نريد توزيع 8 قطع متطابقة على ثلاثة صناديق مسماة A و B و C. نستعمل القطع كلها، ولا نقسم قطعة، ويسمح بخلو صندوق. ما يميز التوزيع هو العدد في كل صندوق، لا هوية القطع أو ترتيب وضعها. سنحول كل توزيع إلى صف فيه ثماني علامات واثنان من الفواصل، فنجد 45 توزيعًا. ثم نغير شروط الصناديق لنرى متى يتغير العدد.
الخلاصة السريعة
يوجد 45 توزيعًا لثماني قطع متطابقة على ثلاثة صناديق مسماة مع السماح بالفراغ ودون حد أعلى. كل توزيع يقابله صف من 8 نجوم وفاصلين، أي 10 مواضع. نختار موضعي الفاصلين دون ترتيب، فيكون 10 × 9 ÷ 2 = 45. التوزيع 2,3,3 يختلف عن 3,2,3 لأن أسماء الصناديق ثابتة.
- طريقة النجوم والفواصل تعد توزيع أشياء متطابقة على صناديق مميزة. كل نجمة تمثل قطعة، وكل فاصل يفصل بين صندوقين؛ ثلاثة صناديق تحتاج فاصلين. تسمح الفواصل الطرفية أو المتجاورة بصناديق فارغة. [1]
- لدينا 8 قطع كاملة متطابقة وصناديق A و B و C؛ نعد الثلاثية بحسب هذا الترتيب. كل قطعة تدخل مرة واحدة، وترتيب القطع داخل الصندوق لا يغير التوزيع. البداية تسمح بالصفر وبوضع القطع الثماني في صندوق واحد.
- نختار فاصلين من 10 مواضع؛10 × 9 يعد كل زوج مرتين، فنقسم على 2 ونجد 45. يمكن فحص العدد بتثبيت عدد A من 0 إلى 8؛ أعداد خيارات B و C هي 9 ثم 8 حتى 1، ومجموعها 45.
- ★★|★★★|★★★ تعني 2,3,3، و|★★★★★★★★| تعني 0,8,0. كل ثلاثية مجموعها 8 تبني صفًا واحدًا، وكل صف من 8 نجوم وفاصلين يعيد ثلاثية واحدة. الفواصل ليست قطعًا إضافية؛ ترتيب القراءة A ثم B ثم C.
- إذا اشترطنا قطعة واحدة على الأقل في كل صندوق، نضع 3 قطع أولًا وتبقى 5؛ العدد 21. وإذا اشترطنا قطعتين على الأقل في كل صندوق، نضع 6 وتبقى 2؛ العدد 6. الصورة الداخلية والجدول يعرضان هذه التوزيعات الستة كلها.
- شرط ألا يزيد أي صندوق على 4، مع السماح بالفراغ، يعطي 15 توزيعًا. نستبعد 30 من 45 لأن لكل صندوق 10 حالات يحوي فيها 5 أو أكثر، ولا يجتمع تجاوزان مع 8 قطع. وإذا صارت القطع مميزة، يتغير السؤال إلى 6561 إسنادًا؛45 ليس احتمالًا ولا عدًا لصناديق بلا أسماء.
القطع متطابقة، لكن الصناديق تحمل أسماء
نثبت أسماء A و B و C. نعبر عن توزيع بالثلاثية 2,3,3: قطعتان في A، وثلاث في B، وثلاث في C. تبديل العددين الأول والثاني يعطي 3,2,3 وهو توزيع آخر، لأن الصندوق الذي يتلقى العدد تغير.
أما تبادل قطعتين من القطع المتطابقة فلا يغير الثلاثية. لا نهتم أي قطعة دخلت أولًا، أو مكانها داخل الصندوق. نعد أعدادًا صحيحة غير سالبة مجموعها 8، ونستعمل جميع القطع دون تكرار أو تجزئة.
لا يوجد شرط تساوٍ بين الأحجام، ولا حد أعلى يقل عن 8. لذلك 0,8,0 و 8,0,0 مقبولان ومختلفان. عندما نضيف لاحقًا شرطًا أدنى أو أعلى، سنعلن أن السؤال تغير قبل استعمال عدد جديد.
صف من ثماني نجوم وفاصلين يعيد الأعداد الثلاثة
في طريقة النجوم والفواصل نمثل الأشياء المتطابقة بنجوم، ونضع بين الصناديق فواصل. كل ترتيب للنجوم والفواصل يقابل توزيعًا بحسب أعداد النجوم في الأجزاء، والعكس صحيح. [1]
اخترنا★★|★★★|★★★ ليعرض 2,3,3. اقرأ النجوم قبل الفاصل الأول لـ A، وبين الفاصلين لـ B، وبعد الثاني لـ C. توجد 8 نجوم وفاصلان، فيكون طول الصف 10 رموز. في الصورة الرئيسية تمثل الدوائر القطع، والخطان الفاصلين.
في|★★★★★★★★| لا يوجد شيء قبل الفاصل الأول أو بعد الثاني، فنقرأ 0,8,0. وإذا كتبنا★★★★★★★★||، فالجزء بين الفاصلين فارغ وكذلك الجزء الأخير؛ نقرأ 8,0,0. الفراغ يحدد العدد 0 ولا يلغي الصندوق من النموذج.
ومن أي ثلاثية مجموعها 8 نبني الصف بوضع نجوم A ثم فاصل، ثم نجوم B ثم فاصل، ثم نجوم C. كما نستعيد الأعداد الثلاثة بعد عد الأجزاء في الصف. لا نميز الفاصل الأول بلون أو هوية مستقلة في العد؛ موضعه في القراءة يحدد وظيفته.
اختيار موضعين من عشرة يعطي خمسة وأربعين
في كل صف 10 مواضع، نختار اثنين للفواصل، ونضع النجوم في الثمانية الباقية. لو اخترنا موضعًا أولًا ثم موضعًا آخر، وجدنا 10 × 9 = 90 اختيارات مرتبة. لكن اختيار الموضعين 3 ثم 7 أو 7 ثم 3 يرسم الصف نفسه.
كل زوج من موضعين مختلفين عُد مرتين بالضبط؛ لذلك 10 × 9 ÷ 2 = 45. لا نقسم مرة أخرى بسبب تطابق القطع: النجوم لم نمنحها أسماء عند عد الصفوف أصلًا. الذي اخترناه هو مجموعة موضعي الفاصلين.
للمراجعة بطريقة أخرى، إذا كان A فارغًا، كان B أي عدد من 0 إلى 8، وحدد C بالباقي؛ توجد 9 خيارات. وإذا كان A يحوي 1، وجدنا 8 خيارات؛ ونستمر حتى A يحوي 8، فتوجد حالة واحدة هي 8,0,0. مجموع 9 و 8 و 7 و 6 و 5 و 4 و 3 و 2 و 1 هو 45.
المراجعة الثانية تعد أعداد الصناديق مباشرة، دون صفوف النجوم. توافق العددين يدعم الحصر. لا يعد الصف ترتيبًا لإيداع القطع في الزمن؛ إنه سجل لأعدادها النهائية فقط.
قطعة واحدة أو قطعتان لكل صندوق تغير الباقي
إذا طلبنا قطعة واحدة على الأقل في كل صندوق، نعطي A و B و C قطعة لكل منها أولًا. استعملنا 3، وتبقى 5 قطع متطابقة توزع بحرية على الصناديق المسماة نفسها. نرسم 5 نجوم وفاصلين، أي 7 مواضع؛ العدد 7 × 6 ÷ 2 = 21.
هذا التحويل قابل للعكس: نطرح واحدة من كل عدد في توزيع مقبول، أو نضيفها إلى كل عدد في توزيع الباقي. لا يحذف توزيعًا ولا يكرره. لكن 21 يخص منع الفراغ، ولا يحل محل 45 عندما يكون الصفر مسموحًا.
ولشرط قطعتين على الأقل لكل صندوق، نضع 6 قطع أولًا، فتتبقى 2. صف الباقي يحوي نجمتين وفاصلين، أي 4 مواضع، فنجد 4 × 3 ÷ 2 = 6. الباقي إما 2 في صندوق واحد، أو 1 في كل من صندوقين.
بعد إضافة القطعتين الثابتتين لكل صندوق، نحصل على الثلاثيات الستة في الجدول. كل صف مجموعُه 8 وكل عدد فيه 2 أو أكثر. الصورة الداخلية تمثل هذه الستة كلها؛ ليست عرضًا للتوزيعات الخمسة والأربعين الأصلية.
| رقم | عدد A | عدد B | عدد C |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 2 | 2 |
| 2 | 2 | 4 | 2 |
| 3 | 2 | 2 | 4 |
| 4 | 3 | 3 | 2 |
| 5 | 3 | 2 | 3 |
| 6 | 2 | 3 | 3 |
السقف الأعلى والهوية يحتاجان سؤالًا جديدًا
افترض الآن ألا يزيد عدد أي صندوق على 4، مع السماح بخلوه. من 45 نستبعد من يحوي 5 أو أكثر في A: نثبت 5 قطع له، وتبقى 3 توزع بحرية، مع إمكان إضافة المزيد إلى A. صف الباقي فيه 5 مواضع، وعدده 5 × 4 ÷ 2 = 10.
نجد 10 كذلك لتجاوز B، و 10 لتجاوز C. لا يمكن أن يتجاوز صندوقان 4 في الوقت نفسه، إذ يحتاجان 5 + 5 = 10 قطع بينما لا نملك إلا 8. فالحالات المستبعدة منفصلة هنا، وعددها 30؛ تبقى 45 − 30 = 15. هذا يستعمل شرط السقف وحده، لا شرط القطعتين الأدنى معًا.
لو كانت القطع الثماني مميزة بأسماء منفردة، لكان لكل قطعة ثلاثة اختيارات في الإسناد، فنجد 6561 إسنادًا دون قيود على الأحجام. توزيعات 2,3,3 لا تكشف حينئذ أي قطع ذهبت إلى A. لا تستعمل 45 لسؤال الهوية الجديد.
ولو محونا أسماء الصناديق، فلن يميز تبديلها بعض الثلاثيات كما فعلنا. لا نطبق العدد 45 على صناديق غير مميزة. كذلك لا نفترض فرصة 1/45 لكل توزيع دون إعلان آلية اختيار؛ المسألة تعد طرقًا، ولا تصف قرعة أو إنصافًا أو مساحة تخزين فعلية.
اقرأ أيضًا: رموز الرياضيات ومعانيها
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.