خط أويلر: لماذا يقع مركز الثقل بين المركز المحيط وملتقى الارتفاعات؟

الخلاصة السريعة

خط أويلر يمر بالمركز المحيط O ومركز الثقل G وملتقى الارتفاعات H. عندما تكون هذه النقاط متميزة، تقع G بين O و H، وتحقق OG:GH=1:2، أي OG=OH/3. [1] في المثال الحاد يكون G=(4,3)، ومعادلة الخط 11x−18y+10=0.

• O هو تقاطع الأعمدة المنصفة للأضلاع، و G ملتقى المتوسطات، و H ملتقى الارتفاعات. المتوسط يصل الرأس بمنتصف الضلع المقابل؛ الارتفاع يتعامد مع مستقيم ذلك الضلع. لا تنتج الإنشاءات الثلاثة النقطة نفسها عادةً.
• للمثلث A=(0,0)، B=(10,0)، C=(2,9)، نجد O=(5,65/18)، و G=(4,3)، و H=(2,16/9). تحقق النقاط الثلاث 11x−18y+10=0. مربعات المسافات OG²=445/324 و GH²=445/81 و OH²=445/36.
• إذا كان O أصل الإحداثيات ومتجهات الرؤوس a و b و c، فإن g=(a+b+c)/3 و h=a+b+c؛ إذن h=3g. لذلك G على ثلث الطريق من O إلى H، وليست منتصف OH. في الإحداثيات الأصلية نكتب H=3G−2O.
• في المثال المنفرج C=(2,2)، مع A=(0,0) و B=(10,0)، يصبح O=(5,−3) و G=(4,2/3) و H=(2,8). يمر بها 11x+3y=46؛ ويقع O و H خارج المثلث، وتبقى G بينهما وداخله.
• للمثلث القائم A=(0,0)، B=(8,0)، C=(0,6)، يكون H=A و O=(4,3) و G=(8/3,2)، وخط أويلر 3x−4y=0. في المتساوي الأضلاع ذي الضلع 12 تتطابق O و G و H عند (6,2√3)، فلا تحدد الثلاثة خطًا وحيدًا.
• عند تكبير المثال الحاد بعامل 2 يصبح G=(8,6)، والخط 11x−18y+20=0. تتضاعف المسافات وتبقى نسبتها 1:2. في الحساب الدقيق افحص كل مركز بالدور المطلوب، وافحص الرؤوس غير مستقيمة قبل إيجاد دائرة محيطة.

ثلاثة مراكز وثلاث مجموعات من الخطوط

نعني بمركز الثقل هنا G، ملتقى متوسطات المثلث. يقع داخل المثلث، وعلى ثلثَي الطريق من كل رأس إلى منتصف الضلع المقابل. [2] نستخدم إحداثيات هندسية، ولا نحسب اتزان جسم ذي كثافة متفاوتة.

المركز المحيط O هو النقطة المتساوية البعد عن الرؤوس؛ نحصل عليه من الأعمدة المنصفة للأضلاع. أما H فهو تقاطع الارتفاعات: من الرأس نسقط عمودًا على مستقيم الضلع المقابل، وقد نحتاج إلى امتداده. مقارنة O و G و H تتطلب إبقاء هذه الأدوار منفصلة.

في مثالنا سنحسب كل مركز من شرطه، ثم نختبر الخط الجامع بينها. يوضح الجدول الإحداثيات والأدوار. وجود النقاط على خط واحد لا يعني تساوي المسافات من كل منها إلى الرؤوس، ولا يعني أن المتوسط نفسه ارتفاع.

احسب مراكز المثلث الحاد ثم معادلة الخط

نأخذ A=(0,0)، B=(10,0)، C=(2,9). العمود المنصف للضلع AB هو x=5. اكتب O=(5,y): مساواة مربعَي OA و OC تعطي 25+y²=9+(9−y)²، ومنها 18y=65. إذن O=(5,65/18). مربع بعده عن كل رأس 12325/324.

متوسط إحداثيات الرؤوس يعطي G=(4,3). ويمكن فحصه هندسيًا: منتصف BC هو (6,9/2)، والمتجه AG=(4,3) يساوي ثلثَي المتجه A إلى ذلك المنتصف. ينطبق الحساب نفسه على المتوسطين الآخرين، لأن G مجموع متجهات الرؤوس مقسومًا على 3.

ارتفاع C رأسي ومعادلته x=2. اتجاه BC هو (−8,9)، لذلك يحقق ارتفاع A المعادلة −8x+9y=0. تقاطعهما H=(2,16/9). اتجاه BH هو (−8,16/9)، وحاصل ضربه في AC=(2,9) يساوي −16+16=0، فيمر الارتفاع الثالث بالنقطة نفسها.

فرق H−O هو (−3,−11/6). المتجه (11,−18) عمودي عليه، فنكتب المستقيم 11x−18y+10=0. تعويض O يعطي 55−65+10=0، وتعويض G يعطي 44−54+10=0، وتعويض H يعطي 22−32+10=0. هذا فحص عددي للاصطفاف، لا اعتماد على تقارب نقاط الرسم.

برهان متجهي يبين الاصطفاف والنسبة معًا

انقل أصل الإحداثيات إلى O، وسم متجهات الرؤوس a و b و c. أطوالها متساوية R. إذا g=(a+b+c)/3، وكان m=(b+c)/2 منتصف BC، فإن g−a=(2/3)(m−a). إذن g يقع على المتوسط من A، ويتكرر الحساب للمتوسطين الآخرين؛ فهو متجه G.

خذ h=a+b+c. نجد (h−a)·(b−c)=|b|²−|c|²=0، لأن طولَي b و c متساويان. لذلك تقع النقطة h على ارتفاع A، وكذلك على ارتفاعَي B و C. ما دام المثلث غير منحل، فهي ملتقى الارتفاعات H.

إذن h=3g. بلغة الإحداثيات الأصلية تصبح H−O=3(G−O)، أو H=3G−2O. عندما H تختلف عن O، تكون G عند المعامل 1/3 على القطعة من O إلى H. ينتج OG=OH/3 و GH=2OH/3، فيكون OG:GH=1:2.

البرهان لا يشترط حدة زوايا المثلث ولا وجود O و H داخله. وإذا h=0، كان g=0 أيضًا؛ عندها تتطابق المراكز الثلاثة، وتبقى الهوية المتجهية صحيحة. لكن نسبة طولين صفرين لا تُعرَّف، ولا تحدد نقطة واحدة مستقيمًا وحيدًا.

مربعات المسافات وحركة الرأس إلى مثلث منفرج

في المثال الحاد نجد G−O=(−1,−11/18)، ومربع طوله 445/324. أما H−G=(−2,−11/9)، فمربع طوله 445/81، أي أربعة أمثال الأول. لذلك GH ضعف OG، لا أربعة أمثاله. مربع OH يساوي 445/36، أي تسعة أمثال مربع OG.

لإظهار أثر الزاوية، نبقي A=(0,0) و B=(10,0)، ونغير C إلى (2,2). حاصل ضرب CA=(−2,−2) في CB=(8,−2) يساوي −12؛ إذن الزاوية عند C منفرجة. تساوي المسافات إلى الرؤوس يعطي O=(5,−3)، والمتوسطات تعطي G=(4,2/3).

ارتفاع C هو x=2، وارتفاع A هو y=4x؛ ومنه H=(2,8). معادلة الخط 11x+3y=46، وتحققها المراكز الثلاثة. المربع OH²=130، بينما OG²=130/9 و GH²=520/9، فتظل النسبة بين الأطوال 1:2.

نلاحظ أن O تحت القاعدة AB و H أعلى C. لكن G=(4,2/3) يقع داخل المثلث، وهو نقطة على ثلث المسافة من O إلى H. خروج مركزين عن الشكل لا يلغي الاصطفاف. تجمع الصورة الثانية المثلث والخط، وتبين طول OG القصير باللون الأزرق و GH الأطول بالوردي.

المثلث القائم والمتساوي الأضلاع

في المثلث القائم A=(0,0)، B=(8,0)، C=(0,6)، يتطابق H مع A. يقع O عند منتصف الوتر (4,3)، ويكون G=(8/3,2). تحقق النقاط 3x−4y=0. طول OH يساوي 5، ومنه OG=5/3 و GH=10/3، مع بقاء الترتيب O ثم G ثم H على القطعة.

أما للمثلث المتساوي الأضلاع A=(0,0)، B=(12,0)، C=(6,6√3)، فيكون G=(6,2√3). مربع بعد هذه النقطة عن كل رأس 48، فتكون O نفسها، وتعيد H=3G−2O النقطة نفسها. تساوي الأضلاع صحيح أيضًا: مربع كل ضلع 144.

في هذه الحالة لا ترسم خطًا مخصوصًا اعتمادًا على O و G و H؛ فهي نقطة واحدة، ويمكن لأي مستقيم يمر بها أن يحتويها. تظل مساواة المتجهات صحيحة، بينما العبارة OG:GH=1:2 تحتاج إلى نقاط متميزة ومسافات غير صفرية.

والعكس يوضح الحد: إذا O=H، فبالإحداثيات التي أصلها O نجد a+b+c=0. ومن a+b=−c، مع أطوال الرؤوس R، ينتج a·b=−R²/2. يتكرر ذلك لكل زوج، فيصبح مربع كل ضلع 3R²؛ إذن المثلث متساوي الأضلاع. هذه هي حالة تطابق المراكز التي نستثنيها عند تحديد خط وحيد.

التكبير وفحص النتيجة قبل الاعتماد على الرسم

بتكبير المثال الحاد بعامل 2 يصبح A=(0,0)، B=(20,0)، C=(4,18). تصبح المراكز O=(10,65/9)، G=(8,6)، H=(4,32/9)، ويصير الخط 11x−18y+20=0. عوّض G فتحصل على 88−108+20=0.

المسافات تتضاعف، ومربعاتها تتضاعف أربع مرات، لكن G تبقى على ثلث الطريق من O إلى H. لا تستنتج نسبة الأطوال مباشرة من نسبة مربعاتها، ولا تجعل G منتصف OH؛ في المثال الأصلي منتصف OH هو (7/2,97/36)، وهو مختلف عن G=(4,3).

راجع شرط كل مركز مستقلًا: O متساوي البعد عن الرؤوس، و G على المتوسطات، و H على الارتفاعات. ثم افحص H−O=3(G−O). إذا كانت الرؤوس مستقيمة، فلا توجد دائرة محيطة وحيدة، ولا يصح تطبيق خطوات المثال. وإذا تطابقت المراكز في مثلث متساوي الأضلاع، فلا تحول الهوية الصحيحة إلى نسبة غير معرفة.