تحليل تشولسكي: حل النظام بمثلثين وافحص الجذر الأخير

احسب العامل بالمطابقة

نقصد موجبة التعريف: uᵀAu>0 لكل متجه حقيقي u≠0. التحليل ذو القطر الموجب موجود ووحيد للمصفوفة المتناظرة موجبة التعريف. [1]

نعمل بـA=[[4,2,−2],[2,10,5],[−2,5,9]]. نكتب L=[[l₁₁,0,0],[l₂₁,l₂₂,0],[l₃₁,l₃₂,l₃₃]] ونطابق حاصل LLᵀ مع A؛ هذا أصل حساب العامل. [2]

من l₁₁²=4 نختار l₁₁=2. ثم2l₂₁=2 يعطي l₂₁=1، و2l₃₁=−2 يعطي l₃₁=−1. الإشارة السالبة خارج القطر لا تمنع التحليل.

الخانة الثانية القطرية تعطي1²+l₂₂²=10، فنأخذ l₂₂=3. ثم l₃₁l₂₁+l₃₂l₂₂=5، أي−1+3l₃₂=5، فيكون l₃₂=2.

أخيرًا(−1)²+2²+l₃₃²=9، فنأخذ l₃₃=2. بذلك L=[[2,0,0],[1,3,0],[−1,2,2]]؛ الجذر الأخير يعتمد على ما طرحناه، وليس على9 وحده.

حل مثلثًا ثم منقوله

من A=LLᵀ نحل Ly=b أولًا، ثم Lᵀx=y. النظام الأول سفلي، والثاني علوي. [3]

نختار b=(−6,−3,15). من2y₁=−6 نجد y₁=−3؛ ثم y₁+3y₂=−3 يعطي y₂=0. أخيرًا−y₁+2y₂+2y₃=15، أي3+2y₃=15، فيكون y₃=6.

في Lᵀx=y نبدأ من الأسفل: 2x₃=6 يعطي x₃=3. ثم3x₂+2x₃=0 يعطي x₂=−2. ومن2x₁+x₂−x₃=−3 نجد x₁=1.

نراجع النظام الأصلي: 4×1+2×(−2)−2×3=−6؛ و2×1+10×(−2)+5×3=−3؛ و−2×1+5×(−2)+9×3=15. لا يكفي فحص معادلة مثلثية واحدة وحدها.

أثبت الشرط في المثال

حاصل LLᵀ يعيد A: أول صف(4,2,−2)، والثاني(2,1+9,−1+6)=(2,10,5)، والثالث(−2,5,1+4+4)=(−2,5,9).

نحسب مباشرة uᵀAu=(2u₁+u₂−u₃)²+(3u₂+2u₃)²+(2u₃)². كل حد غير سالب. إذا كان المجموع صفرًا، فالحد الأخير يفرض u₃=0، ثم الثاني يفرض u₂=0، ثم الأول يفرض u₁=0.

إذن لا ينعدم المجموع إلا للمتجه الصفري، فتثبت الإيجابية لكل u≠0، لا لثلاثة متجهات مختارة فقط. وهذا البرهان يفسر لماذا نجحت الجذور الثلاثة في المثال.

كما أن det(L)=2×3×2=12، وdet(A)=12²=144. الرقم144 فحص إضافي للحساب؛ البرهان السابق هو الذي تحقق من الإيجابية لكل اتجاه. [1]

غيّر الخانة الأخيرة

أبقِ جميع الخانات كما هي واستبدل a₃₃=9 بـt. يظل أول عمودين من العامل المحسوب كما هما، لكن l₃₃²=t−1−4=t−5.

الصيغة التربيعية الجديدة هي(2u₁+u₂−u₃)²+(3u₂+2u₃)²+(t−5)u₃². للمثال w=(5,−4,6)، ينعدم المربعان الأولان، فيكون wᵀAₜw=36(t−5).

عند t=4 تكون القيمة−36، فلا تكون A₄ موجبة التعريف. مع ذلك قطرها4،10،4 موجب، ومحددها36(4−5)=−36 غير صفري. وجود المعكوس والقطر الموجب لم يمنعا الجذر√(−1).

عند t=5 يوجد العامل L₅=[[2,0,0],[1,3,0],[−1,2,0]] ويحقق A₅=L₅L₅ᵀ، لكن قطره الأخير صفر والمصفوفة منفردة. المجموع التربيعي غير سالب، وينعدم عند w≠0؛ فهي شبه موجبة التعريف. لا نعمم فشل القطر الموجب إلى استحالة أي حاصل LLᵀ. [1]

عند t>5، يكون المجموع موجبًا لكل متجه غير صفري بالحجة نفسها، ويصبح الجذر الأخير موجبًا. إذا ظهر عدد سالب تحت الجذر في هذه الحسابات الدقيقة، فلا نستبدله بقيمته المطلقة لتكملة العامل.