حساب المقاعد في صفوف غير متساوية يبدأ بوصف كل صف قبل اختيار عملية الضرب. سنستخدم مخططًا مؤلفًا فيه ثلاثة صفوف كاملة وصف أقصر، ونفحص مجموع المقاعد بطريقتين. ثم نميز مقعدًا موجودًا لكنه فارغًا من مساحة لا يوجد فيها مقعد؛ الفرق يغيّر ما نعده وما نطرحه.
الخلاصة السريعة
اجمع أعداد المقاعد الموجودة في الصفوف، أو اجمع مجموعات متساوية وأضف الباقي؛ لا تضرب عدد الصفوف في طول أطول صف دون فحص الصفوف الأخرى.
- المصفوفة المستطيلة في المرجع تضم صفوفًا متساوية وأعمدة متساوية؛ افحص هذا الشرط في الرسم. [1]
- في مخططنا ثلاثة صفوف من ثمانية مقاعد وصف من خمسة؛ الحساب ثلاثة في ثمانية ثم إضافة خمسة يعطي تسعة وعشرين مقعدًا.
- ضرب أربعة في ثمانية يعطي اثنين وثلاثين مكانًا في مستطيل متخيل؛ نطرح المساحات الثلاث بلا مقاعد لنعود إلى التسعة والعشرين الموجودة.
- المقاعد الخمسة الفارغة موجودة ضمن المجموع؛ طرحها من تسعة وعشرين يعطي أربعة وعشرين مقعدًا مشغولًا، ولا نطرح المساحات الغائبة مرة أخرى.
- حدد السؤال ومفتاح الرسم، وسجل عدد الموجود والفارغ لكل صف؛ لا تعد رمز الحالة عنصرًا إضافيًا أو تجعل اللون وحده بديلًا عن التعريف.
- في التمارين، افحص توزيع الصفوف أولًا ثم المجموع والمشغول؛ صف فارغ من الجالسين قد يحتوي مقاعد، ولا يعني غياب المقاعد أن عدد الصفوف تغير.
ابدأ بشرط الصفوف المتساوية
تصف مقالة NRICH المصفوفة العددية بأنها ترتيب أشياء في صفوف وأعمدة، مع تساوي عدد الأشياء في الصفوف بعضها مع بعض وفي الأعمدة بعضها مع بعض. سنستخدم هذا الشرط لفحص رسم مؤلف؛ وجود صفوف على الورقة لا يعني وحده أن جميع الصفوف متساوية. [1]
نقصد بالمقاعد الموجودة الرموز التي رسمناها وعددها ثابت في المثال. بعض هذه المقاعد مشغول وبعضها فارغ. أما المساحة بلا مقعد فلا تدخل في عد الموجود أصلًا. هذه ورقة حساب على رسم افتراضي، وليست قياسًا لقاعة أو توصية بسعتها أو تقريرًا عن عدد زوار مكان حقيقي.
سمّ الشيء الذي ستعده قبل الحساب: هل يريد السؤال مجموع المقاعد، أم المشغول منها، أم عدد الصفوف؟ في نموذجنا توجد أربعة صفوف محددة، لكنها ليست كلها بطول واحد. سنحتفظ بأسماء الصفوف الأول والثاني والثالث والرابع، ونذكر عدد المقاعد في كل واحد بدل الاعتماد على شكل مستطيل حولها.
عدّ تسعة وعشرين مقعدًا بطريقتين
المعطيات المؤلفة هي: في الصف الأول ثمانية مقاعد، وفي الثاني ثمانية، وفي الثالث ثمانية، وفي الرابع خمسة. اكتب الجمع المباشر 8+8+8+5=29. كل مقعد موجود ينتمي إلى صف واحد في هذا الرسم، ولذلك لا يوجد مقعد مشترك نعده مرة في صف ومرة في صف آخر.
يمكن اختصار الجزء المتساوي فقط: الصفوف الثلاثة الأولى مجموعها 3×8=24، ثم نضيف مقاعد الرابع الخمسة فنحصل على 24+5=29. الرقم ثلاثة هنا عدد الصفوف الكاملة، لا عدد المقاعد في الصف الرابع. اكتب إلى جانب كل عامل ما يمثله حتى لا تتحول عملية الضرب إلى أرقام منفصلة عن الرسم.
الفحص الثاني يبدأ بمستطيل افتراضي من أربعة صفوف، في كل صف ثمانية أماكن. فيه 4×8=32 مكانًا. الصف الرابع في رسمنا أقصر بثلاثة أماكن، فلا توجد فيها مقاعد؛ نطرح ثلاثة فنصل إلى 32-3=29. العددان تسعة وعشرون في الفحصين يصفان المقاعد الموجودة نفسها، لا مجموعتين مختلفتين.
تصحيح ضرب عدد الصفوف في أطول صف
كتب متعلم: «لدينا أربعة صفوف، وأرى ثمانية مقاعد في الصف الأول، إذن العدد اثنان وثلاثون». الحساب 4×8 صحيح كعملية، لكن وصفه لا يطابق الرسم. لقد افترض أن الصف الرابع يضم ثمانية أيضًا، بينما المعطى يقول خمسة. الخطأ هنا في اختيار ما يمثله العاملان، وليس في حاصل الضرب نفسه.
صحح الجواب بطريقتين: إما أن تقسم الصفوف إلى مجموعة من ثلاثة متساوية وصف منفرد، وإما أن تصف المستطيل الافتراضي وتستبعد الأماكن الغائبة. لا تقل إن كل رسم غير منتظم يمنع أي استعمال للضرب؛ استعملناه بالفعل في جزء متساوٍ، ثم أضفنا أو طرحنا العدد الذي يصف الفرق.
ولا تختَر صفًا قصيرًا ثم تعمم حجمه على البقية. ضرب أربعة في خمسة يعطي عشرين، وهو عدد صفوف متخيلة أقصر من صفوفنا الأولى. إذا استخدمت هذه البداية للمراجعة، فعليك إضافة ثلاثة مقاعد لكل واحد من الصفوف الثلاثة الأولى: 20+3×3=29. اشرح التعديل حتى يعرف القارئ كيف عاد الحساب إلى الرسم.
المقعد الفارغ يختلف عن المكان الغائب
أضف إلى الرسم حالة الجلوس: يوجد مقعد فارغ في الصف الأول، وواحد في الثاني، وواحد في الثالث، ومقعدان فارغان في الرابع. مجموع الفارغ خمسة. نستخدم رمز المقعد نفسه بإطار واضح، ونميز المشغول بتعبئة داخله. اللون يصف الحالة، ولا ينشئ مقعدًا جديدًا بجوار المقعد الذي كنا نعده.
المشغول في الصفوف الثلاثة الأولى سبعة في كل صف، وفي الرابع ثلاثة. لذلك نجد 7+7+7+3=24. ويمكن التحقق بطرح الفارغ من الموجود: 29-5=24. هاتان طريقتان لعد المشغول فقط؛ مجموع المقاعد بقي تسعة وعشرين، ولم يتحول إلى أربعة وعشرين لمجرد أن خمسة منها لا يجلس عليها أحد.
إذا بدأت من المستطيل المتخيل ذي الاثنين والثلاثين مكانًا، فاطرح الأماكن الثلاث بلا مقاعد أولًا، ثم المقاعد الخمسة الموجودة الفارغة: 32-3-5=24. أما البدء من تسعة وعشرين ثم طرح الثلاثة والخمسة معًا، فيعطي إحدى وعشرين؛ لقد استبعدت المساحات الغائبة مرتين، مرة عند عد الموجود ومرة في الطرح الأخير.
سجل الأعداد قبل جمعها
اكتب سجلًا صغيرًا للمثال: الأول، الموجود ثمانية والفارغ واحد؛ الثاني، ثمانية وواحد؛ الثالث، ثمانية وواحد؛ الرابع، خمسة واثنان. استخرج المشغول في كل صف بطرح فارغه من موجوده. حين تجمع العمودين بعد ذلك، تستطيع مراجعة أن مجموع المشغول والفارغ يعيد مجموع الموجود: 24+5=29.
اجعل مفتاح الرسم صريحًا: رمز ذو تعبئة يعني مقعدًا مشغولًا، ورمز بإطار فقط يعني مقعدًا موجودًا فارغًا، والمساحة التي لا تحمل رمز مقعد لا تعد مقعدًا. لا تضف رمزي المفتاح إلى المخطط أثناء العد؛ إنهما يشرحان العلامات التي تكررها داخل الصفوف، وليسا مقعدين في صف خامس.
راجع أيضًا هل تغير المعطى أم تغيرت الحالة. انتقال شخص من مقعد إلى آخر موجود لا يضيف مقعدًا إلى الرسم. وإذا أزلنا مقعدًا فعلًا من الصف الرابع في تمرين جديد، يجب أن نغير عدد الموجود في ذلك الصف. لا يمكن معرفة التغيير من كلمة «فارغ» وحدها؛ صف الشيء الذي حدث قبل تعديل الحساب.
تمارين جديدة مع حلول للفحص
تمرين أول: ثلاثة صفوف، أعداد مقاعدها ستة وستة وأربعة. المجموع 6+6+4=16، أو 3×6-2=16 إذا بدأت بمستطيل افتراضي. توجد خمسة مقاعد فارغة موزعة على الصفوف كما تريد، فيكون المشغول 16-5=11. لا تطرح المكانين الغائبين من الستة عشر مرة أخرى.
تمرين ثان: خمسة صفوف، في كل من الأربعة الأولى سبعة مقاعد وفي الأخير اثنان. الموجود 4×7+2=30. إذا كان الصف الأخير خاليًا من الجالسين، والمقاعد الأخرى كلها مشغولة، فالمشغول ثمانية وعشرون والفارغ اثنان. عدد الصفوف خمسة، لأن خلوه من الناس لم يحذف صف المقاعد المرسوم.
اختر طريقة فحص مستقلة بعد الإجابة: عد الرموز صفًا صفًا، أو ابدأ بمستطيل متخيل مع توضيح ما استبعدته. سمّ الناتج. إذا اختلف الحسابان، راجع الافتراض الذي حمله كل عامل قبل إعادة إجراء الضرب نفسه.
المصادر ومتابعة القراءة
- NRICH: المصفوفات العددية وتمثيل الضرب (يفتح في نافذة جديدة)nrich.maths.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.