رسم مثلث بضلعين وزاوية محصورة: ابدأ من اتجاه الضلع

سم الرأس المشترك وانقل الضلع الأول

نبدأ بقطعتين وزاوية مرسومة بينهما. للضلعين أ ب وأ ج تكون الزاوية عند أ. [1][2]

لإنشاء مثلث ذي مساحة نحتاج طولين موجبين وزاوية أكبر من 0° وأصغر من 180°. [2]

اخترنا في المثال أ ب=10 سم وأ ج=6 سم، والزاوية المرسومة أ=60°. نضع أ=(0،0) ونجعل أ ب باتجاه الإحداثي السيني الموجب، فتكون ب=(10،0). نكتب سهمًا صغيرًا من أ نحو ب؛ هذا الاتجاه هو بداية الزاوية التي سننسخها، لا الشعاع المتجه خلف أ.

انقل طول أ ب من أ على الشعاع الأول بفتحة الفرجار التي تساوي القطعة المعطاة. [1]

في المثال طول النقل 10 سم. اكتب «أ ب: 10 سم» و«أ ج: 6 سم» في خانتين قبل تبديل الفتحة، حتى لا تستعمل طول النقل الأول لتعيين الرأس الثالث أيضًا.

انسخ الزاوية وحدد نهاية الضلع الثاني

لنسخ الزاوية ارسم قوسًا يقطع ضلعَيها، وانقله بالفتحة نفسها إلى أ. انقل المسافة بين نقطتي القطع إلى القوس الجديد، ثم ارسم الشعاع من أ عبر التقاطع. [3]

من أ بفتحة أ ج حدد ج على الشعاع الثاني، ثم صل ب بج لإكمال المثلث. [1]

في نسخ زاوية المثال نختار لقوس النسخ نصف قطر 2 سم. على الشعاع الأول تقع نقطة القوس عند ر=(2،0)، وعلى الشعاع الثاني عند ن=(1،√3). طول الوتر ر ن يساوي √((2−1)²+(0−√3)²)=2 سم. نقل فتحة القوس 2 سم ثم الوتر 2 سم يحدد نقطة النسخ، وليس نهاية الضلع ذي الطول 6 سم.

بعد تثبيت اتجاه الشعاع نغير الفتحة إلى 6 سم لتعيين ج. متجه الوحدة في الاتجاه المختار هو (1/2،√3/2)، فتكون ج=أ+6(1/2،√3/2)=(3،3√3). ن لا تزال عند مسافة 2 سم من أ، وج عند 6 سم؛ إذا وصلت ب بن بدل ج فقد توقفت عند علامة مساعدة.

افحص الأطوال والزاوية من الإحداثيات

في المثال، مربع أ ج=3²+(3√3)²=9+27=36؛ إذن أ ج=6 سم كما طلبنا. متجه أ ب=(10،0) ومتجه أ ج=(3،3√3)، وحاصل ضربهما الداخلي 30. بقسمة 30 على حاصل الطولين 10×6 نجد جيب تمام الزاوية 1/2، أي إن الزاوية الداخلية بين الشعاعين 60°.

مربع ب ج=(3−10)²+(3√3−0)²=49+27=76؛ لذلك ب ج=√76=2√19 سم، أي نحو 8.718 سم. الطول الدقيق نحتفظ به بصيغة الجذر، والتقريب للقراءة فقط. لا نضع ب ج=√(10²+6²)، لأن زاوية المثال عند أ ليست قائمة.

يمكن مراجعة الفرق من المعادلات نفسها: لنضع أ=(0،0)، وب=(ل،0)، وج=(م جتا θ،م جا θ). مربع ب ج يساوي (م جتا θ−ل)²+(م جا θ)²، وبفك الأقواس وجمع مربعَي الجيب وجيب التمام نحصل على ل²+م²−2ل م جتا θ. في أرقامنا: 100+36−2×10×6×(1/2)=76.

هذه المراجعة تجمع بين نقل الطولين واتجاه الشعاع. احتفظ بمرجع الزاوية أ ب مكتوبًا على الورقة، ثم راجع نقطة القوس المساعدة ونهاية الضلع كلًّا باسمها. الحسابات تخص نموذج المثال، ولا تستخرج قياسًا دقيقًا بالمسطرة من صورة على الشاشة.

الامتداد الخلفي يغير المعطيات رغم ثبات الطولين

نستعمل الطولين نفسيهما في المقارنة، لكن ننسخ 60° من الشعاع الذي يبدأ عند أ ويتجه يسارًا. ينتج شعاع في أعلى الرسم اتجاهه 120° من أ ب، فتكون ج′=6(−1/2،√3/2)=(−3،3√3) سم. ما زال مربع أ ج′=9+27=36، أي إن طوله 6 سم.

حاصل ضرب أ ب وأ ج′ يساوي −30، وبقسمته على 60 نجد −1/2؛ الزاوية بينهما 120°، لا 60°. مربع ب ج′=(−3−10)²+(3√3)²=169+27=196، فيكون ب ج′=14 سم. تحقق الطولين لا يعوض تغيير الزاوية المحصورة.

لفحص حدود المعطيات في مثالنا، إذا كانت الزاوية 0° صارت ج=(6،0)، وطول ب ج=4 سم؛ وإذا كانت 180° صارت ج=(−6،0)، وطول ب ج=16 سم. تقع الرؤوس على خط واحد في الحالتين، فلا مساحة للمثلث. وجود ثلاثة أطوال موجبة في الرسم وحده لا يعالج انعدام الزاوية الداخلية.

قبل وصل الطرفين للمرة الأخيرة، راجع الخانات: أ ب=10 سم، أ ج=6 سم، والزاوية بين الشعاعين أ ب وأ ج=60°. ابدأ قراءة الزاوية من السهم نحو ب. لا يكفي أن تجد كتابة «60°» قرب أ؛ حدد الشعاع الذي بدأ منه نسخها، ثم افحص نقطة النهاية والمسافة التي نقلتها.