إضافة أكبر قيمة إلى قائمة: هل يبقى الوسيط كما هو؟

تعريف الوسط وشروط المقارنة

تعرّف هيئة الإحصاء الكندية الوسيط بأنه القيمة الواقعة في مركز مجموعة قيم، وتذكر أنه عندما يكون عدد المشاهدات زوجيًا يؤخذ متوسط القيمتين الوسطيتين. سنرتب قوائمنا المؤلفة ونعد مشاهداتها قبل الإضافة وبعدها، كي نفحص تغير الموضع والحساب معًا. ^[1]

قوائم هذه الورقة أعداد حقيقية منتهية، وكل مشاهدة تحسب بالوزن نفسه. سنبدأ بمشاهدتين على الأقل، ونضيف قيمة واحدة أكبر من جميع القيم القديمة. الأعداد أمثلة حسابية أصلية بلا وحدات، وليست علامات طلاب أو دخل أشخاص أو نتائج تجربة. شرط الأكبر يتعلق بالقائمة التي نكتبها، ولا نثبت حدًا عامًا لكل بيانات.

افصل ثلاثة أشياء: عدد المشاهدات، وموضع الوسط، وقيمة الوسيط. إضافة مشاهدة تغير العدد حتى إن كانت القيمة الجديدة بعيدة عن الوسط. ولذلك لا نختار الموضع القديم تلقائيًا بعد التعديل، ولا نحذف التكرارات لأن بعض الأعداد ظهرت أكثر من مرة. سنحافظ على كل عنصر في القائمة قبل المقارنة وبعدها.

إضافة مئة ترفع الوسيط في المثال الأول

نبدأ بالقائمة المرتبة 1،4،6،9،12. عدد المشاهدات خمسة، والوسط هو القيمة الثالثة، أي ستة. أضف مئة فتكون القائمة 1،4،6،9،12،100. أصبحت ست مشاهدات، والموضعان الأوسطان الثالث والرابع. قيمتاهما ستة وتسعة، ولذلك الوسيط الجديد (6+9)/2=7.5. الفرق عن الستة السابقة واحد ونصف.

لم يصبح الوسيط مئة، لكن هذا لا يعني أنه بقي ستة. جاءت الزيادة من إدخال التسعة مع الستة في حساب الوسط الجديد. إذا استبدلت مئة بألف بوصفها القيمة المضافة، فستبقى القيمتان الوسطيتان ستة وتسعة في هذا المثال. مقدار القيمة الجديدة وحده لا يحدد مقدار تغير الوسيط هنا.

ارسم القائمتين في سطرين، وحدد الوسط قبل الإضافة وبعدها. لا تمد السطر الثاني بعدد مئة من الخانات؛ مواضع المشاهدات ليست مسافات عددية على محور. نحتاج ست خانات متساوية لست مشاهدات، ونكتب مئة داخل الأخيرة. هذا الرسم يوضح الرتبة، بينما الحساب يوضح قيمة المتوسط الجديد.

الثبات والتغير في مثالين آخرين

خذ القائمة 1،4،6،6،12. الوسيط قبل الإضافة ستة. بعد إضافة مئة تصبح 1،4،6،6،12،100، وتبقى القيمتان الثالثة والرابعة ستة وستة. متوسطهما ستة، فالزيادة صفر. العدد الجديد كبير في المثالين، لكن اختلاف القيم المحيطة بالوسط أعطى نتيجتين مختلفتين. لا نحذف إحدى الستتين، لأنها مشاهدة ثانية تؤثر في تحديد المواضع.

وانظر إلى قائمة زوجية: 2،5،8،11. الوسيط (5+8)/2=6.5. بعد إضافة مئة تصبح خمس مشاهدات، ووسطها القيمة الثالثة، أي ثمانية. الزيادة واحد ونصف. لم نحسب متوسط الثمانية والأحد عشر، لأن عدد المشاهدات الجديد فردي. عد العناصر أولًا، ثم اختر الحساب الذي يناسب العدد الجديد بدل استمرار طريقة القائمة السابقة.

إضافة مشاهدة ليست استبدال مشاهدة

عد إلى القائمة الأولى 1،4،6،9،12. إذا استبدلنا الاثني عشر بمئة، نحصل على 1،4،6،9،100. عدد المشاهدات ما زال خمسة، والقيمة الثالثة ستة، لذلك الوسيط لم يتغير في هذا الاستبدال المحدد. أما إضافة مئة دون حذف الاثني عشر فأعطتنا ست مشاهدات ووسيطًا سبعة ونصفًا كما حسبنا.

صف العملية قبل إعلان النتيجة. «أدخلنا مئة بدل أكبر قيمة» تحافظ هنا على عدد العناصر، و«أدخلنا مئة مع القيم السابقة» تزيده بواحد. لا نحول النتيجة الأولى إلى وعد بأن إضافة أي قيمة كبيرة تترك الوسيط ثابتًا. وقد تتغير الرتب إذا استبدلت قيمة أخرى، لكن هذا ليس التعديل الذي نفحصه في المثال الحالي.

اشتقاق الزيادة من القيم الوسطى

في قائمة فردية، سمّ القيمة الوسطى القديمة a، والقيمة التالية لها b. بعد إضافة قيمة أكبر من الجميع، يصبح عدد العناصر زوجيًا، وتدخل a وb معًا في الوسط. إذن الوسيط القديم a والجديد (a+b)/2. الزيادة هي (a+b)/2-a=(b-a)/2؛ نصف المسافة العددية من الوسطى إلى التالية.

وفي قائمة زوجية، سمّ الوسطيتين a وb بحسب ترتيبهما. الوسيط القديم (a+b)/2. بعد الإضافة يصبح العدد فرديًا، والقيمة الوسطى هي b، لذلك الزيادة b-(a+b)/2=(b-a)/2 أيضًا. استخدمنا ترتيب المشاهدات لبيان أي قيم تبقى في المنتصف؛ لم نفترض أن المتوسط القديم يجب أن يكون عنصرًا موجودًا في القائمة.

في الحالتين b≥a لأن القائمة مرتبة، فيكون الفرق غير سالب. يتساوى الوسيطان حين b=a، ويختلفان حين b>a. هذه النتيجة تخص إضافة واحدة أكبر من الجميع، مع الشروط المكتوبة أولًا. لا نعمم الاشتقاق على حذف قيم أو تغيير أوزانها أو إضافة عدد يقع وسط القائمة؛ كل تعديل يحتاج فحص مواضعه.

للمراجعة في المثال الأول، a=6 وb=9، ونصف الفجوة (9-6)/2=1.5. وفي مثال الستتين، الفجوة صفر. وفي القائمة الزوجية، a=5 وb=8، فتعود الزيادة نفسها واحدًا ونصفًا. تحقق من اتجاه الفرق: الجديد ناقص القديم؛ تبديل الاتجاه يعطي العدد المعاكس ولا يغير ما حدث للوسيط.

تمارين مع مراجعة القائمة كاملة

تمرين أول: القائمة 3،7،15، ثم أضف تسعين. القديم سبعة، والجديد متوسط السبعة والخمسة عشر، أي أحد عشر. الزيادة أربعة، وهي نصف الفجوة بين السبعة والخمسة عشر. تمرين ثان: القائمة 3،7،7،15، ثم أضف تسعين. القديم سبعة والجديد سبعة؛ تحدد المشاهدتان المتساويتان السبب الذي أبقى الوسيط ثابتًا.

تمرين ثالث: ابدأ بالمشاهدتين -8 و2، ثم أضف تسعين. الوسيط القديم (-8+2)/2=-3. بعد الإضافة توجد ثلاث مشاهدات مرتبة، والوسط اثنان. الزيادة خمسة، وهي (2-(-8))/2=5. لا تمنع القيم السالبة الحساب؛ حافظ على إشارتها وعلى موضعها في القائمة عند إجراء المقارنة.

قبل تسليم الحل، اكتب عدد المشاهدات في النسختين، ثم حدد القيم الوسطى، ثم احسب الجديد ناقص القديم. إذا حصلت على ثبات، اذكر القيمتين المتساويتين اللتين تفسرانه؛ وإذا حصلت على زيادة، قارنها بنصف الفجوة. بهذه الخطوات يمكنك مراجعة الجواب دون افتراض أن كبر العدد المضاف يكفي وحده لتفسير النتيجة. إذا نقلت القيم إلى جدول، اجعل لكل مشاهدة خانة، حتى المتكرر منها. ضع علامة على الخانة الوسطى أو الخانتين الوسطيتين، ولا تخلط رقم الخانة بالعدد المكتوب داخلها في الحل.