لدينا خمس بطاقات: اثنتان تحملان A، واثنتان تحملان B، وواحدة تحمل C. نضعها في خمسة مواضع ثابتة من اليسار إلى اليمين، ونقرأ الرموز فقط. كم سلسلة مختلفة نحصل عليها باستعمال البطاقات كلها؟ الجواب 30، وليس 120. الفرق أن تبديل نسختي A وحدهما أو نسختي B وحدهما لا يغير السلسلة المقروءة.
الخلاصة السريعة
عدد السلاسل المختلفة لترتيب AABBC في خمسة مواضع ثابتة هو 30: نعد 120 ترتيبًا بعد تمييز البطاقات، ثم نقسم على 4 لأن كل سلسلة تقابل أربعة ترتيبات مميزة.
- عند ترتيب مجموعة فيها نسخ متطابقة، نقسم مضروب العدد الكلي على حاصل ضرب مضروبات أعداد النسخ لكل نوع. هذا يعد السلاسل المختلفة عند استعمال المجموعة كلها، مع ثبات أعداد الأنواع. [1]
- في مثالنا A مرتان و B مرتان و C مرة واحدة. نقرأ خمسة مواضع من اليسار إلى اليمين؛ AABBC و ABABC سلسلتان مختلفتان. لا نهتم هوية البطاقة بين نسختين تحملان الرمز نفسه، ولا ندمج السلسلة مع عكسها.
- لو سمينا النسخ A1 و A2 و B1 و B2 و C، وجدنا 5! = 120 ترتيبًا. لكل سلسلة مقروءة طريقتان لتوزيع اسمي A وطريقتان لتوزيع اسمي B؛ 2 × 2 = 4، لذلك 120 ÷ 4 = 30.
- يمكن العد دون أسماء إضافية: نختار موضعي A في 10 طرق، ثم موضع C في أحد المواضع الثلاثة الباقية؛ 10 × 3 = 30. الموضعان المتبقيان يحملان B تلقائيًا.
- السلاسل التي تبدأ بـ A عددها 12، والتي تبدأ بـ B عددها 12، والتي تبدأ بـ C عددها 6. هذا تقسيم للثلاثين بحسب الرمز الأول؛ وإذا اشترطنا AA في البداية، بقيت 3 فقط.
- إذا اشترطنا تجاور نسختي A في أي مكان، نجمع AA كتلة واحدة مع B و B و C؛ 4! ÷ 2! = 12. ومن ثم 18 سلسلة تفصل بين نسختي A. عرض 12 ترتيبًا متجاورًا في الصورة ليس عرضًا لكل 30 سلسلة؛ العد لا يثبت احتمالًا دون آلية اختيار.
السلسلة تحتفظ بالرمز وموضعه، لا بهوية نسخته
نثبت خمسة مواضع مرقمة من 1 إلى 5 من اليسار إلى اليمين. نستعمل البطاقات الخمس كلها مرة واحدة، ولا نضيف نسخة ثالثة من A أو B. نميز A عن B وعن C، لكن لا نميز بطاقة A عن بطاقة A الأخرى في السلسلة النهائية.
السلسلة AABBC تختلف عن ABABC: في الأولى يحوي الموضع الثاني A، وفي الثانية B. أما تبادل بطاقتي A داخل موضعيهما فلا يغير ما نقرؤه. لا نعد الحركة التي صنعت الصف، بل السلسلة الناتجة فقط.
المواضع خطية وثابتة، وليست حلقة يمكن تدويرها. قراءة AABBC بالعكس تعطي CBBAA، وهي سلسلة أخرى في هذا السؤال. الألوان في الرسوم تساعد على رؤية الأنواع، لكن الحروف هي التي تحددها.
أربعة ترتيبات مميزة تعطي السلسلة نفسها
الصيغة العامة لعدد الترتيبات المختلفة لمجموعة متعددة هي مضروب العدد الكلي مقسومًا على حاصل ضرب مضروبات أعداد تكرار الأنواع. [1]
لنفهم سبب القسمة في مثالنا، أعطِ نسختي A الاسمين A1 و A2، ونسختي B الاسمين B1 و B2. هذه خمسة أسماء متميزة مع C. ملء المواضع بالتتابع يعطي 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120، ويكتب اختصارًا 5! = 120. الرمز! هنا علامة المضروب.
ثبت السلسلة AABBC. يمكن توزيع A1 و A2 على موضعي A بطريقتين، وتوزيع B1 و B2 على موضعي B بطريقتين. لا يوجد اختيار لهوية C، فهي بطاقة واحدة. إذن 2 × 2 = 4 ترتيبات للأسماء تعطي السلسلة نفسها بعد حذف الأرقام.
تطبق الحجة نفسها على كل سلسلة ذات اثنين من A واثنين من B وواحد من C، أيًا كانت مواضعها. وكل ترتيب للأسماء يعود إلى سلسلة واحدة فقط. لذلك مجموعات الأربعة منفصلة وتغطي 120 ترتيبًا؛ 120 ÷ 4 = 30. لا نقسم على 5 أو على عدد الأنواع 3.
اختر موضعي A ثم موضع C للمراجعة
اختر موضعين مختلفين للرمز A من المواضع الخمسة. إذا اخترناهما بالترتيب وجدنا 5 × 4 = 20 اختيارًا، لكن اختيار 1 ثم 3 أو 3 ثم 1 يحدد الموضعين نفسيهما. كل زوج عُد مرتين، فهناك 20 ÷ 2 = 10 مجموعات مواضع.
بعد تثبيت موضعي A تبقى ثلاثة مواضع. اختر واحدًا لـ C في 3 طرق، واملأ الاثنين الباقيين بـ B. الناتج 10 × 3 = 30. لا تضرب مرة أخرى لترتيب نسختي B؛ الموضعان يحملان الرمز نفسه وقد اكتمل وصف السلسلة.
كل اختيار لزوج مواضع A ولموضع C يعطي سلسلة واحدة، ومن أي سلسلة نستعيد هذا الزوج وموضع C دون غموض. هذه المراجعة تعد السلاسل مباشرة بدل عد الأسماء ثم حذفها، ومع ذلك تصل إلى العدد نفسه.
بداية السلسلة تقسم الثلاثين إلى ثلاث مجموعات
إذا بدأنا بـ A، بقيت A و B و B و C لأربعة مواضع. تمييز الجميع يعطي 4! = 24 ترتيبًا؛ تبديل نسختي B لا يغير السلسلة، فنقسم على 2 ونجد 12. البداية بـ B لها كذلك 12 بعد تبادل دور A و B.
أما البداية بـ C فتترك A و A و B و B. لكل سلسلة أربع طرق لتمييز النسخ، فيكون 24 ÷ 4 = 6. مجموع 12 + 12 + 6 = 30؛ كل سلسلة لها رمز أول واحد، فلا تتداخل المجموعات.
يعرض الجدول عدد كل مجموعة ومثالًا منها، لا جميع سلاسلها. اشتراط AA في الموضعين الأول والثاني أقوى من اشتراط A أولًا: تتبقى B و B و C، ولـ C ثلاثة مواضع؛ فيوجد 3 فقط، هي AABBC و AABCB و AACBB.
| الرمز الأول | عدد السلاسل | مثال |
|---|---|---|
| A | 12 | AABBC |
| B | 12 | BAABC |
| C | 6 | CAABB |
التجاور في أي موضع يختلف عن AA في البداية
نريد الآن أن تكون نسختا A متجاورتين في أي موضع. نجمعهما كتلة AA، ونرتب أربعة عناصر: الكتلة و B و B و C. يوجد 24 ترتيبًا إذا ميزنا نسختي B، ثم نقسم على 2؛ 4! ÷ 2! = 12 سلسلة.
لا نضرب في 2 لترتيب الرمزين داخل AA: كلاهما A. كما لا نضرب في عدد مواضع بدء الكتلة مرة أخرى، لأن ترتيب العناصر الأربعة يحدد مكانها بالفعل. يمكن ضغط AA في كل سلسلة متجاورة إلى عنصر واحد، وفك الكتلة يعيد سلسلة واحدة بطول خمسة.
يمكن أن تبدأ الكتلة في الموضع 1 أو 2 أو 3 أو 4. لكل بداية 3 سلاسل وفق موضع C بين المواضع الأخرى، والصورة الداخلية تعرض هذه السلاسل الاثنتي عشرة كلها. عندما تبدأ AA في الموضع 1 تحصل على السلاسل الثلاث السابقة فقط؛ بقية الحالات تحقق التجاور دون تلك البداية.
إما أن تتجاور نسختا A أو يفصل بينهما رمز واحد على الأقل؛ الحالتان لا تتداخلان. إذن عدد السلاسل غير المتجاورة 30 − 12 = 18. من أمثلتها ABABC. أما AABBC فتنتمي إلى المتجاورة.
هذه أعداد ترتيبات، ولا تثبت أن طريقة خلط بعينها تعطي كل سلسلة الفرصة نفسها. وإذا ميزت جميع البطاقات، صار السؤال عن 120 ترتيبًا للأسماء. وإذا سمحت بأي رمز في كل موضع دون تثبيت العددين 2 و 2 والعدد 1، فقد غيرت المجموعة التي نرتبها، فلا تستعمل 30 جوابًا لذلك السؤال.
اقرأ أيضًا: رموز الرياضيات ومعانيها
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.