لوحة من صفين وخمسة أعمدة تحتاج إلى خمس قطع، لكن عدد القطع لا يساوي عدد طرق ترتيبها. نثبت اتجاه اللوحة، ونغطي خلاياها بقطع متطابقة، كل قطعة تغطي خليتين متجاورتين. سنعد الترتيبات، ونرى لماذا يساعد شكل أول قطعة في تقسيم المسألة.
الخلاصة السريعة
لمستطيل ثابت من صفين وخمسة أعمدة توجد 8 طرق باستخدام خمس قطع دومينو، كل منها يغطي خليتين. العدد يحصي حدود القطع في مواضعها، ولا يحصي تبديل ألوانها أو أسمائها.
- تبليط مستطيل من صفين بقطع 2×1 مرتبط بأعداد فيبوناتشي. [1] في مثالنا 2×5، التعداد الكامل يعطي 8 طرق.
- عند الركن العلوي الأيسر توجد حالتان: قطعة رأسية تشغل عمودًا، أو قطعة أفقية تفرض قطعة أفقية أخرى تحتها فتشغلان عمودين.
- تبقى لوحة 2×4 في الحالة الأولى ولها 5 طرق، أو 2×3 في الثانية ولها 3 طرق؛ المجموع 5 + 3 = 8، دون تداخل بين الحالتين.
- إذا رمزنا للعدد عند عرض n بالرمز T(n)، فالعلاقة T(n) = T(n−1) + T(n−2) تبدأ عند n ≥ 2. نستخدم T(0) = 1 و T(1) = 1؛ فالجزء الفارغ له إكمال واحد بلا إضافة قطعة.
- القيم من العرض 0 إلى 5 هي 1، 1، 2، 3، 5، 8. كل ترتيب يغطي 10 خلايا بخمس قطع دون فراغ أو تراكب؛ الصورة تعرض الطرق الثماني كاملة.
- نثبت مواضع اللوحة: الانعكاس يعد ترتيبًا آخر إذا غير حدود القطع. الألوان للتوضيح فقط. النتيجة تخص صفين وقطع خليتين؛ لا تشمل قطعًا بشكل L أو قواعد لعبة الدومينو ذات النقاط.
حدد ما تعده قبل الحساب
تربط MathWorld عدد تبليطات مستطيل 2×n بقطع 2×1 بالعدد F(n+1) من فيبوناتشي. [1] هنا نثبت العد مباشرة في لوحة صغيرة، بدل الاكتفاء باسم المتتابعة.
خلايا مثالنا مربعة، والقطعة مستطيل يغطي خليتين متجاورتين أفقيًا أو رأسيًا. اللوحة ثابتة من صفين وخمسة أعمدة. لا نترك خلية مكشوفة، ولا نسمح بتراكب قطعتين. نستعمل خمس قطع متطابقة لأن 10 خلايا مقسومة على خليتين لكل قطعة تساوي 5.
الترتيب المختلف هو الذي تتغير فيه حدود القطع في مواضع اللوحة. إذا قلبت ترتيبًا يمينًا ويسارًا وأصبحت الحدود مختلفة، نعد الناتج ترتيبًا آخر. أما تبديل أسماء القطع أو ألوانها مع بقاء الحدود نفسها فلا يزيد العدد. هذا الاتفاق ضروري لفهم معنى 8 طرق.
أول خلية تقسم الحل إلى حالتين
ابدأ بالخلية العلوية اليسرى. إذا غطتها قطعة رأسية، فقد شغلت خليتي العمود الأول وبقي مستطيل من صفين وأربعة أعمدة. وإذا غطتها قطعة أفقية، فقد شغلت الخليتين العلويتين في أول عمودين.
في الحالة الأفقية، الخلية السفلية اليسرى لا تقبل قطعة رأسية: الخلية التي فوقها مشغولة. ولا توجد خلية إلى يسارها. لذلك يجب أن تمتد قطعة أفقية إلى الخلية السفلية في العمود الثاني. أصبح أول عمودين ممتلئين، وبقي مستطيل من صفين وثلاثة أعمدة.
كل ترتيب يبدأ بإحدى هاتين الحالتين حصرًا. لا يمكن أن يبدأ برأسية وأفقية في الوقت نفسه. ولكل تبليط صحيح للجزء المتبقي إكمال وحيد بإضافة البداية المحددة. لهذا نجمع عدد إكمالات العرض 4 وعدد إكمالات العرض 3، ولا نضربهما.
لماذا نبدأ من جزء فارغ؟
ليكن T(n) عدد تبليطات لوحة من صفين وعرض n، حيث n عدد صحيح غير سالب. الحالتان السابقتان تعملان لكل n ≥ 2، وتعطيان T(n) = T(n−1) + T(n−2). في العرض 1 توجد قطعة رأسية واحدة فقط، لذلك T(1) = 1.
عند العرض 0 لا توجد خلايا متبقية. هناك إكمال واحد: لا تضف شيئًا. لذلك T(0) = 1؛ لا يعني هذا وجود قطعة ذات عرض صفر. يظهر أثره في العرض 2: إما رأسيّتان، أو أفقيّتان فوق بعضهما، فتكون T(2) = 1 + 1 = 2.
نحسب بعد ذلك T(3) = 2 + 1 = 3، ثم T(4) = 3 + 2 = 5، وأخيرًا T(5) = 5 + 3 = 8. لا نستعمل T(−1)، لأن العلاقة تبدأ من العرض 2. يعرض الجدول بداية العد وفق اتفاقنا للجزء الفارغ.
| العرض بالأعمدة | عدد التبليطات |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 5 |
| 5 | 8 |
اقرأ الطرق الثماني في الصورة
للتسجيل المختصر نستخدم V لقطعة رأسية تشغل عمودًا، و H لزوج من قطعتين أفقيتين يشغل عمودين. نقرأ الرموز من يسار اللوحة إلى يمينها. الحرف H لا يعني قطعة واحدة؛ يحتاج زوجًا كي يمتلئ الصفان.
التسجيلات الثمانية هي: VVVVV، VVVH، VVHV، VHVV، HVVV، VHH، HVH، HHV. في كل تسجيل نجمع 1 لكل V و 2 لكل H فنجد العرض 5. الصورة الرئيسية ترسم كل تسجيل بحدود قطعه، والألوان تساعد على تمييز القطع فقط.
الطرق الخمس التي تبدأ V تقابل إكمالات العرض 4؛ والطرق الثلاث التي تبدأ H تقابل إكمالات العرض 3. بذلك تطابق القائمة العملية تقسيم 5 + 3. فحصنا أيضًا كل خلية على حدة: كل ترتيب فيه خمس قطع صحيحة، يغطي الخلايا العشر مرة واحدة.
متى يتغير سؤال العد؟
إذا اعتبرت الصورة وانعكاسها ترتيبًا واحدًا، فقد غيرت معيار الاختلاف؛ العدد 8 لا يجيب عن ذلك السؤال. مثال VHH يختلف عن HHV في موضع العمود الرأسي، فنعدهما هنا مرتين لأن اللوحة ثابتة.
وإذا أضفت قطعة من ثلاث خلايا بشكل L، أو استعملت لوحة بثلاثة صفوف، فلا تكفي الحالتان اللتان أثبتناهما. كذلك لا تدخل أرقام لعبة الدومينو أو شروط وصل النقاط في مسألة تغطية الخلايا هذه.
للمراجعة، حدد صفين وعرضًا صحيحًا، ثم افحص حدود القطع لا أسماءها. تحقق من قيمتي البداية ومن تغطية كل خلية مرة واحدة. عدد القطع في مثالنا 5، وعدد الترتيبات 8؛ الفصل بين هذين العددين يمنع خطأ شائعًا في قراءة المسألة.
اقرأ أيضًا: تعريف النسبة الذهبية: كيف تحسبها وتفهم معناها
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.