حساب المقاومة المكافئة على التوالي والتوازي مع شبكة مختلطة

مقاومتان قيمتاهما 6 و 12 أوم قد تعطيان مكافئة 18 أوم أو 4 أوم؛ القيم وحدها لا تختار الجواب. يبدأ حساب المقاومة المكافئة بتحديد الطرفين والعقد التي تتصل بها العناصر. نعمل هنا على شبكات مؤلفة للتدريب، فنحسب التوالي والتوازي، ثم نبسط شبكة مختلطة ونعود إلى جهود الفروع وتياراتها لفحص النتيجة.

الخلاصة السريعة

لحساب المقاومة المكافئة، اجمع قيم المقاومات المتوالية، وفي التوازي اجمع المقلوبات ثم اقلب المجموع، بعد التأكد من اتصال الفروع بالعقدتين نفسيهما. ^{[1]، [2]}

حدد الطرفين والعقد وافترض القيم الموجبة الثابتة والأسلاك المثالية كما في المسألة؛ قرب العناصر أو اتجاه رسمها لا يحدد التوالي أو التوازي. المكافئة لا تعطي كل فرع جهد الشبكة أو تيارها تلقائيًا.
في المثال 6 و 12 أوم، التوالي يعطي 18 أوم، والتوازي يعطي 4 أوم. عند جهد 6 فولت، تيار التوالي 1/3 أمبير وجهداه 2 و 4 فولت؛ وفي التوازي التياران 1 و 0.5 أمبير والجهد 6 لكل فرع. ^{[1]، [2]}
المجموع 1/6+1/12=1/4 هو مقلوب المكافئة، لا مقاومتها. راجع أن المكافئة المتوازية لمقاومتين موجبتين أو أكثر أصغر من أصغر فرع، وأن وحدات الأوم والكيلو أوم موحدة قبل الحساب. ^[2]
في الشبكة 4 أوم ثم توازي 6 و 12، اختزل التوازي إلى 4 ثم اجمع لتحصل على 8 أوم. عند مصدر 8 فولت، التيار 1 أمبير وجهد المجموعة 4 فولت؛ تيارا الفرعين 2/3 و 1/3 أمبير.
استعمل جهد المجموعة لحساب تيار الفرع. في المثال المختلط،8 فولت هي بين A وB، و 4 فولت بين C وB. لا تخلط بيانات مصدر 8 فولت ببيانات مقارنة لها مصدر 16 فولت.
ثلاث مقاومات 9 أوم تعطي 27 على التوالي و 3 على التوازي. إضافة فرع أو حذفه تغير الشبكة؛ حذف فرع 12 في المثال المختلط يعطي 10 أوم، ولا يعادل استبداله بسلك.
افحص شروط المجهول: مع 6 أوم على التوازي، هدف 4 أوم يحتاج فرع 12، وهدف 8 أوم لا يحقق الحل الموجب. في تدريب 3 ثم توازي 8 و 24 تكون المكافئة 9 أوم؛ أعد فحص التيارات والجهود بعد الاختزال.

حدد طرفي الشبكة وما الذي تستبدله

المقاومة المكافئة تستبدل شبكة مقاومات من جهة طرفين محددين. للمقاومات المتوالية نجمع قيمها، ويكون التيار نفسه في عناصر المسار الواحد. وفي التوازي تتصل الفروع بين العقدتين نفسيهما، فتشترك في فرق الجهد وتجمع مقلوبات المقاومات لإيجاد مقلوب المكافئة. تعتمد النتيجة على القيم والتوصيل معًا. ^{[1]، [2]}

سنستعمل مقاومات موجبة ثابتة وأسلاك توصيل مثالية في مسائل مؤلفة، لا في تركيب نفذناه. نسمي طرفي الشبكة A وB. المطلوب أولًا هو العدد الذي يحافظ على علاقة الجهد والتيار الكليين بين هذين الطرفين في النموذج. لا يعني ذلك أن كل عنصر داخل الشبكة يأخذ التيار الكلي أو الجهد الكلي نفسه.

قد يسأل تمرين عن المكافئة بين طرفين آخرين في الرسم، فتحتاج إلى قراءة الوصلات من جديد. لذلك اكتب اسمي الطرفين في ورقة الحل قبل جمع أي قيم. سنبقي A وB طرفي المسألة في جميع المقارنات الأساسية، ونغير شكل التوصيل عمدًا لكي يظهر أثره، بدل تغيير الطرفين من دون تصريح.

إذا كانت قيمة مقاومة غير معطاة، أو كانت الشبكة تحتوي عناصر غير المقاومات المفترضة، فلا تكمل المعلومات من عندك. هذا الدرس يطبق قوانين مقاومات أومية في حالة مستقرة مع شروط محددة. الأعداد والرسوم تشرح الحساب؛ ولا تحدد قدرة عنصر تجاري أو تغير مقاومته مع الحرارة أو سلوك كل جهاز يوصل بالمصدر.

اقرأ العقد بدل الحكم من شكل الرسم

العقدة في رسومنا تضم نقاطًا يصل بينها سلك مثالي من دون مقاومة بينية. إذا كان طرف المقاومة الأولى يصل إلى طرف الثانية عند عقدة لا يتفرع منها مسار آخر، فهما على المسار المتتابع نفسه في مثال التوالي. رسمهما على خط مستقيم يساعد النظر، لكنه ليس السبب الرياضي الذي يجعل التيار فيهما واحدًا.

في مثال التوازي لكل مقاومة طرف عند A وطرف عند B، ولو رسمنا واحدة أفقية والأخرى رأسية. المعنى هو اشتراكهما في العقدتين، لا اتجاه المستطيل الذي يرمز للمقاومة. ارسم أسماء العقد على أطراف العناصر قبل اختيار القانون؛ فإذا وجدت أربعة أطراف موزعة على ثلاث عقد، فلا تعدهما متوازيتين لمجرد قربهما.

يمكن نقل مقاومة في الرسم أو إطالة سلك مثالي من دون تغيير أي عقدة تتصل بها. عندئذ تبقى العلاقات نفسها والمكافئة نفسها. أما نقل طرف إلى عقدة أخرى فيغير الشبكة، وقد يغير النتيجة. احتفظ بقائمة صغيرة تصف كل عنصر: «بين A وC» أو«بين C وB»، بدل الاعتماد على صورة محفوظة.

لنستبق مثالنا المختلط: المقاومة 4 أوم بين A وC، والمقاومتان 6 و 12 أوم بين C وB. إذن 6 و 12 فرعان متوازيان، و 4 على التوالي مع المجموعة المكافئة لهما. لا نجمع 4 و 6 أولًا على أنهما متواليتان منفردتان، لأن العقدة C التي بينهما يتفرع منها أيضًا مسار المقاومة 12.

احسب المثال المتوالي وافحص توزيع الجهد

نختار مقاومتين 6 و 12 أوم على التوالي بين A وB. المكافئة 6+12=18 أوم. لو افترضنا فرق جهد ثابتًا 6 فولت بين الطرفين، فالتيار الكلي 6÷18=1/3 أمبير. التيار نفسه يمر في المقاومتين في هذا المسار الواحد؛ لا نقسمه بينهما إلى حصتين لمجرد أن لدينا عنصرين.

هبوط الجهد على المقاومة 6 هو(1/3)×6=2 فولت، وعلى المقاومة 12 هو(1/3)×12=4 فولت. مجموعهما ستة، فيعيد جهد الطرفين المفترض. المقاومتان لم تتقاسما الجهد بالتساوي؛ المقاومة الأكبر أخذت هبوطًا أكبر في هذه الحالة لأن التيار نفسه يمر فيهما. نكتب جهد كل عنصر بجوار قيمته بدل نسخ الستة على الاثنين.

إذا أخطأ حل وأعطى 6 فولت لكل مقاومة، فمجموع هبوطي الجهد يصبح 12، وهو لا يوافق معطيات هذا المسار. وإذا أعطى تيارًا مختلفًا لكل واحدة، فلا يوافق وصف المسار المتوالي الذي افترضناه. هذان فحصان مستقلان يساعدان على العثور على خلط الجهد بالتيار، إلى جانب فحص جمع قيم المقاومات نفسه.

المكافئة 18 أوم أكبر من كل قيمة منفردة في مثالنا، ويسهل فهم العدد بإعادة الجمع. لا نحتاج أن نعرف جهد المصدر لحساب مكافئة هاتين المقاومتين من قيمتيهما وتوصيلهما. أضفنا الستة فولت بعد ذلك لاستخراج التيارات والجهود ومراجعة الحساب، فلا تجعل قيمة الجهد شرطًا غير موجود في قانون الجمع.

في التوازي احسب المقلوب ثم اقلبه

نوصل القيمتين 6 و 12 أوم بين العقدتين A وB نفسيهما. نكتب 1/R=1/6+1/12. توحيد المقام يعطي 2/12+1/12=3/12=1/4. هذا مقلوب المكافئة، ولذلك R=4 أوم. لا نتوقف عند 0.25 ونسميه أومًا؛ العدد 0.25 هنا مقدار مقلوب مقاومة عندما تكون المدخلات بالأوم.

إذا كان فرق الجهد بين A وB هو 6 فولت، فكل فرع يأخذ الستة نفسها. تيار فرع 6 أوم هو 6÷6=1 أمبير، وتيار فرع 12 أوم هو 6÷12=0.5 أمبير. التيار الكلي 1+0.5=1.5 أمبير، وهو يوافق 6÷4=1.5 من المكافئة. مساواة الجهد لم تجعل التيارين متساويين.

يمكن اختصار حساب مقاومتين فقط بضربهما وقسمة حاصل الضرب على مجموعهما:6×12/(6+12)=72/18=4. هذه الصيغة ناتجة من جمع المقلوبين، ولا تعني أن حاصل الضرب وحده مقاومة مكافئة. إذا كانت لديك ثلاثة فروع، فارجع إلى مجموع المقلوبات أو ادمج زوجًا ثم أضف الفرع الثالث وفق التوصيل.

المكافئة أربعة أصغر من أصغر مقاومة منفردة هنا، وهي ستة. لو حسبت 18 في هذا المثال، فقد استعملت جمع التوالي. ولو حسبت 0.25، فقد توقفت عند المقلوب. اكتب في كل خطوة هل العدد يمثل R أم 1/R، ثم راجع الوحدة. هذا يمنع أن يختفي خطأ القسمة الأخيرة خلف عبارة «جمعت المقاومات المتوازية».

قارن التوصيلين مع إبقاء المعطيات واضحة

القيمتان نفسيهما أعطتا 18 أوم في التوالي و 4 أوم في التوازي. وعند الجهد المفترض نفسه 6 فولت، تغير التيار الكلي من 1/3 إلى 1.5 أمبير. لا نقول إن المقاومتين تغيرتا عدديًا؛ الذي تغير هو العلاقة بين عقد التوصيل. لذلك لا تكفي قائمة قيم مقاومات وحدها لتحديد مكافئة شبكة غير مرسومة أو غير موصوفة.

في التوالي ذكرنا أن التيار واحد والجهد موزع، وفي التوازي وجدنا جهدًا واحدًا وتيارًا موزعًا على الفرعين. اكتب في جدول مقارنة ما الذي بقي مشتركًا بين العناصر وما الذي جمعناه عند الطرفين. إذا استعملت كلمة «الكلي»، فحدد هل تعني مقاومة الشبكة أو تيار مدخلها أو فرق الجهد بين طرفيها.

مجموع مقاومات التوالي هو 18، لكن مجموع تياري فرعي التوازي هو 1.5؛ لا تضع الرقمين في جمع واحد لأن اسمي الوحدتين مختلفان. وكذلك 1/4 الذي ظهر في خطوة المقلوب ليس تيارًا مقداره ربع أمبير. تتبع الكمية والرمز في كل سطر، ولا تكتف بتشابه شكل الأعداد أو موضعها في الجدول.

وللمقارنة شرط ثبتناه: فرق الجهد بين الطرفين ستة فولت في الحالتين، والمقاومتان ثابتتان وفق النموذج. لو ثبتنا التيار بدل الجهد، فسيتغير سؤال المقارنة وما يلزم لحساب الجهد. ذكر ما بقي ثابتًا يجعل النتيجة قابلة للمراجعة، بدل نقل مقارنة صحيحة تحت فرض إلى مسألة لها فرض مختلف.

الكمية في المثال	توالي 6 و 12 أوم	توازي 6 و 12 أوم
المكافئة	18 أوم	4 أوم
جهد الطرفين المفترض	6 فولت	6 فولت
التيار الكلي	1/3 أمبير	1.5 أمبير
تيارا العنصرين	1/3 و 1/3	1 و 0.5
جهدا العنصرين	2 و 4 فولت	6 و 6 فولت

اختزل شبكة مختلطة على مراحل

نبني شبكة جديدة بين A وB: مقاومة 4 أوم بين A وC، ثم فرعان 6 و 12 أوم بين C وB. نبدأ بالفرعين لأنهما يشتركان في العقدتين نفسيهما. مكافئتهما أربعة كما حسبنا سابقًا. نستبدل المجموعة بمقاومة 4 أوم بين C وB، مع إبقاء المقاومة الأولى 4 بين A وC.

أصبح لدينا في الرسم المختزل مقاومتان 4 و 4 على التوالي، فتكون المكافئة 8 أوم. هذه ليست جمع 4 و 6 و 12 إلى 22؛ المجموع الأصلي لا يخص مسارًا واحدًا متتابعًا. كذلك لا نجمع مقلوبات المقاومات الثلاث كلها لأن الأولى لا تصل بين العقدتين اللتين يصل بينهما الفرعان الآخران.

افترض فرق جهد 8 فولت بين A وB في هذا المثال الجديد. التيار الكلي 8÷8=1 أمبير. الجهد على المقاومة الأولى 4 فولت، والجهد على مجموعة التوازي 4 فولت. ثم نرجع إلى الرسم الأصلي: تيار فرع 6 هو 4/6=2/3 أمبير، وتيار فرع 12 هو 4/12=1/3 أمبير.

نجمع تياري الفرعين فنحصل على أمبير واحد، وهو تيار المقاومة الأولى. ونجمع هبوطها 4 مع هبوط المجموعة 4 فيعود الجهد الكلي 8. هذه العودة من الشبكة المختزلة إلى العناصر الأصلية ضرورية إذا سأل التمرين عن تيار فرع أو جهده. معرفة المكافئة وحدها لا تمنح كل فرع تيار المدخل نفسه.

مقاومة أربعة أوم بين A وC تتبعها مقاومتان متوازيتان ستة واثنا عشر بين C وB، ثم رسم مختزل بأربعة وأربعة — شبكة مؤلفة: اختزل 6 و 12 بين C وB إلى 4 أوم، ثم اجمعها مع 4 بين A وC؛ المكافئة الكلية 8 أوم.

دوّن جهد المجموعة قبل حساب تيار الفرع

في الشبكة المختلطة، المقاومة 6 ليست موصولة مباشرة بين A وB؛ طرفاها C وB. لذلك جهدها أربعة فولت، لا الثمانية الكلية. استعمال 8÷6 يعطي 4/3 أمبير للفرع، فيخالف جمع التيارات الذي وجدناه. ابدأ بحساب جهد C إلى B، ثم استخدمه لكل مقاومة داخل مجموعة التوازي.

يمكن وصف مستويات العقد مع جعل B مرجعًا يساوي صفرًا في المثال. تكون A عند 8 فولت، وC عند 4 فولت. فرق المقاومة الأولى 8−4=4، وفرق كل فرع 4−0=4. الرقم عند عقدة بالنسبة للمرجع ليس بالضرورة جهد أي مقاومة تقع بجوارها؛ الجهد الذي نحتاجه فرق بين طرفين معلومين.

إذا غيرنا المصدر المفترض إلى 16 فولت مع بقاء المقاومات نفسها، ظلت المكافئة 8 أوم، وصار التيار الكلي 2 أمبير. صار جهد المجموعة 8 فولت، فتيار فرع 6 يساوي 4/3 أمبير وفرع 12 يساوي 2/3. هذه نتيجة جديدة لمعطيات جديدة، لا تصحيح للأمبير الواحد الذي حسبناه مع مصدر 8 فولت.

أثناء الحل احتفظ بسطر يوضح أي حالة تعمل عليها. لا تأخذ تيار المجموعة من حالة 16 فولت وتجمعه مع جهد فرع من حالة 8 فولت. إعادة بناء جدول الجهود والتيارات لكل حالة أسرع من محاولة تفسير نتيجة خلطت بيانات شبكتين. المكافئة بقيت نفسها في المقارنة لأنها تخص القيم والتوصيل الثابتين.

وحّد الأوم والكيلو أوم قبل جمع الكسور

نختار مقاومتين جديدتين 1.2 كيلو أوم و 600 أوم. الكيلو أوم يساوي ألف أوم، لذا الأولى 1200 أوم. في التوالي يصبح الجمع 1200+600=1800 أوم، أي 1.8 كيلو أوم. كتابة 1.2+600 من دون توحيد الوحدتين تجمع عددين لا يمثلان الوحدة نفسها، ولا تعطي جوابًا صحيحًا للمقاومتين المعطاتين.

في التوازي نحسب 1200×600/(1200+600)=720000/1800=400 أوم. ويمكن استعمال الكيلو أوم من البداية إذا حولنا 600 أوم إلى 0.6 كيلو أوم، فنجد 1.2×0.6/(1.2+0.6)=0.72/1.8=0.4 كيلو أوم. اتفق الحسابان لأننا حافظنا على وحدة واحدة داخل كل عملية.

إذا كان المصدر المفترض 12 فولت على مجموعة التوازي الجديدة، فالتيار الكلي 12÷400=0.03 أمبير، أي 30 ملي أمبير. الفرع 1200 أوم يعطي 10 ملي أمبير، والفرع 600 أوم يعطي 20 ملي أمبير. لا تضف عددًا بالأمبير إلى عدد بالملي أمبير قبل توحيدهما؛ المراجعة نفسها التي أصلحت المقاومات تصلح جمع التيارات.

احتفظ بالكسور أو بالدقة الحسابية المناسبة عند جمع المقلوبات. تقريبات مبكرة مثل حذف منازل كثيرة من 1/1200 قد تغير الجواب المعروض دون سبب. إذا كان العدد العشري مقربًا، استخدم علامة التقريب واذكر الوحدة. ويمكن في هذا المثال اختيار صيغة حاصل الضرب على المجموع لتجنب كتابة مقلوبات عشرية طويلة أصلًا.

المقاومات المتساوية والتغيير في عدد الفروع

إذا اخترنا ثلاث مقاومات متساوية مقدار كل منها 9 أوم على التوالي، فالنتيجة 27 أوم. وفي التوازي 1/R=1/9+1/9+1/9=3/9=1/3، فتكون المكافئة 3 أوم. تساوي القيم لا يلغي الحاجة إلى معرفة طريقة التوصيل؛ عدد العناصر نفسه أعطى نتيجتين مختلفتين لأن العلاقات بين أطرافها مختلفة.

لو أضفنا مقاومة رابعة 9 أوم بين العقدتين نفسيهما في مثال التوازي، يصبح مجموع المقلوبات 4/9 والمكافئة 9/4=2.25 أوم. ولو أضفناها إلى سلسلة المقاومات الثلاث، صار المجموع 36 أوم. راجع أين أضفنا العنصر قبل تفسير أثره؛ الجملة «أضفنا مقاومة» لا تحدد وحدها هل ارتفعت المكافئة أو انخفضت.

في الشبكة المختلطة السابقة، إذا حُذف فرع 12 أوم وبقي فرع 6 وحده بين C وB، صارت المكافئة 4+6=10 أوم. مع مصدر 8 فولت، يصبح التيار 0.8 أمبير، وهبوط المقاومة الأولى 3.2 فولت، وهبوط الثانية 4.8. تغيرت قيم التيار والجهود رغم أن المقاومة الأولى نفسها لم تتغير.

حذف فرع هنا يعني إزالة طريقه من الشبكة المفترضة، لا استبداله بسلك مثالي بين العقدتين. السلك الجديد سيكون توصيلًا آخر ويغير المسألة. عند شرح تعديل الرسم، وصف ما اتصل وما انقطع بدقة أهم من الاكتفاء برمز حذف مبهم؛ فالاختزال الصحيح يعتمد على ما بقي من العلاقات بين العقد.

إيجاد مقاومة مجهولة يختبر فهم المكافئة

إذا طلب التمرين مقاومتين على التوالي مكافئتهما 18 أوم، وأعطى الأولى 6، فالثانية 18−6=12 أوم. ثم نعيد جمع 6 و 12 لنفحص المطلوب. لا نطبق خطوة الطرح نفسها على مسألة توازي؛ صيغة المقلوبات مختلفة، والمكافئة هناك أصغر من كل فرع موجب في الأمثلة التي نعمل عليها.

في توازي مقاومة 6 أوم مع مقاومة مجهولة r، نريد مكافئة 4 أوم. نكتب 1/4=1/6+1/r، ثم 1/r=1/4−1/6=1/12، فيكون r=12 أوم. عاد العدد الذي استعملناه في المثال الأساسي، وهذه مراجعة عكسية تعتمد على فرق المقلوبات لا على طرح 4 من 6 مباشرة.

لو طلب السؤال المكافئة 8 أوم مع فرع موجب ثابت 6 أوم على التوازي، نجد 1/r=1/8−1/6=−1/24، فيخرج r=−24 أوم حسابيًا. هذه لا تحقق شرط المقاومة الموجبة الذي حددناه. بدل تقديمها حلًا صالحًا، نقول إن المطلوب غير ممكن بمقاومة موجبة ثانية في هذا التوصيل والمعطيات.

يمكن اكتشاف المشكلة قبل حل الكسور: المكافئة المطلوبة 8 أكبر من الفرع 6، فلا توافق فحص التوازي للمقاومات الموجبة. وإذا ظهرت قيمة سالبة أو صفرية في حل مجهول، فراجع الشروط والتوصيل، لا الرقم وحده. قد تكون المعادلة حُلّت بصورة صحيحة لكنها لا تملك حلًا داخل المجال الذي طلبه التمرين.

خطة مراجعة وتمرين مستقل

ابدأ بتحديد الطرفين والعقد ووحدات جميع المقاومات. ابحث عن مجموعة يجوز اختزالها من اتصالها، ثم سم المكافئة المؤقتة وأعد رسم الشبكة. كرر ذلك حتى تصل إلى مقاومة واحدة بين الطرفين. إذا لم تظهر مجموعة متوالية أو متوازية واضحة، فلا تجمع عناصر عشوائيًا؛ المسألة قد تحتاج طريقة تحليل أخرى غير الاختزال البسيط.

في تمرين جديد مؤلف، مقاومة 3 أوم على التوالي مع توازي 8 و 24 أوم. مقلوب المجموعة 1/8+1/24=4/24=1/6، فمكافئتها 6 أوم. المكافئة الكلية 3+6=9 أوم. إذا كان الجهد بين الطرفين 18 فولت، فالتيار الكلي 2 أمبير، وهبوط المقاومة الأولى 6 فولت، وعلى مجموعة التوازي 12 فولت.

فرع 8 أوم يأخذ 12÷8=1.5 أمبير، وفرع 24 يأخذ 12÷24=0.5 أمبير؛ المجموع 2 أمبير. والجهدان 6 و 12 يجمعان إلى 18 فولت. هذه فحوص تعود إلى الرسم الأصلي بعد الاختزال. لو قسمت 18 على 8 مباشرة، ستخلط الجهد الكلي بجهد الفرع، رغم أن حساب المكافئة الكلية قد يكون صحيحًا.

اختم الحل بسطر يحدد أن النتيجة مكافئة بين الطرفين المختارين في النموذج المحدد، ثم أضف التيار أو جهود العناصر إذا طلبت. راجع أن جمع التوالي لم يستعمل على تفرع، وأن خطوة التوازي انتهت بقلب المجموع، وأن الوحدات متوافقة. بذلك تصبح الأعداد نتيجة لقراءة الرسم، لا عملية جمع أو قسمة نختارها من مظهره فقط.

المصادر ومتابعة القراءة

أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.