حساب المتوسط الهندسي: من حاصل الضرب إلى عامل النمو

الخلاصة السريعة

للعددين الموجبين، المتوسط الهندسي هو الجذر التربيعي لحاصل ضربهما. [1]

• مع n قيم موجبة، خذ الجذر من الدرجة n لحاصل ضرب القيم. [1]
• في مثالنا 3 و12: المتوسط الهندسي 6، والحسابي 7.5؛ الأول يحفظ حاصل الضرب والثاني المجموع.
• لمعدلات النمو في فترات متساوية، استخدم العوامل 1+r، ثم اطرح 1 من المتوسط الهندسي للعوامل. [1]
• في مثالنا زيادة 25% ثم نقصان 20% يعيدان 100 إلى 100؛ المعدل المكافئ 0% لكل فترة، لا 2.5%.
• في Excel، أدخل قيمًا موجبة في GEOMEAN؛ وجود صفر أو قيمة سالبة يسبب ‎#NUM!‎. [3]
• احتفظ ببيانات الفترات والإضافات؛ المثال يفترض تغيرًا نسبيًا فقط دون إضافة أو حذف كمية.

قانون المتوسط الهندسي للقيم الموجبة

إذا كانت القيم x₁ إلى xₙ موجبة، فإن G=(x₁×…×xₙ)^(1/n). للثلاثة أعداد نستخدم الجذر التكعيبي، لا نقسم حاصل الضرب على 3. [1]

لنجرب أعدادًا اخترناها: 3، 6، 12. حاصل ضربها 216، والجذر التكعيبي 6، ولذلك G=6. التحقق مباشر: 6×6×6=216. أما قسمة 216 على 3 فتعطي 72، وهي عملية مختلفة، لا المتوسط المطلوب.

مثال يفصل حاصل الضرب عن المجموع

المتوسط الحسابي يساوي مجموع القيم مقسومًا على عددها. [2]

اخترنا العددين 3 و12: الجذر التربيعي لـ36 يساوي 6. استبدالهما بالعددين 6 و6 يبقي الضرب 36، لكنه يغير المجموع من 15 إلى 12. في المقابل، المتوسط الحسابي (3+12)/2=7.5؛ فالعددان 7.5 و7.5 يحفظان المجموع 15، لكن حاصل ضربهما 56.25.

يمكن رسم مستطيل 12×3 ومربع 6×6، فيكون لكل منهما مساحة 36 وحدة مربعة. طول ضلع المربع يوضح المتوسط الهندسي في هذا المثال. لا نقول إن شكل البيانات يختار المتوسط تلقائيًا؛ المثال يشرح الفرق بين عمليتين.

حوّل نسبة التغير إلى عامل نمو

للنمو المتتابع في فترات متساوية، حوّل المعدل العشري r إلى عامل 1+r. معدل النمو المكافئ هو المتوسط الهندسي للعوامل ناقص 1. [1]

مثال حسابي من إعدادنا: نبدأ بكمية 100 وحدة. زيادة 25% تضربها في 1.25 فتصبح 125. ثم نقصان 20% يضرب 125 في 0.80 فتصبح 100. نفترض فترتين متساويتين، دون إضافة أو حذف كمية خارج هذين التغيرين.

حاصل ضرب العاملين 1.25×0.80=1. المتوسط الهندسي لهما √1=1، والمعدل المكافئ 1−1=0، أي 0% لكل فترة. أما المتوسط الحسابي للمعدلين فيساوي (25%−20%)/2=2.5%. تطبيق زيادة 2.5% مرتين يعطي 100×1.025²=105.0625، فلا يعيد القيمة النهائية نفسها.

النقصان لا يعني عاملًا سالبًا هنا: المعدل −20% يصبح r=−0.20، والعامل 0.80 موجب. لا تدخل 25 و−20 بوصفهما عوامل نمو.

تحقق بالحاسبة أو بدالة GEOMEAN

إذا وضعت القيم 3 و12 في A1 وA2، فاستخدم ‎=GEOMEAN(A1:A2)‎. تحتاج الدالة قيمًا موجبة؛ أي قيمة أقل من الصفر أو مساوية له تنتج ‎#NUM!‎. [3]

للمثال السابق أدخل العاملين 1.25 و0.80 في الخلايا، ثم احسب المتوسط واطرح 1. نسق الناتج كنسبة مئوية؛ ينبغي أن تحصل على 0% في هذا المثال. راجع القيم الفعلية في الخلايا إذا اختلف الجواب، ولا تعتمد على عنوان العمود وحده.

ما الذي ينبغي تسجيله مع النتيجة؟

هذا الشرح يستخدم القيم الموجبة، ويشترط تساوي مدد الفترات عند حساب معدل نمو مكافئ لكل فترة. [1]

اكتب هل المدخلات أعداد عادية أم عوامل نمو، وعددها، وما تمثله الفترة. لا تجمع شهرًا وسنة تحت وصف «فترتين متساويتين». في المثال ذي 100 وحدة، أي إضافة جديدة للكمية تستلزم إعادة بناء الحساب؛ لا تنسب كل الفرق إلى النمو النسبي.

عند نقل النتيجة إلى تقرير، ضع معها قائمة المدخلات والحساب. قيمة G وحدها لا تعرض التقلب بين المراحل: المسار 100 ثم 125 ثم 100 مختلف في الوسط عن بقاء الكمية 100 طوال الوقت، رغم اتفاق البداية والنهاية.