مبرهنة بونسليه: مثلث يغلق بين دائرتين من بداية جديدة

الخلاصة السريعة

وجود مثلث برؤوس على الخارجية وأضلاع تمس الداخلية يضمن إغلاق مثلث من أي بداية على الخارجية، مع ثبات الدائرتين. [1]

• الدائرة الخارجية مركزها O=(3/2,2)، ونصف قطرها R=5/2؛ الداخلية مركزها I=(1,1)، ونصف قطرها r=1. مربع المسافة بين المركزين5/4 أصغر من(R−r)²=9/4، فتقع الداخلية داخل الخارجية دون تماس.
• مثلث البداية A=(0,0)، B=(3,0)، C=(0,4) رؤوسه على الخارجية. أضلاعه y=0 و4x+3y=12 وx=0 تبعد1 عن I، ونقاط تماسها داخل القطع؛ إذن لدينا إغلاق بثلاثة أضلاع.
• نبدأ من P=(4,2). المماس y=2 يقود إلى Q=(−1,2)، ثم المماس4x+3y=2 يقود إلى T=(4/5,−2/5)، ثم3x−4y=4 يعيدنا إلى P. لا نعد رجوع Q إلى P على المماس الأول خطوة جديدة للمثلث.
• نقاط التماس الجديدة K1=(1,2)، K2=(1/5,2/5)، K3=(8/5,1/5). بعدها عن I يساوي1، ونصف القطر عمودي على الضلع عند كل منها. [2] أما مع الخارجية فالأضلاع قواطع، لا مماسات.
• النقطة V=(3,4) على الخارجية، لكن اختيار P وQ وV لا يحقق شرط الأضلاع المماسة. مربعا بعدَي I عن QV وVP هما16/5 و49/5، لا1. وجود الرؤوس على الدائرة لا يكفي.
• المثلث الجديد في أعدادنا صورة منعكسة للمثلث الأول، وأطواله5 و3 و4؛ هذا اختيار خاص لا شرط للمبرهنة. الحساب يثبت المثالين، والحكم لأي بداية مستند إلى المصدر. الإزاحة(2,−1) تحفظ الإغلاق، والتكبير2 يعطي R=5 وr=2.

ثبت الدائرتين قبل تغيير البداية

نكتب الخارجية على الصورة(x−3/2)²+(y−2)²=25/4. مركزها O=(3/2,2)، ونصف قطرها5/2. وبعد نشر الأقواس تصبح x²+y²−3x−4y=0. سنستعمل الصيغة الأخيرة عند تقاطع مستقيم مع الدائرة.

الداخلية هي(x−1)²+(y−1)²=1، ومركزها I=(1,1). المسافة بين المركزين ليست صفرًا: مربعها(1/2)²+1²=5/4. والفرق بين نصفي القطر3/2، ومربعه9/4. لأن5/4<9/4، تكون مسافة المركزين أصغر من فرق نصفي القطر.

إذن القرص الداخلي داخل القرص الخارجي تمامًا، ولا يتلامس المحيطان. كل نقطة على الخارجية خارج الداخلية، فيمكن البدء منها بمماس للداخلية. لا نفترض أن الدائرتين متحدتا المركز، ولا نغيرهما عندما نختار رأسًا جديدًا.

شرط المبرهنة وجود مضلع مغلق بين المنحنيين الثابتين. [1] التداخل وحده لا يكفي؛ نثبت مثلثًا صالحًا قبل تغيير البداية.

مثلث أول يثبت وجود الإغلاق

اختر A=(0,0)، B=(3,0)، C=(0,4). كل نقطة تحقق x²+y²−3x−4y=0: عند A تنعدم الحدود، وعند B نحصل على9−9=0، وعند C نحصل على16−16=0. فهي ثلاث نقاط مختلفة على الخارجية.

خط AB هو y=0، وخط CA هو x=0. بعد I عن كليهما1. أما BC فهو4x+3y=12؛ عند I يكون الطرف7، والفرق عن12 مقداره5. بقسمته على طول العمود√(4²+3²)=5 نجد البعد1.

نقاط أقدام الأعمدة من I هي(1,0) على AB، و(9/5,8/5) على BC، و(0,1) على CA. تقع على قطع الأضلاع نفسها؛ مثلًا على BC تساوي نسبة المسار من B إلى نقطة التماس2/5، بين0 و1.

النقاط الثلاث تبعد1 عن I، وتحدد تماس الدائرة الداخلية مع الأضلاع. إذن مثلث ABC يجمع بين مرور الخارجية برؤوسه وتماس الداخلية مع أضلاعه. مساحته3×4/2=6، فهو ليس مسارًا منعدم المساحة أو رجوعًا بين نقطتين.

ثلاث خطوات من النقطة الجديدة

اختر P=(4,2) على الخارجية؛ التعويض يعطي16+4−12−8=0. الخط y=2 يمر بـ P ويبعد1 عن I، فيمس الداخلية عند(1,2). ومع الخارجية نحصل على x²−3x−4=0، أي(x−4)(x+1)=0.

أحد التقاطعين هو P الذي بدأنا منه، والآخر Q=(−1,2). ننتقل إلى Q، ثم نختار المماس الآخر للداخلية بدل العودة على y=2. هذا المماس4x+3y=2؛ يمر بـ Q لأن−4+6=2، وبعده عن I هو|7−2|/5=1.

اكتب y=(2−4x)/3، وعوّض في الخارجية. بعد إزالة المقام ينتج25x²+5x−20=0، أي5(5x−4)(x+1)=0. الجذر−1 يعيد Q، والجذر4/5 يعطي T=(4/5,−2/5). نحافظ على الكسور قبل أخذ أي تقريب.

من T نختار المماس التالي3x−4y=4. يحقق T المعادلة لأن12/5+8/5=4، وبعد الخط عن I هو|3−4−4|/5=1. بالتعويض y=(3x−4)/4 في الخارجية، ينتج(25/16)x²−(15/2)x+5=0.

الجذران4/5 و4 يحددان T وP. هكذا يكون المسار P→Q→T→P، بثلاثة رؤوس مختلفة وثلاثة أضلاع. العودة إلى P جاءت بعد استعمال مماسين جديدين؛ لم نغلق شكلًا بمجرد إعادة السير على الضلع الأول.

افحص التماس على القطع لا بالعين

مماس الدائرة يلتقي محيطها في نقطة واحدة، ويكون نصف القطر عموديًا عليه عندها. [2] في مثالنا الضلع نفسه مماس للداخلية وقاطع للخارجية، لأنه يصل رأسين مختلفين على الخارجية. لا نسميه مماسًا مشتركًا للدائرتين.

على PQ، قدم العمود من I هي K1=(1,2). مربع طول IK1 يساوي1. تقع K1 عند نسبة3/5 من P إلى Q، أي داخل القطعة، لا على امتدادها. اتجاه PQ أفقي ونصف القطر رأسي.

على QT، قدم العمود هي K2=(1/5,2/5). إزاحتها عن I هي(−4/5,−3/5)، ومجموع مربعي المركبتين1. اتجاه QT هو(9/5,−12/5)؛ الضرب الداخلي−36/25+36/25=0. تقع K2 عند نسبة2/3 من Q إلى T.

على TP، نجد K3=(8/5,1/5). إزاحتها عن I هي(3/5,−4/5)، وطولها1. اتجاه TP هو(16/5,12/5)، والضرب الداخلي48/25−48/25=0. نسبة المسار من T إلى K3 هي1/4.

هذه الفحوص تجمع ثلاث صفات: النقطة على الدائرة الداخلية، وعلى خط الضلع، وداخل قطعة الضلع. الدائرة الداخلية تقع داخل المثلث الجديد أيضًا؛ الجهات التي تضم I بالنسبة إلى الأضلاع الثلاثة هي جهات داخل المثلث، لا جهات دائرة مماسة خارجية.

رؤوس على الخارجية لا تكفي

بدل T اختر V=(3,4). تحقق V معادلة الخارجية لأن9+16−9−16=0. فيبقى مثلث PQV مرسومًا برؤوس على الخارجية، ويظل PQ مماسًا للداخلية. لكن الشرط يطلب تماس الأضلاع الثلاثة.

خط QV هو x−2y=−5؛ عند I يساوي الطرف−1، فيكون الفرق4. مربع المسافة إلى الخط16/5. وخط VP هو2x+y=10؛ عند I يعطي3، والفرق7، فمربع المسافة49/5. كلاهما أكبر من r²=1.

إذن الخطان لا يمسان الدائرة الداخلية، بل يبتعدان عنها. لا نختار رأسًا ثالثًا كيفما اتفق ثم ننسب مثلثه إلى مبرهنة بونسليه. اللوحة المقارنة تميز PQ الصحيح بالأزرق، والضلعين المخالفين بالأحمر، مع الدائرتين نفسيهما.

خطأ آخر هو السير P→Q→P على y=2 ثم وصفه بأنه مثلث مغلق. هذا رجوع على القطعة نفسها، وله رأسان فقط ومساحة صفر. عند Q استعملنا المماس الآخر للوصول إلى T؛ وعند T استعملنا المماس الآخر للوصول إلى P.

نقاط التماس ليست رؤوسًا جديدة على الخارجية. فمثلًا K1=(1,2) على الداخلية، لكن قيمتها في x²+y²−3x−4y تساوي−6. لا ننتقل من P إلى K1 ثم نعدها خطوة إلى الرأس الثاني.

ما الذي يثبته المثال؟

مجموعات الإحداثيات تثبت مثلثين بين الدائرتين، ولا تثبت وحدها النتيجة لكل رأس بداية على الخارجية. هذا الحكم العام هو ما يقدمه المصدر. [1] لا نحتاج إلى حفظ مواضع الرؤوس القديمة عند تحريك البداية؛ نبقي الدائرتين وشروط التماس ثابتة.

في هذا الاختيار أطوال PQ وQT وTP هي5 و3 و4، ومساحته6، مثل المثلث الأول. والسبب أن الانعكاس في خط المركزين2x−y=1 ينقل A إلى T، وB إلى Q، وC إلى P. هذا تطابق خاص بالمثالين المختارين؛ لا نجعل تساوي الأطوال شرطًا في صياغة المبرهنة.

الإزاحة(2,−1) تنقل المركزين إلى O=(7/2,1) وI=(3,0)، والرؤوس الجديدة إلى P=(6,1)، Q=(1,1)، T=(14/5,−7/5). تبقى أنصاف الأقطار والمسافات والتماس كما كانت، ويغلق المسار بعد ثلاث خطوات.

التكبير بعامل2 يجعل R=5 وr=2، والرؤوس P=(8,4)، Q=(−2,4)، T=(8/5,−4/5). تتضاعف الأطوال، وتصبح المساحة24. عدد الخطوات لا يتغير، لأن التكبير الموحد يحفظ الدوائر والخطوط والتماس.

راجع أن الدائرتين ثابتتان، والرؤوس على الخارجية، وكل ضلع يمس الداخلية عند نقطة على قطعته. اختر التقاطع الثاني مع الخارجية في كل خطوة، وابتعد عن الرجوع على المماس الذي وصلت عليه. لا ينوب شكل يبدو قريبًا من الإغلاق عن تعويض دقيق في المعادلات.