تقسيم أربع مهام إلى مجموعتين: سبع طرق أم أربع عشرة؟

الخلاصة السريعة

للمهام الأربع في مثالنا 7 تقسيمات إلى مجموعتين غير فارغتين دون أسماء تميز المجموعتين. إذا أسندناهما إلى فريقين مسميين أ وب، يصبح العدد 14 إسنادًا؛ لكل تقسيم طريقتان لتعيين الفريقين.

• نقسم عناصر مختلفة إلى مجموعات غير فارغة؛ كل عنصر يظهر في مجموعة واحدة، ولا يغير تبادل المجموعات التقسيم نفسه. هذا هو نوع العد المرتبط بأعداد ستيرلنغ من النوع الثاني. [1]
• في مثالنا، ضع مجموعة الرسم يسارًا لتسجيل كل تقسيم مرة واحدة. للمهام الثلاث الأخرى 8 اختيارات في الانضمام إليها أو البقاء خارجها؛ نحذف اختيار جمع الأربع معًا، فيبقى 7.
• يمكن أيضًا فصل الأحجام: أربع حالات لمهمة منفردة مع ثلاث مهام، وثلاث حالات لمهمتين مع مهمتين. لذلك 4 + 3 = 7؛ لا يشترط تساوي الحجمين.
• الصورة والجدول يعرضان التقسيمات السبعة كاملة. ترتيب المهام داخل المجموعة لا يعد طريقة جديدة، وألوان الإطارين مجرد وسيلة عرض.
• للفريقين أ وب، يوجد 16 إسنادًا أوليًا للمهام، منها اثنان يتركان فريقًا فارغًا. نحذفهما فنجد 14، وهو أيضًا 7 × 2 = 14؛ تبديل الفريقين الآن يغير الإسناد.
• العد للعضوية، لا زمن العمل أو أهلية الفريق. مع تساوي الحجمين يبقى 3 تقسيمات غير مسماة أو 6 إسنادات لفريقين. السماح بالفراغ يضيف تقسيمًا واحدًا إلى 7؛ ومع فريقين مسميين يعيد الإسنادات كلها 16. حدد هذه الشروط قبل العد.

العناصر مختلفة، والمجموعتان بلا اسمين

عدد ستيرلنغ من النوع الثاني يحصي تقسيم مجموعة عناصر إلى عدد محدد من المجموعات غير الفارغة. [1] نستخدم هذا المعنى في مثالنا، ولا نبحث في أنواع أخرى من أعداد ستيرلنغ.

المهام الأربع متميزة: الرسم ليس البحث، والمراجعة ليست التنسيق. نعطي كل مهمة لمجموعة واحدة، ونستعمل المهام كلها. لا يجوز تكرار البحث في الجانبين، أو ترك التنسيق خارج التقسيم. كما لا نسمح بخلو أحد الجانبين.

عندما لا تحمل المجموعتان اسمين أو دورين، فإن مجموعة الرسم والبحث مع مجموعة المراجعة والتنسيق هي التقسيم نفسه بعد تبادل الجانبين. الذي يهم هو من يجتمع مع من. وداخل المجموعة لا يعد تقديم البحث على الرسم ترتيبًا آخر؛ نحن نجمع المهام ولا نرتب تنفيذها.

ثبّت مجموعة الرسم لتمنع العد المكرر

نختار مهمة الرسم علامة مرجعية في التسجيل. نسجل مجموعتها دائمًا في العمود الأيسر، والمجموعة الأخرى في الأيمن. لا يعني ذلك أن اليسار فريق خاص؛ إنه اتفاق لعرض تقسيم غير مسمى مرة واحدة.

لكل من البحث والمراجعة والتنسيق خياران: ينضم إلى الرسم أو يبقى في المجموعة الأخرى. ينتج 2 × 2 × 2 = 8 اختيارات. الاختيار الذي يضم الثلاثة إلى الرسم يترك المجموعة الأخرى فارغة، فنحذفه؛ يبقى 8 − 1 = 7.

كل تقسيم صحيح له مجموعة واحدة تحتوي الرسم، لذلك لا نفقد تقسيمًا بهذا التسجيل. كما أن الاختيارات المختلفة للمهام التي تنضم إليه تعطي عضوية مختلفة، فلا نكرر تقسيمًا. الألوان في الصورة لا تحول موضع التسجيل إلى اسم مجموعة ذي معنى.

أربع حالات لمهمة منفردة، وثلاث لحجمين متساويين

في الحالة 1 مع 3، نختار المهمة المنفردة: الرسم أو البحث أو المراجعة أو التنسيق. توجد أربع حالات. اختلاف المهمة المنفردة يغير عضوية التقسيم، حتى لو تساوت أحجام المجموعتين بين هذه الحالات.

وفي الحالة 2 مع 2، يكون شريك الرسم أحد الثلاثة الآخرين. اختيار البحث يترك المراجعة مع التنسيق، واختيار المراجعة يترك البحث مع التنسيق، واختيار التنسيق يترك البحث مع المراجعة. توجد ثلاث حالات؛ لا نضيف الثلاثة المكملة مرة أخرى بتبادل المجموعتين.

لا توجد أحجام أخرى لمجموعتين غير فارغتين من أربع مهام: إما 1 مع 3 أو 2 مع 2. نجمع 4 + 3 = 7، وهو العدد الذي خرجنا به من تثبيت مجموعة الرسم. يعرض الجدول كل تقسيم، دون فرض حجم متساوٍ.

إسناد المجموعتين إلى أ وب سؤال مختلف

افترض الآن فريقين مسميين أ وب، مع اشتراط أن يحصل كل فريق على مهمة. التقسيم الذي يجمع الرسم والبحث يمكن إسناده إلى أ، وتذهب المراجعة والتنسيق إلى ب؛ ويمكن عكس الإسناد. هذان إسنادان مختلفان لأن اسم الفريق جزء من النتيجة.

كل تقسيم من السبعة يعطي إسنادين، فنجد 7 × 2 = 14. الصورة الداخلية تعرض الإسنادين لتقسيم واحد فقط؛ ليست عرضًا لكل الإسنادات الأربعة عشر. تبقى المهام المجتمعة نفسها، ويتغير الفريق الذي يتلقاها.

ولفحص العدد من البداية، لكل مهمة اختيار أ أو ب، فيكون 2 × 2 × 2 × 2 = 16. حالتان ممنوعتان: إعطاء المهام كلها إلى أ، أو إعطاؤها كلها إلى ب. بعد حذفهما نجد 16 − 2 = 14. لا نقسم على 2 هنا، لأن تبادل الفريقين يغير الإسناد المقصود.

حدد شرط المسألة قبل استعمال العدد

إذا طلبت مجموعتين متساويتين في عدد المهام، نحذف حالات 1 مع 3، وتبقى الحالات الثلاث من نوع 2 مع 2. هذا 3 للتقسيم دون اسمين، ويصبح 6 إذا أسندنا كل تقسيم إلى أ وب. شرط التساوي لم يكن موجودًا في العد 7.

وإذا سمحت بمجموعة فارغة، فقد أضفت الحالة التي تجمع المهام الأربع في جانب واحد. لم نعد هذه الحالة ضمن 7. أما تمييز الفريقين والسماح بخلو أحدهما فيعيد الإسنادات الأولية كلها 16؛ لذلك لا تستخدم 14 بعد إسقاط شرط عدم الفراغ.

لا توزع هذه المسألة ساعات عمل، ولا تقيس إنصافًا أو كفاءة. تعاملنا مع أربع مهام مختلفة كوحدات عضوية فقط. للمراجعة، اكتب هل المجموعات مسماة، وهل يسمح بالفراغ، وهل يشترط حجم معين؛ ثم تحقق من أن كل مهمة ظهرت مرة واحدة، وأنك لم تعد تبادل مجموعتين غير مسماتين مرتين.