رسم القطع الناقص بمنزلقين: أي مسافة تحدد المحور الأفقي؟

الخلاصة السريعة

للقلم بين المنزلقين، نصف المحور الأفقي هو بعد القلم عن المنزلق الرأسي، ونصف الرأسي هو بعده عن المنزلق الأفقي؛ يثبت ذلك بحساب الإحداثيين.

• نضع A على المحور الأفقي وB على الرأسي، مع AB=10 وAP=4 وBP=6. القلم P ثابت على القضيب بينهما، ولا يمثّل أحد المنزلقين بؤرة ثابتة.
• إذا كان A=(10cosθ,0) وB=(0,10sinθ)، فالنقطة P=(6cosθ,4sinθ). المسافتان تدخلان الاتجاهين بالتبادل، فتكون معادلة المسار x²/36+y²/16=1.
• عند A=(8,0) وB=(0,6)، القلم P=(24/5,12/5). التعويض في المعادلة يعطي1؛ طولَا المحورين الكاملان12 و8، وليسا6 و4.
• منتصف القضيب يرسم دائرة نصف قطرها5؛ أما المنزلقان فيرسم كل منهما قطعة مستقيمة. اقتصار A وB على نصفَي المحورين الموجبين يعطي ربع المنحنى، والدورة الكاملة تحتاج الحركة إلى الجهتين.
• تبديل المقامين إلى x²/16+y²/36=1 يعطي للنقطة P القيمة8/5 بدل1. النقطة W=(16/5,18/5) ترسم المنحنى المبدل، لكنها تغيّر موضع القلم إلى AW=6 وBW=4.
• الإزاحة(2,−1) تنقل المسارين والمركز والقلم إلى P=(34/5,7/5). التكبير2 يجعل القضيب20 والمسافتين8 و12، ونصفي المحورين12 و8. الصور نموذج محسوب، لا تجربة آلة فعلية.

ثبت نقطة القلم قبل تحريك القضيب

نختار مستقيمين متعامدين يلتقيان عند O=(0,0). المنزلق A يتحرك أفقيًا على y=0، والمنزلق B رأسيًا على x=0. القضيب AB مستقيم وصلب وطوله10 وحدات؛ لا نقيسه أفقيًا أو رأسيًا، بل بين المنزلقين.

نثبت القلم P بين A وB بحيث AP=4 وBP=6. المجموع4+6=10؛ النقطة تبقى في الموضع نفسه على القضيب خلال الحركة. تغيير موضع القلم يغيّر المسار، حتى لو احتفظنا بالمسارين وطول القضيب.

آلية أرخميدس ترسم مسارًا ناقصًا لنقطة ثابتة على قضيب ينزلق على مسارين متعامدين. [1] ندرس هنا النقطة الواقعة بين المنزلقين؛ لا نتناول قلمًا خارج القضيب أو منحرفًا عنه أو مسارين مائلين.

المنزلقان نقطتان متحركتان، وليسا البؤرتين. طريقة الخيط تثبت بؤرتين وتثبت مجموع البعدين إليهما؛ هنا نثبت المسافتين على قضيب متحرك. قد ينتج القطع الناقص في الطريقتين، لكن التثبيت والحساب مختلفان.

استخرج الإحداثيين من نسبة تقسيم القضيب

لنرمز للوضع بمعامل θ بحيث A=(10cosθ,0) وB=(0,10sinθ). الهوية cos²θ+sin²θ=1 تعطي AB²=100؛ يبقى طول القضيب10 مهما تغير المعامل. في الربع الأول، θ زاوية ميل الخط AB إلى الاتجاه الأفقي، إذا أخذنا الميل الحاد.

لأن AP/AB=4/10=2/5، ننتقل من A نحو B بمقدار خمسي القطعة. لذلك P=(3/5)A+(2/5)B. الإحداثي الأفقي يساوي(3/5)×10cosθ، والرأسي(2/5)×10sinθ؛ فنجد P=(6cosθ,4sinθ).

عامل6 هو BP، وعامل4 هو AP. السبب أن الإحداثي الأفقي للمنزلق B صفر، بينما إحداثي A الرأسي صفر. جمع النسب لا يعني أن بعد P عن A يجب أن يصبح نصف المحور الموازي لمسار A.

بالقسمة والتربيع نجد x²/36+y²/16=cos²θ+sin²θ=1. هذه صيغة قطع ناقص غير مدور، وتوافق المعادلة البارامترية المعروفة. [2] شرط ثبات المسافتين هو الذي أبقى المقامين ثابتين.

عمومًا، للقضيب بطول L والقلم على بعد d من A، مع0＜d＜L، نحصل على P=((L−d)cosθ,dsinθ) ومعادلة x²/(L−d)²+y²/d²=1. طولَا المحورين الكاملان2(L−d) و2d، أما النصفان فهما L−d وd.

لا يثبت فحص موضع واحد المسار كله. الاشتقاق صالح لكل θ. وبالعكس، لكل نقطة على المعادلة يمكن اختيار cosθ=x/(L−d) وsinθ=y/d، ثم استعادة المنزلقين. لذلك نحصل على جميع نقاط المنحنى عندما نسمح بدورة كاملة.

افحص موضعًا بأطوال كسريّة

نختار cosθ=4/5 وsinθ=3/5، فيكون A=(8,0) وB=(0,6). مربع طول AB هو8²+6²=100. القضيب المرسوم ليس خطًا يصل طرفَي محوري القطع الناقص؛ أحد طرفيه خارج المنحنى في هذا الموضع.

القلم P=(24/5,12/5). فرق الإحداثيين من A إليه(−16/5,12/5)، ومربع طوله256/25+144/25=16؛ إذن AP=4. ومن B إلى P يكون مربع المسافة576/25+324/25=36؛ إذن BP=6.

نراجع المعادلة: (24/5)²/36+(12/5)²/16=16/25+9/25=1. لا نستنتج صحة موضع القلم من أن رسمه يبدو على المنحنى؛ تحققنا من المسافتين ومن معادلة المسار.

نصفا المحورين6 أفقيًا و4 رأسيًا، ولذلك الطرفان الأفقيان(±6,0) والرأسيان(0,±4). الطولان الكاملان12 و8. في هذا المثال مجموع نصفي المحورين10 يساوي طول القضيب، لكن هذا لا يجعل القضيب محورًا من محوري المنحنى.

منتصف القضيب دائرة وحدود الحركة ربع منحنى

انقل القلم إلى المنتصف M بحيث AM=BM=5. يصبح M=(5cosθ,5sinθ)، فيحقق x²+y²=25. نصفا المحورين متساويان، والمسار دائرة نصف قطرها5 حول تقاطع المسارين، لا حول أحد المنزلقين.

في الموضع A=(8,0) وB=(0,6)، يكون M=(4,3). بعده عن الأصل5، وبعده عن كل منزلق5 أيضًا. هذه مساويات في نموذج المنتصف، ولا تمتد إلى القلم P الذي يقسم القضيب4 و6.

إذا بلغ القلم A نفسه، صار d=0، وإحداثيه الرأسي صفر؛ يتحرك على قطعة أفقية بين−10 و10. وإذا بلغ B، صار d=10، ويتحرك رأسيًا بين−10 و10. لا نكتب معادلة فيها قسمة على صفر ونسميها قطعًا ناقصًا غير منحل.

عندما نمنع A وB من تجاوز الأصل إلى الجهتين السالبتين، ينحصر θ بين0 وπ/2، ويغطي القلم ربع المسار فقط. عند البداية P=(6,0)، وعند النهاية P=(0,4). لإكمال المنحنى في النموذج يلزم السماح بحركة المنزلقين على جهتي المسارين.

نعامل مساري الانزلاق والخلوص بين الأجزاء كقيود هندسية مثالية. لا نزعم أن كل آلة ذات قطع سميكة تسمح بتلك الدورة دون اصطدام؛ ما نثبته هو مسار النقاط ضمن النموذج المحدد.

تبديل المحورين يبدل موضع القلم

لو كتبت x²/16+y²/36=1، فقد جعلت AP=4 نصفًا أفقيًا وBP=6 نصفًا رأسيًا. في موضع P=(24/5,12/5) يعطي الطرف الأيسر36/25+4/25=8/5؛ هذه النقطة لا تقع على المعادلة المبدلة.

توجد نقطة أخرى W=(16/5,18/5) على القضيب نفسه. تحقق المعادلة المبدلة: (16/5)²/16+(18/5)²/36=16/25+9/25=1. لكن AW=6 وBW=4، والمسافة PW=2. أي إن تبديل المحورين يمثّل نقل القلم، لا مجرد إعادة تسمية القياسات.

على المعادلة الصحيحة، تعطي W القيمة (16/5)²/36+(18/5)²/16=197/180، لا1. تبادل المسافتين ينتج منحنيين لهما نصفي الطول نفسيهما لكنهما متبادلان الاتجاه. الاشتراك في القياسين لا يطابق موضعَي المنحنيين.

الصورة الداخلية تبين P بالأزرق وW بالأحمر على القضيب نفسه. المنحنى الأزرق نصفاه6 أفقيًا و4 رأسيًا، والأحمر4 أفقيًا و6 رأسيًا. أبقينا وحدة الرسم نفسها في الاتجاهين كي يظهر اختلاف الاتجاه دون تشويه.

لتجنب الخطأ، سمّ المنزلق الأفقي أولًا، وحدد المسافة من ذلك المنزلق إلى القلم. استخرج إحداثي القلم من نسبة تقسيم القطعة، ثم اقرأ نصف المحور من معامل الإحداثي. لا تعتمد على ترتيب الحرفين في صورة من مصدر آخر.

انقل المسارين مع المركز واستعمل وحدة واحدة

بعد الإزاحة(2,−1)، يصبح تقاطع المسارين(2,−1)، ومسار A هو y=−1 ومسار B هو x=2. في موضعنا A=(10,−1) وB=(2,5)، والقلم P=(34/5,7/5). تبقى المسافتان4 و6 لأن الإزاحة تحافظ على الفروق.

معادلة المسار المنقول هي (x−2)²/36+(y+1)²/16=1. التعويض بالقلم الجديد يعطي1. نقل القلم وحده مع إبقاء المسارين عند الأصل ليس الإزاحة نفسها للبناء؛ ينبغي تحريك جميع عناصره.

التكبير الموحد2 حول الأصل يعطي AB=20 وAP=8 وBP=12، والقلم P=(48/5,24/5). تصبح المعادلة x²/144+y²/64=1. النصف الأفقي12 والرأسي8، والمحوران الكاملان24 و16.

الأطوال بوحدة واحدة. إذا كانت المسافتان بالسنتيمتر فإن الإحداثيات كذلك. لا تمدد الصورة أفقيًا دون رأسيًا ثم تستعملها لقياس المسافات على القضيب؛ التحجيم المختلف في الاتجاهين لا يحفظ الأطوال التي اعتمد عليها البناء.

الرسومان مخططان أصليان محسوبان، وليسا تصويرًا لتجربة مادية أو دليلًا على دقة آلة. لإعادة الفحص، سجل طول القضيب وموضع القلم وحدود حركة المنزلقين، ثم تحقق من المسافتين ومعادلة المسار في موضع معلوم.