس، ولا نصف قطر الدائرة التي تمر برؤوس الرباعي.

الدائرة الداخلية تمس أضلاع المثلث، فيكون بعدها العمودي عنها واحدًا. [2] تصل مساحة المثلث من جمع ثلاث مساحات صغيرة قاعدتها أضلاعه وارتفاعها r إلى K=r(a+b+c)/2=rs. بذلك يمكن مراجعة العلاقة قبل استعمالها في مثالنا.

على AC، مساحة ABC هي 10×5/2=25، ومساحة ACD هي 10×4/2=20. وعلى BD، حساب المساحة بالإحداثيات يعطي 15 للمثلث ABD و 30 للمثلث BCD. كلا التقسيمين يغطي الرباعي نفسه بمجموع 45 وحدة مربعة.

نصف محيط ABC هو 5+5√2، ونصف محيط ACD هو 5+3√5. أما ABD فنصف محيطه (5√2+2√5+3√10)/2، و BCD نصف محيطه (5√2+4√5+3√10)/2. يدخل القطر المناسب ضمن أضلاع كل مثلث، رغم أنه ليس ضلعًا خارجيًا للرباعي.

احسب دائرتَي التقسيم الأول

نقسم 25 على 5+5√2 فنجد r1=5/(1+√2)=5√2−5. ضرب البسط والمقام في√2−1 يجعل المقام 1. هذه قيمة موجبة نحو 2.0711، ومركز الدائرة I1=(0,5√2−5)؛ بعدها عن AC يساوي نصف القطر نفسه.

للمثلث ACD نحصل على r2=20/(5+3√5)=3√5−5. لأن (5+3√5)(3√5−5)=45−25=20، فإن الاختزال دقيق. مركز الدائرة I2=(√5,5−3√5)، أسفل AC، ونصف القطر نحو 1.7082.

نجمع القيمتين: r1+r2=5√2+3√5−10. لم نضع القطر 10 مكان r، ولم نضف نصف قطر الدائرة المحيطة 5. في الرسم يظهر عمود من كل مركز إلى AC، لتكون فتحة الدائرة مسافة إلى ضلع، ويختلف موقعا المركزين ونصفا القطر.

إذا قربنا القيم منفردة إلى أربع منازل ثم جمعنا، يظهر 3.7793 أيضًا هنا، لكن الاتفاق العشري ليس البرهان. نحتفظ بالجذور حتى آخر الحساب، لأننا سنقارن بتقسيم آخر له أنصاف أقطار مختلفة.

غير القطر وأعد الحساب كاملًا

في ABD المساحة 15، ونصف المحيط المذكور يعطي r3=30/(5√2+2√5+3√10). وفي BCD المساحة 30، فيكون r4=60/(5√2+4√5+3√10). اختلاف المساحتين والمحيطين يجعل القيمتين مختلفتين عن r1 و r2.

لتبسيط الجذور نضع u=(5√2−√10)/2 و v=(5√2+√10)/2. الاختزال يعطي r3=u+2√5−5 و r4=v+√5−5. يمكن التحقق بضرب كل تعبير في نصف محيط المثلث المقابل؛ الناتجان 15 و 30، فلا نعتمد على التقريب فقط.

عند الجمع يختفي حد√10، لأن u+v=5√2. لذلك r3+r4=5√2+3√5−10، وهو مجموع التقسيم الأول بالضبط. القيمتان تقريبيًا 1.4265 و 2.3527؛ تساوي المجموع لا يجعل أيًا منهما مساويًا لنصف قطر دائرة في اللوحة الأولى.

الجدول يربط كل مثلث بمساحته ونصف قطره المقرب. مراكز I3 و I4 في اللوحة الثانية تقع داخل المثلثين، وأنصاف القطر إلى BD عمودية عليه. نراجع التماس مع الأضلاع الثلاثة في الحساب، لا بمظهر دائرة قريبة من ضلع فقط.

لا تستبدل مجموع الأطوال بمجموع المساحات

في التقسيم الأول r1²+r2²=145−50√2−30√5، أي نحو 7.2073. وفي الثاني r3²+r4²=105−55√2−30√5+15√10، أي نحو 7.5704. القيمتان مختلفتان، لذلك مجموع مساحة القرصينπ(r1²+r2²) لا يساويπ(r3²+r4²).

الفرق بين معامليπ هو 40+5√2−15√10، وهو سالب وغير صفري في هذا المثال. أي إن مجموع مساحة القرصين في التقسيم الثاني أكبر. الدوائر في كل تقسيم داخل مثلثات منفصلة، ولا يتداخل باطن القرصين، فيصح جمع مساحتيهما.

تربيع مجموع نصفَي القطر ليس مجموع مربعيهما: (r1+r2)²=r1²+r2²+2r1r2. الحد الأخير يتغير عندما تتوزع القيمة الثابتة على نصفَي قطر مختلفين. لذلك حفظ مجموع الأطوال لا يحفظ مساحة المنطقة الملونة داخل الدوائر.

إذا سألت المسألة عن المجموع 3.7793، فاكتب وحدة طول. وإذا سألت عن مجموع مساحات الأقراص، فاحتفظπ واكتب وحدة مربعة. أما مساحة الرباعي 45 فهي مقدار ثالث؛ لا تساوي مجموع مساحة الدوائر التي تمس أضلاع مثلثاته.

راجع الشرط والمقياس ونوع النتيجة

الثابت في المبرهنة هو مجموع أنصاف أقطار مثلثات تثليث مضلع محدب دائري. [1] لا نضع نقطة داخل المضلع ونقسمه إلى مثلثات معها ثم ندعي أن هذا هو التثليث المقصود؛ الرؤوس في التقسيم هنا رؤوس المضلع نفسه.

إذا كبرنا جميع إحداثيات المثال بعامل 2، تكبر أطوال الأضلاع وأنصاف القطر مرتين، فتكون القيمة الجديدة 10√2+6√5−20. مساحات المثلثات والأقراص تكبر أربع مرات. لا تبقى القيمة العددية للمجموع الأصلي ثابتة بعد تغيير حجم المضلع.

الإزاحة بمقدار (2,−1) تنقل المركز المحيط إلى (2,−1)، والرؤوس إلى (7,−1)، (2,4)، (−3,−1)، (5,−5). كل مسافة داخل الشكل محفوظة، وكذلك مجموع أنصاف القطر. الدوران يحفظ هذه الأطوال أيضًا، دون حاجة إلى إعادة تقريب الجذور.

الحساب السابق تحقق كامل للمثال المؤلف. المبرهنة العامة موثقة في المرجع الأول؛ لم نبرهنها لكل مضلع، ولم نعتمد عكسها أو نتيجة أخرى عن ترتيب مراكز الدوائر. ابدأ بإثبات شرط الرؤوس والمحدبية، ثم حدد المثلثات والمقدار الذي تجمعه.