ثابت التكامل على مجال منفصل ليس بالضرورة واحدًا. [1]
الخلاصة السريعة
ثابت لكل فترة؛ قد يختلفان. [1]
- نحل F′(x)=1/x للأعداد الحقيقية x≠0. الدالة الأصلية هي دالة مشتقتها المطلوبة؛ مثال F(x)=ln|x|، حيث ln اللوغاريتم الطبيعي. المجال فترتان x<0 وx>0. [1]
- للجانب الموجب (ln x)′=1/x. للسالب ln|x|=ln(−x)، وبقاعدة السلسلة مشتقتها (−1)/(−x)=1/x. الثابت المضاف مشتقته صفر. لا قيمة عند الصفر. [1][2]
- إذا F′=G′ على فترة، ففرق D=G−F ثابت فيها بمبرهنة القيمة المتوسطة. الربط عبر الصفر المستبعد لا يحقق شرطها. [1]
- مثال مؤلف: G(x)=ln|x|−5 عند x<0، وG(x)=ln|x|+2 عند x>0. إذن G′=F′=1/x على المجال كله، رغم اختلاف الثابتين. [1][2]
- F(−1)=F(1)=0، لكن G(−1)=−5 وG(1)=2؛ إذن D لا يساوي ثابتًا عالميًا في G=F+C. [1]
- G(1)=2 يحدد الجانب الموجب فقط؛ G(−1)=−5 يحدد السالب. لا نفرض اتصالًا عند الصفر المستبعد. [1]
المجال والدالة الأصلية
نحل F′(x)=1/x للأعداد الحقيقية x≠0. الدالة الأصلية هي دالة مشتقتها المطلوبة؛ مثال F(x)=ln|x|، حيث ln اللوغاريتم الطبيعي. المجال فترتان x<0 وx>0. [1]
فحص المشتقة
للجانب الموجب (ln x)′=1/x. للسالب ln|x|=ln(−x)، وبقاعدة السلسلة مشتقتها (−1)/(−x)=1/x. الثابت المضاف مشتقته صفر. لا قيمة عند الصفر. [1][2]
شرط الفترة
إذا F′=G′ على فترة، ففرق D=G−F ثابت فيها بمبرهنة القيمة المتوسطة. الربط عبر الصفر المستبعد لا يحقق شرطها. [1]
ثابتان في مثال
مثال مؤلف: G(x)=ln|x|−5 عند x<0، وG(x)=ln|x|+2 عند x>0. إذن G′=F′=1/x على المجال كله، رغم اختلاف الثابتين. [1][2]
اختبار ثابت عالمي
F(−1)=F(1)=0، لكن G(−1)=−5 وG(1)=2؛ إذن D لا يساوي ثابتًا عالميًا في G=F+C. [1]
تحديد الثوابت
G(1)=2 يحدد الجانب الموجب فقط؛ G(−1)=−5 يحدد السالب. لا نفرض اتصالًا عند الصفر المستبعد. [1]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.