حل كسري في مسألة عد: هل يصح تقريب عدد الصناديق؟

ابدأ بمعنى المجهول والمطلوب

يفصل دليل Math Is Fun حل المسألة اللفظية إلى ترجمة المعطيات إلى الجبر ثم حلها، ويقترح تحديد ما تمثله الرموز والمطلوب، ومراجعة الجواب في المسألة الأصلية. سنطبق هذه الفكرة على صناديق متخيلة؛ تفسير العدد جزء من فحص جوابنا. ^[1]

في هذه الورقة، الصناديق والبطاقات والقياسات افتراضية؛ لا نصف مخزونًا فحصناه أو نطلب شراء شيء. سنعد صناديق كاملة غير مفتوحة، لا أجزاء من صندوق. اكتب تعريف المجهول قبل المعادلة: n عدد الصناديق. يسمح هذا التعريف بالصفر وبالأعداد الصحيحة غير السالبة، ولا يسمح بصندوق سالب أو بجزء من صندوق.

قد تكون المعادلة نفسها قابلة للحل في الأعداد الحقيقية، لكن السؤال يطلب عدد أشياء كاملة. لهذا سنفصل بين الوصول إلى قيمة تحقق المعادلة وبين قبولها في الموقف المكتوب. لا يعني رفض الكسر أن الكسور خاطئة في الرياضيات؛ يعني أن القيمة لا تنتمي إلى نوع الإجابة الذي حدده السؤال هنا.

مثال صحيح: ستة صناديق وعشرون بطاقة

لدينا صناديق متطابقة مغلقة، في كل صندوق ثلاث بطاقات، وبطاقتان منفصلتان خارج الصناديق. يقول السؤال إن مجموع البطاقات عشرون. إذا كان n عدد الصناديق، فالبطاقات داخلها عددها 3n، ونضيف البطاقتين الخارجيتين مرة واحدة فقط. لذلك نكتب 3n+2=20، ولا نكتب 3(n+2)=20.

نطرح اثنين من الطرفين: 3n=18. نقسم على ثلاثة فنحصل على n=6. هذه قيمة صحيحة غير سالبة، لكنها ليست نهاية المراجعة؛ نعوض في النموذج الأصلي. تحتوي الصناديق الستة ثماني عشرة بطاقة، ومع البطاقتين الخارجيتين يصبح المجموع عشرين. اتفقت القيمة والحساب ووصف الصناديق.

أما الصياغة 3(n+2)، فتعد وحدتين إضافيتين كما لو كانت كل واحدة صندوقًا بثلاث بطاقات. لم يقل السؤال إن لدينا صندوقين إضافيين؛ قال بطاقتين. قد لا يظهر هذا الفرق إذا اهتممنا بعزل المجهول فقط. اكتب إلى جانب كل جزء ما يعده، ثم قارن الكلمات بالعملية قبل حلها.

مجموع مختلف: لماذا لا نقرّب الكسر؟

غيّر المجموع وحده إلى تسع عشرة بطاقة، مع بقاء الشروط الأخرى. نحصل على 3n+2=19، ثم 3n=17، ومنها n=17/3. الحساب الجبري دقيق؛ عند التعويض بهذه القيمة يصبح 3×(17/3)+2=19. لكنه يتطلب جزءًا من صندوق، بينما السؤال يعد صناديق كاملة مغلقة.

قد يقترح متعلم تقريب القيمة إلى ستة. افحص اقتراحه مباشرة: 3×6+2=20، لا تسع عشرة. وقد يختار آخر خمسة لتجنب تجاوز المجموع، لكن 3×5+2=17. الاقتراحان يعطيان عددين صحيحين، ولا يحقق أيهما المساواة المطلوبة. لا نحول غياب الحل إلى أقرب جواب دون إذن من السؤال.

يمكن تأكيد النتيجة دون كتابة كسر عشري: بعد استبعاد البطاقتين المنفصلتين تبقى سبع عشرة بطاقة. كل صندوق يضيف ثلاثًا، وخمسة صناديق تحتوي خمس عشرة وستة تحتوي ثماني عشرة. السبعة عشر بين هذين العددين، ولا توجد خطوة كاملة من ثلاثة تصل إليها. هذا فحص مستقل للمعطيات المؤلفة.

في هذا السؤال نقول: لا يوجد عدد صحيح غير سالب من الصناديق يحقق الشروط جميعًا. لا نقول إن المعادلة بلا حل مطلقًا، لأنها تقبل القيمة الكسرية في الأعداد الحقيقية. كذلك لا نخترع بطاقة ضائعة أو صندوقًا مفتوحًا؛ إضافة هذه التفاصيل تغير المسألة التي بدأنا بها.

القيمة نفسها في مسألة طول

لنؤلف موقفًا آخر: ثلاثة أشرطة متساوية الطول، ومعها قطعة طولها متران، مجموع أطوالها تسعة عشر مترًا. نرمز إلى طول الشريط الواحد بالمتر بالحرف L، ونفترض أن الطول قابل للتجزئة ولا يشترط عددًا صحيحًا من الأمتار. المعادلة الآن 3L+2=19، ومنها L=17/3 متر.

تساوي القيمة خمسة أمتار وثلثي متر. نجمع أطوال الأشرطة الثلاثة فنحصل على سبعة عشر مترًا، ثم نضيف المترين فيتحقق المجموع. لم نستخدم الكسر لعد ثلاثة أشرطة ونصف؛ عدد الأشرطة المعطى ثلاثة، والمجهول طول كل واحد. يفسر تعريف المجهول سبب قبول الكسر في هذا المثال.

لا تطبق عبارة «ارفض كل جواب كسري» على كل مسألة لفظية. اسأل أولًا: هل نعد صناديق كاملة، أم نقيس طولًا قابلًا للتجزئة؟ وإذا اشترط سؤال الطول وحدات كاملة أو أطوالًا محددة مسبقًا، فسيحتاج إلى فحص تلك الشروط أيضًا. السماح بالكسر هنا جزء صريح من المثال، وليس تخمينًا عن أدوات قياس حقيقية.

لا يزيد: شرط جديد يعطي قرارًا آخر

عد إلى نموذج الصناديق، لكن اكتب الطلب: نريد مجموعًا لا يزيد على تسع عشرة بطاقة، مع البطاقتين الخارجيتين. نمثل الحد بالعبارة 3n+2≤19. نقسم بعد طرح اثنين فنجد n≤17/3. نبحث داخل الأعداد الصحيحة غير السالبة، وتسمح هذه المعطيات بالأعداد من صفر إلى خمسة.

إذا سألنا عن أكبر عدد مسموح من الصناديق، نختار خمسة. التعويض يعطي سبع عشرة بطاقة، وهي أقل من الحد. ستة صناديق تعطي عشرين فتتجاوزه. لا نعلن أن خمسة حققت المجموع تسعة عشر؛ لقد حققت طلبًا مختلفًا يقبل عددًا أقل. الرسم يقارن القرارين دون وصف قاعة أو مخزون واقعي.

لاحظ أن كلمتي «يساوي» و«لا يزيد» ليستا زينة لغوية. الأولى تطلب المجموع نفسه، والثانية تسمح بمجموع أصغر أو مساوٍ. إذا أجبت خمسة في السؤال الأول اعتمادًا على حل السؤال الثاني، تكون قد غيّرت الشرط دون تصريح. احتفظ بنص الطلب بجوار العملية أثناء مراجعة الجواب.

تمارين مستقلة مع طريقة فحصها

تمرين أول: في كل صندوق خمس بطاقات، وتوجد ثلاث بطاقات خارجه، والمجموع ثمان وعشرون. اكتب 5n+3=28؛ بعد طرح ثلاثة وقسمة خمسة نجد n=5. التحقق: خمس مجموعات من خمس تعطي خمسًا وعشرين، ومع الثلاث يصبح العدد ثمانيًا وعشرين. الجواب خمسة صناديق كاملة.

تمرين ثان: في كل صندوق أربع بطاقات، وتوجد بطاقة منفصلة، والمجموع اثنتان وعشرون. المعادلة 4n+1=22 تعطي n=21/4. لا يوجد عدد صحيح مناسب للمساواة؛ خمسة تعطي إحدى وعشرين وستة تعطي خمسًا وعشرين. أما إذا طلبنا ألا يزيد المجموع على اثنتين وعشرين، فأكبر عدد مسموح خمسة.

قبل تسليم أي إجابة، اكتب سطرًا يذكر معنى المجهول، وسطرًا يعوض القيمة في المعطيات. إذا رفضت جوابًا، سمّ الشرط الذي خالفه؛ وإذا قبلته، اذكر وحدته.