قد يعود جسم إلى الموقع نفسه بعد ثانيتين، مع أن اتجاه حركته عند الوصول مختلف. كيف نحسب سرعته عند لحظة محددة بدل الاكتفاء بمتوسط الفترة؟ نتتبع هنا نموذج موقع مؤلفًا للتدريب، ونستخرج مشتقته، ثم نقارنها بميل المماس وقواطع قصيرة. سنميز المقدار من الإشارة ونوضح لماذا لا تكفي نافذة زمنية صغيرة وحدها لإثبات دقة تقدير من بيانات.
الخلاصة السريعة
في حركة على محور واحد، احسب السرعة المتجهة اللحظية بمشتقة الموقع v(t)=dx/dt عندما توجد، ثم خذ قيمتها المطلقة للحصول على مقدار السرعة اللحظية. [1]
- حدد الاتجاه الموجب ووحدات المعاملات قبل التعويض. في النموذج المؤلف x=t²−4t+5، مع الزمن بالثانية والموقع بالمتر، تكون v=2t−4؛ عند الثانية الأولى v=−2 m/s ومقدارها 2 m/s.
- السرعة المتجهة اللحظية هي ميل المماس على رسم الموقع والزمن، لا قسمة الموقع المطلق على الزمن. عند الثانية الأولى المماس في نموذجنا x=4−2t، وميله −2 m/s. [1]
- القاطع لفترة صغيرة يعطي تقديرًا متجهًا: النوافذ الأمامية 0.5 و 0.1 و 0.01 ثانية تعطي −1.5 و −1.9 و −1.99 m/s عند استهداف t=1. لا نعوض صفرًا في المقام.
- النافذة الخلفية تختلف عن الأمامية، والمتماثلة تعطي −2 بالضبط في النموذج التربيعي فقط ضمن أمثلتنا. في نموذج t³ عند t=1 تعطي 3+h²، فلا نعمم الدقة التامة.
- عند t=2 في النموذج الرئيس السرعة صفر في نقطة رجوع، وليس سكونًا لفترة. من 0 إلى 4 ثوانٍ متوسط السرعة المتجهة صفر، لكن المسافة 8 m ومتوسط المقدار 2 m/s.
- تقليل المدة قد يزيد أثر خطأ إدخال الموقع؛ تغيير الفرق بمقدار −0.02 m يعطي أثرًا −0.2 m/s عند 0.1 ثانية و −2 m/s عند 0.01 ثانية. وثق البيانات والنافذة ولا تختلق دقة قياس.
- تحقق من وجود المشتقة؛ القاطع المتماثل عند زاوية النموذج |t−2| يعطي صفرًا لكنه لا يثبت مشتقة عندها. في التمرين 3t²+2t−1 تكون السرعة عند t=2 هي 14 m/s، وقاطع 0.1 ثانية يعطي 14.3 m/s.
حدد نوع السرعة والمعطيات أولًا
في حركة على محور واحد، السرعة المتجهة اللحظية هي مشتقة الموقع بالنسبة للزمن عندما تكون المشتقة موجودة: v(t)=dx/dt. وهي ميل المماس لمنحنى الموقع والزمن عند اللحظة المحددة. أما مقدار السرعة اللحظية فهو القيمة المطلقة لهذه السرعة المتجهة؛ فهو غير سالب ولا يصف الاتجاه وحده. [1]
نختار محورًا يكون اتجاهه الموجب إلى اليمين، وننشئ نموذجًا حسابيًا جديدًا هو x(t)=t²−4t+5. في هذه الكتابة المختصرة نعوض العدد الذي يمثل الزمن بالثواني، فتخرج قيمة الموقع بالمتر. ندرس الفترة من صفر إلى أربع ثوانٍ. النموذج مؤلف للشرح؛ لا يصف مسار سيارة رصدناها أو تجربة نفذناها.
الكتابة مع وحدات المعاملات هي x(t)=(1 m/s²)×t²−(4 m/s)×t+5 m. هكذا يعطي كل حد طولًا بالمتر. إذا أردت استعمال أزمنة بالدقائق، فلا تعوض عدد الدقائق مباشرة في الصيغة المختصرة التي اخترناها للثواني. الوحدة جزء من تعريف النموذج، وليست كلمة نضيفها بعد الحساب فقط.
قبل الحل اكتب المطلوب: هل نبحث عن السرعة المتجهة ذات الإشارة، أم مقدار السرعة، وفي أي لحظة؟ سيكون المثال الأول عند t=1 s. يمكن أن يكون الموقع في تلك اللحظة موجبًا، بينما السرعة المتجهة سالبة؛ الأول يحدد أين الجسم، والثانية تحدد اتجاه تغير موقعه في محورنا.
اشتق دالة الموقع ثم عوض الزمن المطلوب
في نموذجنا المختصر x(t)=t²−4t+5 تكون مشتقة الحد الأول 2t، ومشتقة −4t هي −4، ومشتقة الثابت خمسة صفر. نحصل على v(t)=2t−4 بوحدة متر لكل ثانية عند تعويض t بالثواني. لم نقسم الموقع كله على الزمن؛ أخذنا معدل تغيره المحلي، ولذلك اختفى ثابت الموقع من الصيغة الجديدة.
عند t=1 نحصل على v(1)=2×1−4=−2 m/s. الإشارة السالبة تعني أن الحركة نحو الاتجاه السالب للمحور، أي إلى اليسار وفق اختيارنا. مقدار السرعة في اللحظة نفسها اثنان متر لكل ثانية. نكتب النتيجتين منفصلتين حتى لا نسمي سالب اثنين مقدار سرعة أو نحذف الاتجاه إذا كان السؤال يطلبه.
الموقع عند اللحظة نفسها x(1)=1−4+5=2 m. لا نخلط هذا العدد مع مقدار السرعة الذي صادف أنه اثنان أيضًا؛ وحدتاهما مختلفتان، ودوراهما مختلفان في الوصف. معادلة الموقع تعطينا أين يقع الجسم، ومعادلة مشتقته تعطينا كيف يتغير الموقع. تساوي الرقمين في هذا التعويض ليس قانونًا يربط الموقع بالسرعة.
للفحص نستعمل لحظة أخرى: عند t=3 يكون الموقع 9−12+5=2 m أيضًا، لكن v(3)=6−4=+2 m/s. وصل النموذج إلى الموقع نفسه في زمنين مختلفين واتجاهين مختلفين. لذلك معرفة موقع واحد من دون الزمن أو وصف الحركة لا تكفي لاختيار السرعة اللحظية في هذا المثال.
اقرأ المماس من منحنى الموقع والزمن
يمر منحنى النموذج عند t=1 بالنقطة التي زمنها ثانية وموقعها متران. المماس هناك يكتب عدديًا x=4−2t؛ فهو يمر بالنقطة نفسها وله ميل −2. على هذا الخط، الانتقال من t=0 إلى t=2 يقابل تغير الموقع من 4 إلى 0، لذلك الميل (0−4)/(2−0)=−2 m/s.
هذه النقطتان على خط المماس لا على منحنى الحركة نفسه بالضرورة. على المنحنى الأصلي x(0)=5 وx(2)=1، بينما أعطى المماس 4 و 0. نستعمل نقطتي المماس لحساب ميله، ولا ندعي أن الجسم مر بموقعيهما في النموذج الأصلي. الرسم الرئيسي يميز الخط المماس المتقطع من منحنى الموقع المتصل.
لا تقسم ارتفاع نقطة المنحنى على زمنها لتستخرج الميل تلقائيًا. في النقطة(1,2)، يعطي 2÷1 عددًا موجبًا يساوي 2، بينما الميل الذي حسبناه سالب اثنين. الميل يقارن تغير الموقع بتغير الزمن على خط مناسب، ولا يقارن الموقع المطلق بالصفر إلا في حالة تتفق شروطها مع ذلك الحساب.
انظر إلى أسماء المحورين قبل قراءة الشكل. هنا المحور الأفقي زمن بالثواني، والرأسي موقع بالأمتار، لذلك تكون وحدة الميل مترًا لكل ثانية. لو كان الرسم سرعة مقابل زمن، لكان ميله متعلقًا بتغير السرعة لا بالسرعة نفسها. عنوان الرسم ووحدات المحاور هما ما يحددان معنى الحساب الذي تنفذه.
اقترب من اللحظة بقواطع أمامية قصيرة
نريد تقدير السرعة المتجهة عند الثانية الأولى باستخدام موقعين. نبدأ بالفترة من 1 إلى 1.5 ثانية: الموقع الأول 2، والثاني 1.25. القاطع يعطي(1.25−2)/(1.5−1)=−1.5 m/s. هذا متوسط متجه للفترة المختارة، وليس القيمة اللحظية −2 التي وجدناها من المشتقة. الفرق في المثال نصف متر لكل ثانية.
نقلص الفترة إلى 1.1 ثانية. موقع النهاية 1.81، فيكون الميل(1.81−2)/0.1=−1.9 m/s. ثم نختار 1.01 ثانية، وموقعها 1.9801، فيصبح الميل(1.9801−2)/0.01=−1.99 m/s. القيم المؤلفة تقترب من −2 مع تقليص الفترة، لكن لا نكتب أي كسر ذي مدة موجبة باعتباره مساويًا للحظة بمجرد أن مدته صغيرة.
يمكن رؤية الحساب عامًّا داخل نموذجنا. عند نهاية 1+h يكون الموقع 2−2h+h²، والفرق عن x(1) هو −2h+h². بقسمته على h غير الصفري نحصل على −2+h. عندما يقترب h من الصفر، تقترب النتيجة من −2. لم نعوض صفرًا في المقام؛ بسطنا التعبير أولًا ثم درسنا ما تقترب إليه قيمه.
إذا كان لديك جدول نقاط بدل المعادلة، فاذكر النافذة التي استخدمتها في التقدير. مثلًا «من 1 إلى 1.1 ثانية» معلومة يحتاجها من يريد إعادة حساب −1.9. لا تخف زمن النهاية تحت عبارة «فترة صغيرة»، ولا تضف مواقع غير موجودة في البيانات إلا إذا بينت أنك استعملت نموذجًا أو افتراضًا لحسابها.
| مدة النافذة h بالثانية | موقع النهاية بالمتر | ميل القاطع m/s |
|---|---|---|
| 0.5 | 1.25 | −1.5 |
| 0.1 | 1.81 | −1.9 |
| 0.01 | 1.9801 | −1.99 |
النافذة الخلفية والمتماثلة ليستا الطريقة نفسها
لو أخذنا الفترة من 0.5 إلى 1 ثانية، كان الموقع في البداية 3.25 وفي النهاية 2، فمتوسط السرعة المتجهة(2−3.25)/0.5=−2.5 m/s. اقتربنا من الثانية الأولى من الخلف بدل الأمام. في الصيغة العامة للنافذة الخلفية التي طولها h يكون الميل −2−h، مقابل −2+h للنافذة الأمامية في النموذج نفسه.
يمكن اختيار نقطتين تحيطان باللحظة: عند 0.9 ثانية الموقع 2.21، وعند 1.1 ثانية الموقع 1.81. فرق الموقع −0.4 خلال 0.2 ثانية يعطي −2 m/s تمامًا. هذه نافذة متماثلة حول الثانية الأولى. اتفاقها الدقيق مع المشتقة هنا ناتج من الشكل التربيعي الذي اخترناه، ولا يجعل كل نافذة متماثلة جوابًا لحظيًا دقيقًا لكل حركة.
لإظهار الحد، ننشئ نموذجًا آخر عدديًا z(t)=t³، والموقع فيه بالمتر والزمن بالثانية وفق تعريف مستقل للمعامل. مشتقته عند 1 تساوي 3 m/s. النافذة من 1−h إلى 1+h تعطي[(1+h)³−(1−h)³]/(2h)=3+h². عند h=0.1 تظهر 3.01، لا 3 بالضبط؛ لذلك لا نعمم نجاح القاطع المتماثل في النموذج الأول.
عند مقارنة تقديرين اكتب نوع النافذة ومدتها واللحظة التي تنسبه إليها. نافذة أمامية من 1 إلى 1.1 ونافذة متماثلة من 0.9 إلى 1.1 لا تصفان الفترة نفسها، حتى لو كان المركز المستهدف واحدًا. هذه المعلومات تجعل الاختلاف مفهومًا بدل تصنيف إحدى القيمتين خطأ لأن الأخرى أقرب إلى قيمة محفوظة.
افصل الإشارة عن مقدار السرعة
في النموذج الرئيس عند الأزمنة 0 و 1 و 2 و 3 و 4، تعطي الصيغة 2t−4 القيم −4 و −2 و 0 و 2 و 4 m/s. أما مقادير السرعة فهي 4 و 2 و 0 و 2 و 4 m/s. نأخذ القيمة المطلقة بعد حساب السرعة المتجهة، ولا نحذف كل الإشارات من معادلة الموقع قبل الاشتقاق أو التعويض.
بين صفر وثانيتين تتناقص قيمة الموقع لأن السرعة المتجهة سالبة، وبعد ثانيتين تتزايد لأن السرعة موجبة. في الرسم الداخلي يكون منحنى السرعة المتجهة خطًا يصعد من −4 إلى 4، بينما يكون منحنى مقدار السرعة على شكل حرف V يلامس الصفر عند الثانية الثانية. الرسمان يصفان النموذج نفسه، لكنهما يعرضان كميتين مختلفتين.
اختيار الاتجاه الموجب إلى اليسار بدل اليمين سيغير وصف الإشارة إذا أعدنا تعريف إحداثي الموقع بما يوافق ذلك. لن يغير مقدار السرعة للمواضع والأزمنة نفسها. في هذا المقال احتفظنا باتجاه موجب واحد حتى لا نبدل المرجع وسط الحساب. اذكر اختيار المحور قبل أن تفسر «موجب» أو«سالب» بأنه اتجاه مادي معين.
لا تستخدم كلمة «سرعة سالبة» وحدها إذا كنت تريد مقدار الحركة بلا اتجاه. قل «السرعة المتجهة −2 m/s، ومقدارها 2 m/s» في مثال الثانية الأولى. وإذا كان السؤال يطلب مجرد مقدار السرعة اللحظية، فأعط العدد غير السالب مع وحدته، ويمكنك إضافة اتجاه الحركة في جملة مستقلة عند الحاجة.
السرعة صفر في لحظة لا تعني السكون مدة كاملة
عند t=2 يعطي النموذج v=0، ويكون الموقع x=1 m. قبلها عند 1.9 يكون الموقع 1.01، وبعدها عند 2.1 يعود إلى 1.01. السرعة المتجهة قبل الثانية الثانية سالبة وبعدها موجبة، لذلك تمثل هذه اللحظة نقطة رجوع في الحركة المختارة. لا نستنتج أنه بقي عند الموقع 1 خلال الفترة من 1.9 إلى 2.1.
القاطع الواصل بين طرفي هذه الفترة المتماثلة ميله صفر لأن موقعي الطرفين متساويان. لكن الجسم في النموذج تحرك من 1.01 إلى 1 ثم عاد إلى 1.01؛ المسافة الكلية 0.02 m. خلال 0.2 ثانية يكون مقدار السرعة المتوسطة 0.1 m/s، مع أن السرعة المتجهة المتوسطة صفر. الصفر في المتوسط لا يثبت غياب الحركة داخل النافذة.
للمقارنة ننشئ نموذجًا مختلفًا يبقى موقعه ثابتًا x=1 m طوال فترة محددة. فيه لا يتغير الموقع بين أي زمنين في تلك الفترة، وتكون مشتقته صفرًا داخلها. هذا سكون على فترة، لا مجرد توقف لحظي عند نقطة رجوع. الفرق يتضح من وصف الموقع حول اللحظة، وليس من رؤية رقم صفر في صف واحد.
في نموذجنا التربيعي عرفنا الرجوع من تغير الإشارة حول الثانية الثانية. لا نحول العبارة إلى حكم عام بأن كل مشتقة صفرية تعني رجوعًا؛ فقد يكون الموقع ثابتًا كما في المثال الآخر، وقد توجد حالات أخرى. افحص الدالة أو البيانات المحيطة باللحظة قبل وصف ما فعله الجسم بعد الصفر أو قبله.
قارن اللحظة بمتوسط الفترة دون أن تستبدل أحدهما بالآخر
من 0 إلى 4 ثوانٍ في النموذج الرئيس، موقع البداية 5 وموقع النهاية 5، فتكون الإزاحة صفرًا ومتوسط السرعة المتجهة صفرًا. لكن الموقع انخفض إلى 1 ثم ارتفع إلى 5، والمسافة الكلية 4+4=8 m. متوسط مقدار السرعة للفترة كلها 8÷4=2 m/s. هذه حسابات عن أربع ثوانٍ، وليست السرعة عند لحظة بعينها.
عند الثانية الأولى كان مقدار السرعة 2 m/s، وصادف أنه يساوي متوسط مقدارها للفترة كلها. عند الثانية الثانية مقداره صفر، وعند الرابعة مقداره 4. لذلك لا نستعمل الرقم 2 متوسطًا للدلالة على أن السرعة كانت 2 في كل لحظة. تساوي متوسط مع قيمة لحظية في اختيار معين لا يجعل النوعين قابلين للاستبدال دائمًا.
يمكن أن تكون السرعة المتجهة عند الثانية الأولى −2، بينما متوسطها من 0 إلى 4 يساوي صفرًا، من دون أي تناقض. الأول يصف اتجاه الحركة المحلي، والثاني يصف الإزاحة الكلية مقسومة على المدة. السؤال هو الذي يحدد الفترة أو اللحظة المطلوبة. اكتب «عند t=1» أو«من 0 إلى 4» مع كل جواب.
لا تحتاج إلى رسم مسار في بعدين كي ترى الفرق في هذا التمرين؛ الرجوع على محور واحد يكفي. احتفظ أيضًا بفرق المسافة من تغير الموقع، فلا تجمع الإشارات لتصف المسافة الكلية. في مرحلة النزول من 5 إلى 1 طول الحركة أربعة، وفي مرحلة الصعود من 1 إلى 5 طولها أربعة أخرى.
تقصير النافذة لا يضمن تقديرًا أفضل من بيانات مقربة
كل المواقع السابقة حسابات من نموذج دقيق اخترناه. لننشئ تغييرًا عدديًا مقصودًا: نزيد موقع البداية في نافذة ما 0.01 m، وننقص موقع النهاية 0.01 m. عندئذ يقل فرق الموقع المحسوب 0.02 m عن الفرق الصحيح. هذا مثال مؤلف لخطأين في الإدخال، لا وصف إحصائي لميزان أو حساس اختبرناه.
إذا كانت النافذة 0.1 ثانية، يضيف هذا التغيير فرقًا في ميل القاطع مقداره −0.02÷0.1=−0.2 m/s. وإذا صارت 0.01 ثانية مع التغييرين نفسيهما، صار الأثر −2 m/s. كنا ننتظر تقليل فرق القاطع عن المشتقة باستعمال مدة أصغر، لكن أخطاء المدخلات المحددة في المثال أصبحت أكبر أثرًا بعد القسمة على مدة أصغر.
في النموذج المثالي، نافذة 0.1 الأمامية عند الثانية الأولى تعطي −1.9، ونافذة 0.01 تعطي −1.99. بعد التغيير العددي المقصود تصيران −2.1 و −3.99 على الترتيب. الأولى أبعد 0.1 عن القيمة −2، والثانية أبعد 1.99. الأعداد تبين لماذا يجب التمييز بين تقارب حسابات نموذج دقيق وبين تقدير من قيم مدخلة محدودة الدقة.
عند تقديم تقدير من جدول فعلي، وثق الأزمنة والمواقع كما وردت، وطريقة التقريب، والنافذة التي استعملتها. لا تختلق قيمة لخطأ القياس من هذا التدريب. إذا لم تعرف جودة البيانات، فقل إن النتيجة تقدير يعتمد عليها، ولا تجعل اختيار أصغر مدة ظاهرة دليلًا وحده على أن جوابك هو الأقرب إلى السرعة اللحظية الحقيقية.
راجع قابلية الاشتقاق ولا تجبر الرسم على سرعة واحدة
ننشئ رسمًا تعليميًا مختلفًا بقانون موضع y(t)=|t−2|، مع تعريف الزمن بالثانية والموقع بالمتر في الكتابة العددية. قبل الثانية الثانية يكون الخط ميله −1، وبعدها ميله+1. عند 2 يلتقي خطان بزاوية، فلا يوجد ميل مماس واحد يوافق الجهتين. هذا النموذج لا يعطي مشتقة متجهة عند تلك اللحظة.
إذا اخترنا نقطتين متماثلتين حول 2، كان موقعاهما متساويين، فيعطي القاطع ميلًا صفرًا. لكن صفر القاطع لا يصلح مشتقة عند الزاوية؛ الميل من اليسار −1 ومن اليمين+1 لا يتفقان. المثال يضيف فحصًا جديدًا إلى نجاح القاطع المتماثل سابقًا: قبل إعلان سرعة لحظية من حد، نتحقق من وجود الحد المناسب.
الزاوية هنا جزء من نموذج رياضي مؤلف، ولا نصفها انعطافًا فعليًا نفذناه أو حركة جسم تغير اتجاهه لحظيًا بلا تفاصيل. إذا كان السؤال يقدم رسمًا مقطعًا، فاذكر القيم داخل المقاطع وما يحدث عند نقاط التقاءها. قد نستطيع حساب ميل كل مقطع بينما تظل قيمة المشتقة عند نقطة الفصل غير معرفة.
ولا يلزم بحث حالات الزوايا في كل مسألة تربيعية ناعمة؛ في نموذجنا الرئيس كانت المشتقة 2t−4 موجودة في اللحظات الداخلية التي حسبناها. نذكر الشرط حتى لا ننقل نجاح اشتقاق ذلك النموذج إلى أي خط مرسوم. قراءة شكل العلاقة وشروطها تأتي قبل تفسير ناتج قسمة صغيرة بأنه سرعة لحظية.
طريقة عمل قصيرة مع تمرين مستقل
ابدأ بتحديد محور الحركة ووحدات الزمن والموقع، ثم نوع الجواب واللحظة المطلوبة. إذا أعطيت دالة قابلة للاشتقاق، احسب مشتقتها ثم عوض الزمن. وإذا أعطيت رسم موقع مقابل زمن، ابحث عن المماس عند اللحظة. وإذا أعطيت جدولًا فقط، سم النافذة ونوع التقدير بدل تقديمه بوصفه مشتقة معلومة دون شروط.
نختار تمرينًا مستقلًا q(t)=3t²+2t−1 في كتابة عددية تعيد أمتارًا عند التعويض بثوانٍ. مشتقته 6t+2. عند t=2 يكون الموقع 12+4−1=15 m، والسرعة المتجهة 14 m/s، ومقدارها 14 m/s. الرقم 15 موقع، والرقم 14 سرعة؛ الاختلاف بينهما طبيعي، ولا نعدل إحدى القيمتين لكي تتساويا.
للنافذة الأمامية من 2 إلى 2.1 ثانية في التمرين الجديد، الموقع النهائي 13.23+4.2−1=16.43 m. ميل القاطع(16.43−15)/0.1=14.3 m/s، لا 14 تمامًا. يمكن فحص سبب الفرق من التعبير العام 6×2+2+3h=14+3h. عندما h=0.1 تكون الزيادة 0.3، وعندما تقترب المدة من الصفر تختفي في هذا النموذج.
اختم الحل بذكر هل النتيجة متجهة أم مقدارًا، وهل هي لحظية من دالة أو تقدير قاطع لفترة، وما الوحدة واللحظة أو النافذة. ثم راجع الإشارة وحساب المشتقة وعدم قسمة الموقع على الزمن بلا مبرر. هذه المعلومات تجعل جواب السرعة قابلًا للفهم والفحص، بدل أن يبقى رقمًا مفصولًا عن الحركة التي افترضها السؤال.
المصادر ومتابعة القراءة
- OpenStax University Physics: السرعة المتجهة اللحظية ومقدار السرعة والاشتقاق (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.