تحويل هيلبرت: مقدار الإشارة التحليلية ليس القيمة المطلقة للعينة

كوّن إشارة مركبة بدل تقويم العينات

المرجع يحدد بناء الإشارة التحليلية عبر DFT. [1]

نختار أربع عينات حقيقية منتهية x[0] إلى x[3]، متساوية التباعد، بلا قيم مفقودة. نكتب i²=−1. اصطلاحنا X[k]=Σₙ₌₀³x[n]e^(−i2πkn/4)، والتحويل العكسي يقسم المجموع على 4 ويستعمل الأس الموجب.

للطول 4، نكوّن Z=[X[0],2X[1],X[2],0] ثم نحسب التحويل العكسي. k=0 للثابت، وk=2 لنايكويست؛ نحفظهما. k=1 موجب وk=3 يمثل السالب، فلا نضاعف المعاملين معًا. [1]

لنشتق الناتج بدل الاكتفاء باسم الدالة. معاملات DFT العامة هي X[0]=x0+x1+x2+x3، وX[1]=x0−ix1−x2+ix3، وX[2]=x0−x1+x2−x3، وX[3]=x0+ix1−x2−ix3؛ نستعمل x0 اختصارًا لـx[0].

بعد الضرب والتحويل العكسي، الجزء الحقيقي هو [x0,x1,x2,x3] والجزء التخيلي [(x3−x1)/2,(x0−x2)/2,(x1−x3)/2,(x2−x0)/2]. إذن Hx[n]=(x[n−1]−x[n+1])/2 عند تفسير الفهارس بترديد 4.

الناتج z=x+iHx؛ نستعيد x من Re(z). تحويل هيلبرت هو Im(z)؛ حفظه وحده قد يفقد معلومات الأصل.

مقدار ثابت رغم مرور العينة بالصفر

يحسب مرجع استخراج الغلاف المقدار المطلق للإشارة التحليلية. [2] سنستخدم المقدار في مثال عددي محدد.

لعدد مركب z=x+iq، يكون |z|=√(x²+q²). لذلك لا يساوي |x| عمومًا؛ يتساويان فقط إذا كان q=0. هذه العلاقة هندسة العدد المركب، ولا تحتاج افتراض جهاز قياس.

اختر x[n]=2cos(πn/2) عند n=0,1,2,3. القيم [2,0,−2,0] ومعاملات DFT هي [0,4,0,4]. بعد الضرب تصبح [0,8,0,0]؛ بالعكس نجد z=[2,2i,−2,−2i].

الجزء التخيلي [0,2,0,−2] يكمل الجزء الحقيقي؛ مجموع مربعيهما 4 في كل موضع، فيكون |z|=2. أما تقويم العينات وحدها، أي |x|، فيعطي [2,0,2,0]. مرور العينة الحقيقية بالصفر لا يجعل المقدار التحليلي صفرًا في هذا المثال.

الآن أضف ثابتًا 3 إلى العينات. يصبح السجل [5,3,1,3] ومعاملاته [12,4,0,4]. الجزء التخيلي يبقى [0,2,0,−2]، لأن فروق القيم في معادلة H لا تتغير عند إضافة ثابت.

الناتج الجديد [5,3+2i,1,3−2i]؛ مقاديره [5,√13,1,√13]، حيث √13≈3.606. الجزء الجيبي الذي اخترناه ما زال بسعة 2، لكن المسافات إلى أصل المستوى المركب تغيرت بإضافة الثابت.

إذن نحدد ما نريد وصفه قبل تفسير كلمة الغلاف. المقدار التحليلي للسجل ذي الإزاحة يختلف عن سعة الجزء الجيبي المتمركز؛ لا نحذف الثابت تلقائيًا، فقد يكون جزءًا من البيانات التي نريد حفظها. المثال لا يثبت تفسيرًا فيزيائيًا لمقادير سجل مجهول.

الثابت ونايكويست يكشفان ما يفقده H

ابدأ بالسجل الثابت [3,3,3,3]. معادلة الفروق تعطي Hx=[0,0,0,0]، بينما z=x ومقداره 3. صفر الجزء التخيلي لا يعني صفر الأصل.

وسجل نايكويست [2,−2,2,−2] له معامل DFT واحد غير صفري: X[2]=8. يحتفظ بناء Z به كما هو، فيكون z=x وHx=0 والمقدار 2. لا ننسب إلى هذه العينات جيبًا متعامدًا غير صفري كأنها تردد داخلي عادي.

يمكن وصف أثر تطبيق H مرتين لأي أربع قيم حقيقية. من معادلة الفروق H²x[n]=(x[n−2]−2x[n]+x[n+2])/4. وبما أن n−2 وn+2 يشيران إلى الموضع نفسه بترديد 4، يصبح الناتج (x[n+2]−x[n])/2.

عرّف c0=(x0+x1+x2+x3)/4 وc2=(x0−x1+x2−x3)/4. عند n الزوجي يكون c0+c2=(x0+x2)/2، وعند n الفردي يكون c0−c2=(x1+x3)/2. لذلك H²x[n]=−x[n]+c0+c2(−1)ⁿ.

إذا كان c0=c2=0، تعطي −H²x الأصل. أما عمومًا، فنحتاج حفظ الثابت ومعامل نايكويست أيضًا: x=−H²x+c0+c2(−1)ⁿ. لا نقول إن تطبيق التحويل مرتين يساوي السالب من دون هذين الشرطين في كتلتنا.

هذه هوية خاصة بالتحويل الدائري الذي عرّفناه للطول 4. لا نستخدمها دون تعديل مع طول آخر أو نساويها بتحويل دالة مستمرة على كل الأزمنة.

كتلة البيانات جزء من معنى النتيجة

يميز المرجع حساب الكتلة المحدودة عن مرشح FIR تقريبي يمكنه معالجة بيانات مستمرة. [1]

اختر سجلًا مستقلًا [0,0,0,1]. باستعمال معادلة الطول 4، نجد Hx=[1/2,0,−1/2,0] وz=[i/2,0,−i/2,1]. المقادير [1/2,0,1/2,1]. حتى موضع يبدأ بقيمة حقيقية صفرية قد يصبح له مقدار غير صفري.

عند n=0، تدخل x[3] في x[n−1] بسبب الترديد. إذا عالجنا القيم بترتيب وصولها، فإن تغيير آخر قيمة من 0 إلى 1 يغير ناتج أول قيمة من 0 إلى 1/2 في الجزء التخيلي. لا نحسب هذا الناتج النهائي من أول عينة وصلت وحدها.

لذلك نحدد طول السجل وترتيبه وتباعده عند حفظ النتيجة. البيانات هنا تعامل ككتلة دورية في اشتقاق DFT. لم نضف أصفارًا أو نغيّر طول الكتلة، ولا نفترض أن حساب أجزاء مقتطعة يعيد القيم نفسها عند الأطراف.

كل الأمثلة مفترضة، والحساب مستقل ولم ينفذ hilbert أو مرشحًا على قياس حقيقي. الأعداد المركبة تساعد على وصف هذا التحويل بدقة؛ لكنها لا تثبت أن الغلاف الناتج يمثل سعة مكون منفرد في أي سجل نختاره.