الوسيط المتحرك: متى يزيل النبضة ومتى يحفظها؟

رتب القيم داخل النافذة

تستخدم الطريقة المرجعية وسيط عينة الإشارة وجيرانها لاستبدال تلك العينة. [1]

نختار نوافذ كاملة من خمس قيم حقيقية منتهية، بلا قيم مفقودة. في كل نافذة نرتب القيم تصاعديًا ثم نختار القيمة الثالثة. لا نغير ترتيب السجل الأصلي؛ الترتيب نسخة محلية للحساب، ثم نسند الناتج إلى موضع النافذة الذي حددناه.

اختر نافذة [3,3,27,3,3]. ترتيبها [3,3,3,3,27]، فوسطها 3. العينة الثالثة في الترتيب الزمني هي 27؛ اختيارها مباشرة يترك النبضة لأننا لم نحسب الوسيط بعد.

للمقارنة نجمع القيم نفسها: 3+3+27+3+3=39، ونقسم على خمسة، فيكون المتوسط 39/5=7.8. الحسابان يجيبان عن سؤالين مختلفين؛ زيادة القيمة الكبيرة تغير الجمع، لكن ترتيب الوسط هنا ما زال يحمل 3.

إذا استبدلنا 27 بأي قيمة حقيقية A، بقيت أربع نسخ من 3 في النافذة، فيبقى الوسيط 3. أما المتوسط فيصير (12+A)/5، ويمكن أن يكبر أو يصغر دون حد بتغيير A. هذا اشتقاق للمثال، لا ضمان لكل نوع من الضوضاء.

عدد القيم المخالفة أهم من ارتفاعها وحده

نافذة [3,27,27,3,3] تحتوي ثلاث نسخ من 3 ونسختين من 27. ترتيبها [3,3,3,27,27]، فوسطها 3، ومتوسطها (9+54)/5=63/5=12.6.

لكن [3,27,27,27,3] تحتوي ثلاث نسخ من 27؛ ترتيبها [3,3,27,27,27]، فوسطها 27، ومتوسطها (6+81)/5=87/5=17.4. لم نرفع قيمة النبضة بين المثالين؛ غيرنا عدد مرات ظهورها في النافذة.

إذا احتوت نافذة خمسية ثلاث نسخ على الأقل من c، فلا يمكن أن يكون فيها أكثر من قيمتين أصغر من c، ولا أكثر من قيمتين أكبر منه. لذلك لا تقع القيمة الثالثة قبل c أو بعده؛ إنها c. هذا البرهان يسمح للقيمتين الأخريين أن تكونا على جانبي c أو على الجانب نفسه.

وبصورة عامة، في نافذة فردية طولها 2r+1، حيث r عدد صحيح غير سالب، إذا وجدت r+1 نسخ على الأقل من c، فالرتبة الوسطى r+1 تحمل c. الشرط يتعلق بهذه النافذة؛ لا نعد النسخ في السجل كله ثم نفترض أنه ينطبق على كل موضع.

هناك شرط أضعف مفيد: إذا وقعت ثلاث قيم على الأقل من نافذة خمسية في [L,U]، فلا يمكن أن يقع الوسيط خارج هذا المجال. فوجود وسيط أصغر من L يتطلب ثلاث قيم أصغر من L، ووجوده أكبر من U يتطلب ثلاث قيم أكبر من U؛ كلاهما يخالف الشرط.

مثلًا في [2,3,4,−50,100] توجد ثلاث قيم في [2,4]، والترتيب [−50,2,3,4,100] يعطي وسيطًا 3. مع ذلك، العدد وحده لا يثبت أن قيم المجال صحيحة أو أن القيم البعيدة أخطاء قياس.

حدث قصير قد يختفي وعدم الخطية يظهر في الجمع

لنعلن الآن نافذة مركزية من ثلاث عينات: عند الفهرس n نأخذ x[n−1] وx[n] وx[n+1]. نفترض سجلًا على جميع الفهارس الصحيحة، وخط أساس قيمته 3؛ فلا توجد أطراف في هذه المقارنة.

إذا كانت x[0]=27 وحدها، وبقية القيم 3، فكل نافذة تتأثر بهذا الموضع تحوي نسخة واحدة من 27 ونسختين من 3. وسيطها 3، ولذلك تختفي العينة العالية تمامًا من الناتج.

أما إذا كانت x[0]=x[1]=27، وبقية القيم 3، فنافذة الموضع 0 هي [3,27,27] ونافذة الموضع 1 هي [27,27,3]؛ وسطاهما 27. عند الموضع −1 أو 2 توجد نسخة واحدة من 27، فيرجع الناتج إلى 3. يبقى الارتفاع ذو العينتين في موضعيه.

تصف هذه الأعداد شكلًا محليًا، ولا تحدد سبب الارتفاع. قد تكون العينة المنفردة حدثًا نريد حفظه، لا تشويشًا نريد إزالته. لذلك نحتفظ بالسجل الأصلي ونراجع أثر طول النافذة على الأحداث المهمة قبل اعتماد النسخة المرشحة.

ولفحص الخطية نختار النافذتين A=[0,0,2] وB=[0,2,0]. وسيط كل واحدة صفر، فجمع الوسيطين صفر. لكن جمع القيم المناظرة يعطي A+B=[0,2,2]، ووسيط هذه النافذة 2؛ إذن وسيط المجموع لا يساوي مجموع الوسيطين.

تكفي هذه الحالة لنقض خاصية الجمع المطلوبة للخطية. لذلك لا نستنتج أثر الوسيط على أي إشارة من استجابة نبضة واحدة باستخدام الالتفاف الخطي، ولا نفترض له منحنى استجابة ترددية ثابتًا مستقلًا عن البيانات. هذا لا يمنع دراسة أثره على إشارات محددة، لكنه يغير أداة التحليل.

حدد موضع النافذة وقاعدة الأطراف

تتيح movmedian نافذة مركزية أو نافذة تحدد عدد الجيران السابقين واللاحقين. كما تتيح تقليص النافذة عند الأطراف أو استبعاد الناتج غير الكامل أو ملء القيم غير الموجودة. [2]

في سجل متزايد x[n]=n معرف على جميع الفهارس الصحيحة، ترتيب النافذة المركزية [n−1,n,n+1] هو ترتيبها الزمني نفسه، فيكون الوسط n. لكن حسابه عند n يحتاج معرفة العينة n+1؛ في تدفق مباشر ننتظر وصولها أو نختار قاعدة أخرى.

النافذة المتأخرة ذات الثلاث عينات هي [x[n−2],x[n−1],x[n]]. في السجل نفسه تصبح [n−2,n−1,n] ووسطها n−1. هنا فرق عينة واحدة على هذا السجل المتزايد تحديدًا؛ لا نصف كل ناتج للوسيط بأنه مجرد تأخير ثابت.

عند أول عينة من السجل القصير [27,3,3]، لا تتوفر عينة سابقة للنافذة المركزية الثلاثية. إذا قصرنا الحساب على الموجود [27,3]، صارت النافذة زوجية، واستخدمنا متوسط الوسطيتين: (3+27)/2=15. هذا التعريف الزوجي لا يختار 3 أو 27 وحدها.

إذا ملأنا الموضع السابق بصفر، حسبنا وسط [0,27,3] وهو 3. وإذا كررنا أول قيمة، حسبنا وسط [27,27,3] وهو 27. وإذا اشترطنا نافذة كاملة فقط، لم نعط ناتجًا عند هذا الموضع. كل رقم يخص قاعدة معلنة، فلا نسمي الاختلاف خطأ تقريب.

اخترنا قيمًا افتراضية ونحسب النوافذ مستقلًا؛ لم ننفذ medfilt1 أو movmedian على جهاز قياس. أسماء الدوال لا تعني تطابق كل إعدادات الأطراف أو القيم المفقودة. دوّن حجم النافذة واتجاهها وسياسة حدود السجل مع الناتج، وأبقِ الأصل متاحًا للمراجعة.