حل المتباينة اللوغاريتمية: متى نعكس الإشارة؟

حل المتباينة اللوغاريتمية يبدأ بالمجال واتجاه الدالة. [1]

الخلاصة السريعة

نعكس المقارنة عند أساس بين صفر وواحد، ونحتفظ بشرط الحجة الموجبة. [1]

• نحل log_b(x−2)≥−1 في الأعداد الحقيقية، مع b>0 وb≠1. شرط الحجة x−2>0 يعطي x>2 قبل أي تحويل. [1]
• نكتب −1=log_b(1/b). إذا b>1 فالدالة متزايدة، فتتحول المقارنة إلى x−2≥1/b. إذا 0<b<1 فهي متناقصة، فتنعكس إلى x−2≤1/b، مع بقاء الحجة موجبة. [1]
• عند b=4 يلزم x−2≥1/4، أي x≥9/4. هذا الشرط يحقق المجال x>2 تلقائيًا. في x=9/4 قيمة اللوغاريتم −1، فتقبل المساواة. [1]
• عند b=1/4 يلزم x−2≤4، ونحتفظ كذلك بـ x>2؛ فيكون 2<x≤6. في x=6 قيمة اللوغاريتم −1. حذف شرط المجال يقبل قيمًا لا تعرّف اللوغاريتم. [1]
• نكتب مجموعة الحل للأساس 4 على صورة [9/4,∞)، وللأساس 1/4 على صورة (2,6]. النقطة الممتلئة تشمل الطرف والدائرة المفتوحة تستبعده؛ السهم يعني استمرار الحل، لا نهاية عددية جديدة. [2]
• بعد إيجاد المجموعتين، نختبر العضوية: x=3 ينتمي إليهما، وx=8 ينتمي إلى الأولى فقط، وx=17/8 ينتمي إلى الثانية فقط. الأمثلة تفحص النتيجة؛ برهان المجموعة كلها هو التحويل المكافئ مع المجال. [2]

المراجع

1. المجال واتجاه اللوغاريتم
2. المتباينات والفترات

قواعد اللوغاريتم

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.