حجم عينة لكشف عيبين: لماذا لا يكفي المتوسط؟

حجم عينة لكشف عيبين يتطلب تحديد احتمال الوصول، لا المتوسط وحده. [1]

الخلاصة السريعة

في المثال، أصغر عينة تحقق فرصة 95% للعثور على عيبين على الأقل هي 26؛ متوسط مقداره عيبان لا يكفي. [2]

• دفعة ثابتة N≥2، فيها K عيوب معلومة العدد مجهولة المواقع؛ 2≤K≤N. نسحب n عناصر مختلفة دون إرجاع؛ 0≤n≤N. الأعداد صحيحة، وكل مجموعة بحجم n متساوية الاحتمال، والفحص يكشف كل عيب. X عدد العيوب المكتشفة. [1]
• التوزيع فوق الهندسي يعطي P(X=x)=A/B، حيث A=C(K,x)·C(N−K,n−x) وB=C(N,n). الرمز C(a,b) عدد مجموعات b عناصر من a؛ نعده صفرًا خارج المجال الصحيح 0≤b≤a. [2]
• فرصة العثور على عيبين على الأقل P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1). نحسب الحالتين بالصيغة؛ الهدف هو P(X≥2)≥0.95، لا احتمال عيبين بالضبط. [2]
• المتوسط E[X]=nK/N. في مثال افتراضي N=40 وK=5، يعطي n=16 متوسطًا 2، لكن فرصة X≥2 تساوي 67.70% فقط. المتوسط ليس ضمانًا لعدد العيوب في عينة واحدة. [1]
• نختار حجم العينة قبل السحب. للمثال، n=25 يعطي 94.36%، وn=26 يعطي 95.74%؛ إذن الحد الأدنى 26. الفرصة لا تنقص بزيادة n: إضافة عناصر لا تنقص عدد العيوب. [2]
• اليقين يحتاج n=N−K+2: في المثال 37، لأن السليم 35 فقط. معيار 95% يسمح بالإخفاق. هذه فرصة كشف تحت عدد عيوب مفترض معلوم؛ ليست تقديرًا لعدد مجهول، ولا تشمل أخطاء الفحص. [1]

المراجع

1. السحب والمتوسط · العينة البسيطة
2. احتمالات التوزيع

كشف حالة نادرة

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.