حل المتباينات بالضرب والقسمة: الإشارة والمجال بأمثلة محلولة

حدد العملية التي أجريتها قبل أن تغير العلامة

يوثق دليل AMSI انعكاس المقارنة عند الضرب أو القسمة بعدد سالب. [1]

ابدأ في دفتر العمل بعمودين: العبارة الحالية، والعملية التي ستجريها على الطرفين. في مثالنا 6x ≤ 45 يمكنك أن تكتب في العمود الثاني «قسمة على ستة». أما في −7x ≥ 35 فاكتب «قسمة على سالب سبعة». تسمية العدد مع إشارته تمنع أن تختصر الخطوة إلى «إزالة المعامل» وتنسى الخاصية التي تغير اتجاه المقارنة. هذا تنظيم مقترح للعمل على أمثلتنا، وليس شكلا إلزاميا للدفتر.

ولا تخلط بين تغيير العملية وإعادة قراءة الطرفين. العبارة 3 < 8 يمكن قراءتها أيضا 8 > 3؛ الأعداد نفسها بقيت كما هي، لكننا بدلنا موضع الطرفين. أما ضرب الطرفين في سالب ثلاثة فيغيرهما إلى عددين جديدين. في المراجعة، اكتب ما حدث بالفعل: هل بدلت ترتيب القراءة، أم أجريت عملية حسابية؟ هذا السؤال يحدد سبب تغير العلامة في السطر الذي أمامك.

اقرأ الرسم: كيف انعكس ترتيب عددين؟

اخترنا العددين سالب واحد وأربعة، بحيث −1 < 4. بعد الضرب في سالب ثلاثة يصبح الأول ثلاثة، ويصبح الثاني سالب اثني عشر، فنكتب 3 > −12. يتتبع الرسم الأول الأزرق والأحمر نفسيهما قبل العملية وبعدها. يوضح اللون هوية النقطة، بينما يوضح موضعها قيمتها؛ الأزرق لا يعني هنا موجب دائما، والأحمر لا يعني سالب دائما.

استعملنا مقياسا أفقيا واحدا في جزأي الرسم كي ترى اختلاف المسافة والجهة دون تغيير تدريج المحور. انتقلت النقطة الحمراء من أربعة إلى سالب اثني عشر، وانتقلت الزرقاء من سالب واحد إلى ثلاثة. لا تنظر إلى موضع نقطة واحدة فقط: السؤال عن علاقة قيمتين. إذا تتبعت الأزرق وحده، سترى تغير قيمته، لكنك لن تحصل من ذلك وحده على المقارنة الجديدة بين الطرفين.

يمكنك إعادة الحساب على الورق قبل النظر إلى الجزء الثاني: اكتب ناتج ضرب كل عدد، ثم قارن الناتجين كما تقارن أي عددين معلومين. في هذا المثال لا تحتاج إلى التخمين من شكل العلامة القديمة. الحساب يعطي ثلاثة وسالب اثني عشر، والمقارنة بينهما تحدد العلامة المناسبة. الرسم يفسر هذا المثال المحدد، أما حل متباينة بمتغير فيحتاج إلى خطوات تحفظ جميع قيم الحل، كما في الأقسام التالية.

فرق موجب يشرح اتجاه المقارنة

نفسر المثال المصور بالحساب لا بلون النقطة. قبل العملية، الفرق بين أربعة وسالب واحد هو خمسة، وهو موجب. بعد ضرب العددين في سالب ثلاثة يصبحان ثلاثة وسالب اثني عشر. إذا حسبنا الأول الجديد ناقص الثاني الجديد، حصلنا على خمسة عشر موجبا. لذلك يكون الأول الجديد أكبر من الثاني، رغم أنه كان الأصغر قبل العملية. قلب الترتيب هنا نتيجة للفرق المحسوب بين الناتجين، وليس قرارا نأخذه لأننا نريد شكلا معينا للرسم.

يمكن كتابة السبب دون الاكتفاء بهذين العددين. سم العدد الأصغر r والأكبر s، بحيث s−r > 0. واكتب العامل السالب بصورة −c، مع c > 0. الفرق بين حاصل ضرب الأصغر وحاصل ضرب الأكبر هو (−cr)−(−cs)=c(s−r)، وهو موجب لأن العاملين موجبان. إذن −cr > −cs. إذا كانت البداية تسمح بالمساواة، يصبح الفرق غير سالب بدلا من موجب؛ وقد يساوي صفرا عندما يتساوى العددان، ولذلك نبقي المساواة مسموحة أيضا.

ومع عامل موجب c نحسب الفرق بالترتيب المعتاد: الأكبر الجديد ناقص الأصغر الجديد يساوي cs−cr=c(s−r) > 0. لا يتغير ترتيب الطرفين في هذه الحالة. أما القسمة على عامل غير صفري فهي ضرب في مقلوبه؛ مقلوب الموجب موجب، ومقلوب السالب سالب. بهذا يرتبط قرار تغيير العلامة بالعملية المحددة. عند الصفر تختفي هذه الحجة القابلة للرجوع، لأن المقلوب غير موجود ولأن الضرب يجعل الطرفين صفرا مهما كانا في البداية.

ارجع الآن إلى الرسم: اللون يحدد أي عدد نتتبعه، أما الإشارة فتقرأ من قيمته. الأزرق بدأ عند سالب واحد ثم صار ثلاثة، والأحمر بدأ عند أربعة ثم صار سالب اثني عشر. الترتيب انعكس، والمسافة تضاعفت ثلاث مرات في هذا المثال لأن مقدار العامل ثلاثة. استعمال المقياس نفسه في الجزأين يسمح بفحص المواضع؛ لا نستخرج من ذلك قاعدة تقول إن كل عملية على المتباينة تضاعف المسافة أو تعكس الترتيب.

مثال القسمة على الموجب: نهاية مشمولة

نحل 6x ≤ 45 على الأعداد الحقيقية. نقسم الطرفين على ستة، وهو موجب، فنحصل على x ≤ 45/6. نختصر الكسر إلى 15/2، وهو يساوي سبعة ونصف. إذن كل قيمة لا تتجاوز سبعة ونصف تدخل في الحل. العدد سبعة ليس الحل الوحيد، كما أن تقريب الحد إلى ثمانية سيضيف قيما لا تسمح بها العبارة الأصلية.

افحص النهاية مباشرة: عند x = 15/2 يصبح الطرف الأيسر خمسة وأربعين، فتتحقق المساواة المسموح بها. وعند سبعة يصبح اثنين وأربعين، فتظل المقارنة صحيحة. أما عند ثمانية فيصبح ثمانية وأربعين، فتفشل. هذه الفحوص توضح لماذا رسم النهاية المغلقة مناسب لهذا المثال، لكنها لا تستبدل خطوة القسمة التي أعطتنا مجموعة الحل كاملة.

إذا غيرنا علامة المثال إلى 6x < 45، فسيبقى موضع الحد سبعة ونصف، لكنه لن يدخل في الحل. الفرق لا يتعلق بكون الناتج كسرا؛ يتعلق بطلب المساواة أو استبعادها في العبارة. لذلك سجل شيئين عند كتابة الجواب: جهة القيم المطلوبة، وما إذا كان الحد نفسه مقبولا. هذا يمنع أن تنقل صورة واحدة للنهاية إلى مثال تغيرت علامته.

مثال القسمة على السالب: لا تفقد اتجاه الحل

نحل −7x ≥ 35. بعد قسمة الطرفين على سالب سبعة تنعكس المقارنة، فنحصل على x ≤ −5. لا نكتب x ≥ −5 لمجرد أن العلامة الأصلية كانت أكبر من أو يساوي. احتفظ في السطر الوسيط بالعدد الذي قسمت عليه، حتى يستطيع القارئ ربط تغيير العلامة بهذه العملية تحديدا.

يمكن كشف الاتجاه الخاطئ بقيمتين من اختيارنا. عند سالب ستة يعطي الطرف الأيسر اثنين وأربعين، وهو على الأقل خمسة وثلاثون؛ إذن القيمة تدخل. عند سالب أربعة يعطي ثمانية وعشرين، فلا تدخل. الاتجاه الذي يضم سالب أربعة ويستبعد سالب ستة يناقض هذين الفحصين. وعند سالب خمسة ينتج خمسة وثلاثون بالضبط، لذلك تبقى النهاية مشمولة.

لاحظ كذلك طريقة قول النتيجة: «كل عدد لا يزيد على سالب خمسة». إذا كتبت رمز أصغر من أو يساوي ثم وصفت القيم بأنها الأكبر، فقد تركت جوابين مختلفين في النص نفسه. اقرأ الرمز والعبارة اللفظية معا، ثم اختر قيمة واضحة من الجهة التي تصفها. هذه مراجعة مفيدة خاصة مع الأعداد السالبة، حيث قد تختلط القيمة المطلقة للعدد بترتيبه على الخط.

القسمة على مقام عشري سالب

في المثال x/(−0.4) ≤ 15، المقام هو سالب أربعة أعشار، لا أربعة أعشار موجبة. للتخلص منه نضرب الطرفين في سالب أربعة أعشار، فنحصل على x ≥ −6. يمكن كتابة العدد العشري نفسه بصورة كسرية −2/5؛ كلاهما يمثل العدد الذي استعملناه، ولا ينبغي أن يغير اختيار الكتابة مجموعة الحل.

نعوض سالب ستة في الأصل فنجد (−6)/(−0.4) = 15؛ النهاية مقبولة لأن العلامة تسمح بالمساواة. وعند الصفر يصبح خارج القسمة صفرا، فتتحقق المقارنة. أما سالب ثمانية فيعطي عشرين، فلا يدخل. بذلك تستطيع ربط جهة الحل بالقيم الأصلية، دون الاعتماد على كون عبارة «مقام سالب» موجودة في العنوان فقط.

لا تقرأ هذا المثال على أنه (x/−0.4) × 15، ولا تعامل الخمسة عشر كجزء من المقام. الأقواس في كتابة المقام تساعد على فصل بنية الطرف الأيسر من الطرف الأيمن. وعند نقل المثال إلى آلة حاسبة، تحقق من موضع السالب والأقواس. هذه تفاصيل خاصة بالشكل الذي اخترناه، لكنها تفسر لماذا قد ينتج جواب مختلف قبل أن تصل أصلا إلى خطوة تغيير المقارنة.

المعامل الكسري السالب: اعزل الحد أولا

نحل −(3/4)x + 8 > 2. نطرح ثمانية من الطرفين فنصل إلى −(3/4)x > −6. ثم نضرب في مقلوب المعامل، وهو −4/3، فتنعكس المقارنة ويكون الحل x < 8. وجود سالب ستة بعد الطرح لا يجعلنا نعكس العلامة في خطوة الطرح؛ العامل السالب الذي ضربنا فيه هو سبب العكس في الخطوة التالية.

عند سبعة يصبح الطرف الأيسر 11/4، أي اثنين وثلاثة أرباع، وهو أكبر من اثنين. عند ثمانية يصبح اثنين بالضبط، فلا يدخل لأن المقارنة صارمة. وعند تسعة يصبح خمسة أرباع، فلا يدخل أيضا. هذه الحسابات تبين اختلاف النهاية عن مثال القسمة على سالب سبعة: هناك كانت المساواة مطلوبة ضمن الحل، وهنا استبعدتها العلامة الأصلية.

قد تفضل القسمة على المعامل بدلا من الضرب في مقلوبه. اكتب العملية كاملة في إحدى الطريقتين، ثم اختصر، حتى لا تجمع مقلوب الكسر مع علامة لم تراجعها. في مثالنا حاصل ضرب −6 في −4/3 موجب ثمانية. الإشارة الموجبة للناتج لا تعيد المقارنة إلى اتجاهها القديم؛ لقد أجريت عملية واحدة بمعامل سالب، ولا توجد عملية ثانية تبرر عكسا آخر.

التوزيع والتجميع قبل القسمة

نبدأ بمتباينة 9 − 2(3x + 1) ≤ 25. نوزع سالب اثنين على الحدين داخل القوس، فتصبح 7 − 6x ≤ 25. نطرح سبعة فنحصل على −6x ≤ 18، ثم نقسم على سالب ستة لنصل إلى x ≥ −3. عكس العلامة حدث في القسمة الأخيرة، وليس أثناء توزيع التعبير في الطرف الأيسر.

عند سالب ثلاثة يصبح ما داخل القوس سالب ثمانية، ثم يصبح الطرف الأيسر خمسة وعشرين، فتدخل النهاية. عند سالب أربعة يكون الطرف الأيسر واحدا وثلاثين، فلا يدخل. وعند الصفر يصبح سبعة، فيدخل. إذا حصلت على اتجاه آخر، فراجع الحساب داخل القوس وإشارة الحد الثابت أولا، ثم راجع القسمة؛ قد يوجد خطأ حسابي قبل الخطأ المتعلق بالمقارنة.

وفي مثال مختلف، x/3 + x/6 ≥ 5، نجمع الكسرين بعد توحيد المقام: x/2 ≥ 5. نضرب في اثنين فنحصل على x ≥ 10. لا تجمع المقامين لتكتب 2x/9؛ عند عشرة يعطي الكسران الأصليان خمسة في المجموع. هذا الفحص يختبر التجميع الذي أجريته، بينما يحدد الضرب في اثنين جهة مجموعة الحل.

ضرب المقام ثم تجميع المتغير في الطرفين

لنجمع خطوتين في مثال إضافي من إعدادنا: (5 − 2x)/3 < x + 4. يوجد هنا تعبير كامل في البسط، والمتغير يظهر في الطرفين. نبدأ بضرب الطرفين في ثلاثة، فنصل إلى 5 − 2x < 3x + 12. لا نعكس المقارنة لأن العدد الذي ضربنا فيه موجب. ويجب أن يضرب الثلاثة مجموع الطرف الأيمن كله، لا المتغير وحده مع ترك الأربعة كما كانت.

نضيف ضعفي المتغير إلى الطرفين فنحصل على 5 < 5x + 12. ثم نطرح اثني عشر من الطرفين لتصبح −7 < 5x. بعد القسمة على خمسة نكتب −7/5 < x، وهي القراءة نفسها للجواب x > −7/5. تغير موضع المتغير في الجملة الأخيرة لا يمثل عملية ضرب إضافية؛ إنه إعادة ترتيب للقراءة كما ناقشنا في بداية المقال.

عند النهاية سالب سبعة أخماس، يعطي الطرف الأيسر ثلاثة عشر خمسا، ويعطي الطرف الأيمن القيمة نفسها. لذلك لا تدخل النهاية في المقارنة الصارمة. أما عند الصفر فتصير المقارنة بين خمسة أثلاث وأربعة، وتكون صحيحة. وعند سالب اثنين يصبح الطرف الأيسر ثلاثة والطرف الأيمن اثنين، فتفشل. هذه القيم تكشف اتجاه الحل ودخول الحد دون الحاجة إلى تقريب الكسر.

هناك مسار آخر: بعد ضرب المقام يمكنك نقل حدود المتغير نحو اليسار، فتصل إلى −5x < 7، ثم تقسم على سالب خمسة وتنعكس المقارنة. تحصل مرة أخرى على x > −7/5. في المسار الأول قسمت على موجب، وفي الثاني قسمت على سالب؛ لا تتوقع أن تكون العلامات الوسيطة متماثلة. المطلوب أن تتفق مجموعتا الحل بعد تفسير كل عملية وشروطها.

لماذا لا يختصر الضرب بالصفر مسألة الحل؟

يشترط دليل المعادلات عددا غير صفري في العمليات التي تحفظ الحلول. [2]

لنأخذ المثال البسيط x < 3. إذا ضربت الطرفين في الصفر، حصلت على 0 < 0. عند اختيار اثنين تكون العبارة الأصلية صحيحة، لكن العبارة الجديدة خاطئة. إذن فقدت العملية في هذا المثال العلاقة بين الحل القديم والجديد. تستطيع حساب الناتجين، لكن القدرة على الحساب لا تعني أن الخطوة تصلح لاستبدال المتباينة الأصلية في سلسلة حل مكافئة.

وإذا بدأت بدلا من ذلك بالعبارة x ≤ 3، أعطى الضرب بالصفر 0 ≤ 0، وهي صحيحة مهما كانت القيمة التي اخترتها للمتغير. عند أربعة كانت العبارة الأصلية خاطئة، بينما الجديدة صحيحة. المثالان يبينان شكلين لفقد المعلومات: رفض قيمة كانت مقبولة، أو قبول قيمة كانت مرفوضة. لا يكفي أن تنظر إلى صحة العبارة النهائية وحدها؛ قارن مجموعة القيم التي تصفها.

القسمة على الصفر ليست خطوة بديلة عن هذا الضرب. في جدول عملك ضع الصفر حالة توقف، ثم ارجع إلى العبارة قبل العملية. وإذا ظهر معامل صفري بعد تبسيط التعبير، فافحص الجملة الناتجة كما هي. لا تحاول عزل المتغير بقسمة لا يمكن إجراؤها، ولا تمنح كل مسألة فيها صفر النتيجة نفسها دون قراءة المقارنة.

معامل ثابت تتوقف الخطوة على إشارته

ندرس ax ≤ 18 عندما يمثل الحرف a عددا حقيقيا ثابتا بالنسبة إلى المتغير x. إذا كان المعامل موجبا، كان الحل x ≤ 18/a. وإذا كان سالبا، انعكست المقارنة وصار x ≥ 18/a. أما إذا كان صفرا، فالعبارة 0 ≤ 18 صحيحة لكل عدد حقيقي نختاره للمتغير. لا نجمع هذه الحالات في عملية قسمة واحدة قبل معرفة حالة المعامل.

يمكن رؤية الفرق في قيمتين للمعامل من إعدادنا. عندما يكون اثنين نحصل على x ≤ 9. وعندما يكون سالب ثلاثة نحصل على x ≥ −6. حدود الحل واتجاهاته مختلفان، مع أن الطرف الآخر بقي ثمانية عشر. الأمثلة العددية تؤكد هاتين الحالتين، لكن شرح الحالات العامة يعتمد على إشارة المعامل وإمكان القسمة عليه، لا على تجربة قيمتين ثم تعميم النتيجة دون شرط.

إذا كان العامل هو المتغير نفسه

في x(x − 2) > 0، لا نقسم مباشرة على المتغير ونكتب x − 2 > 0. إشارة المتغير غير ثابتة عبر الأعداد الحقيقية، كما أن الصفر يحتاج إلى فحص منفصل. عندما يكون المتغير موجبا، يسمح الفرع بالحل x > 2. وعندما يكون سالبا، تنعكس المقارنة بعد القسمة، ويكون شرط x < 2 متحققا مع شرط الفرع x < 0.

عند الصفر يصبح حاصل الضرب صفرا، فلا يحقق المقارنة الصارمة. وعند اثنين يحصل الشيء نفسه. إذن الحل هو x < 0 أو x > 2. يمكن فحص سالب واحد فيعطي حاصل الضرب ثلاثة، وفحص واحد فيعطي سالب واحد، وفحص ثلاثة فيعطي ثلاثة. الفرعان الصحيحان يوافقان هذه القيم، بينما القسمة غير المشروطة كانت ستفقد الفرع السالب كله.

هذا المثال لا يحول المقال إلى دليل كامل لجميع المتباينات غير الخطية. وظيفته اختبار حدود خطوة الضرب أو القسمة التي تتعلمها: عدد ثابت معلوم الإشارة يختلف عن تعبير تتغير إشارته. اكتب شرط الفرع قبل العملية، واحتفظ بالقيم التي لا تسمح بها العملية للفحص في الأصل. بذلك يصبح سبب التقسيم ظاهرا بدلا من ظهور مجالين في الجواب دون تفسير.

الحل الحقيقي والحل المقيد بأعداد صحيحة

نحل 12x/5 ≤ 19 فنحصل على x ≤ 95/12. إذا كان المجال هو الأعداد الحقيقية، فهذه الجهة كاملة هي الحل، وتشمل النهاية. أما إذا أعلن التمرين أن المتغير عدد صحيح غير سالب، فعلينا أن نأخذ من الحل الحقيقي القيم التي تحقق هذا الشرط أيضا. في مثالنا تكون المجموعة من الصفر إلى سبعة، ولا يدخل ثمانية.

عند سبعة يصبح الطرف الأيسر 84/5، وهو لا يتجاوز تسعة عشر. عند ثمانية يصبح 96/5، وهو أكبر منه. يوضح الرسم الثاني الفرق بين منطقة مستمرة تمتد يسارا ونقاط منفصلة غير سالبة. لا يعني تقييد المجال أن الجواب الجبري الأول كان خطأ؛ يعني أن نص المسألة يطلب قيما من نوع محدد، فيجب تطبيق ذلك القيد بعد الحساب.

وفي المراجعة النهائية، ارجع إلى كل أصل قبل التبسيط، وافحص النهاية والقيم التي تكشف الجهة الخاطئة، ثم اقرأ شرط المجال. الفحوص تساعد على العثور على أخطاء، لكن مجموعة الحل تستند إلى خطوات مكافئة أو تقسيم حالات مبرر. احتفظ بالكسر الدقيق حتى تنتهي من تقرير دخول النهاية؛ التقريب المبكر قد يطمس الفرق بين سبعة وتسعة أعشار، وثمانية، والحد الحقيقي في هذا المثال.

شاهد مضاد يوضح حدود اختبار النقاط

لنفحص في مثالنا كيف يمكن لاختبار صحيح أن يترك جوابا خاطئا. الحد الدقيق 95/12 يقع بين سبعة وتسعة أعشار وثمانية. إذا استبدلناه بالعدد 79/10 وكتبنا x ≤ 7.9، فقد ضيقنا الحل دون مبرر. عند الصفر والأربعة والسبعة تنجح العبارة الأصلية والعبارة المقربة معا. وعند الثمانية تفشلان معا. هذه الفحوص الأربعة لا تكشف أن هناك قيما فقدها التقريب بين الحدين.

اختر الآن x=791/100، أي سبعة وإحدى وتسعين جزءا من مئة. هذه القيمة أكبر من 79/10، لكنها أصغر من 95/12؛ فالمقارنة الثانية يمكن فحصها بضرب المقامين الموجبين: 791×12=9492 < 9500=95×100. وبالتعويض في الأصل يكون الطرف الأيسر 12×791/(5×100)=2373/125، بينما التسعة عشر تساوي 2375/125. القيمة تحقق المتباينة الأصلية وتفشل في الجواب المقرب. لقد وجدنا شاهدا واحدا يكفي لنقض التطابق بين المجموعتين.

لكن العثور على شاهد مضاد يختلف عن إثبات جواب كامل. يثبت هذا الشاهد أن x ≤ 7.9 جواب أضيق من المطلوب، ولا يثبت وحده أين ينتهي الحل الصحيح. لهذا نعود إلى خطوة الضرب في خمسة ثم القسمة على اثني عشر، وكلاهما موجب غير صفري؛ يمكن الرجوع عنهما لإعادة العبارة الأصلية. هذه السلسلة هي التي أعطت الحد الدقيق لجميع المدخلات الحقيقية، ثم جاءت الفحوص لتوضح خطأ التقريب. وإذا كان المجال أعدادا صحيحة غير سالبة فقط، فلن توجد قيمة صحيحة بين الحدين في هذا المثال؛ ذلك لا يجعل التقريب قاعدة صحيحة للمجال الحقيقي.