رسم مثلث قائم من الوتر وزاوية: انقل الوتر على الشعاع المائل

انسخ زاوية عند بداية الخط

الإنشاء يبدأ بوتر وزاوية معطيين: ننسخ الزاوية، ثم طول الوتر على شعاعها، ثم نسقط عمودًا من نهايته. [2]

نختار للمثال وترًا 14 سم وزاوية مرسومة مقدارها 30°. نضع أ=(0،0) سم، والخط الأول أفقيًا إلى اليمين. سنسمي نهاية الوتر ب، وقدم العمود ج. وجود زاوية قائمة عند ج يجعل أ ب هو الوتر في المثال؛ فلا نكتب 14 سم على أ ج مسبقًا.

انسخ قوس الزاوية بالفتحة نفسها عند أ، ثم انقل المسافة بين نقطتي قطع القوس لضلعَيها وارسم الشعاع الجديد. [1]

في مثال زاوية 30° نختار نصف قطر قوس النسخ 2 سم. نقطة القوس على الخط الأول ر=(2،0)، وعلى الشعاع المائل ن=(√3،1). مربع المسافة ر ن=(2−√3)²+1=8−4√3؛ لذلك فتحة نقل المسافة بين العلامتين √(8−4√3) سم. هذه فتحة خاصة بالنسخ، ولا تساوي الوتر 14 سم.

عين نهاية الوتر وأسقط العمود

من أ بفتحة الوتر حدد ب على الشعاع المنسوخ، ثم أسقط منها عمودًا على الخط الأول. [1][2]

لإسقاط العمود اقطع الخط بقوس من ب في ع وق. من ع وق ارسم قوسين متساويين يتقاطعان أسفل الخط، ثم صل التقاطع بب. [3]

في المثال اتجاه الشعاع هو (√3/2،1/2)، ولذلك ب=14(√3/2،1/2)=(7√3،7) سم. نختار من ب فتحة 9 سم، وهي أكبر من بعدها عن الخط، وهو 7 سم. مع ص=0 تصبح معادلة القوس (س−7√3)²+49=81؛ ومنه س=7√3±√32=7√3±4√2. هاتان هما ع وق.

نختار للقوسين التاليين فتحة 8 سم. نصف المسافة ع ق يساوي 4√2 سم، ومربعه 32؛ مربع البعد عن الخط حتى التقاطع يساوي 64−32=32. نأخذ الأسفل ت=(7√3،−4√2). يتساوى الإحداثي السيني لب وت، فيكون الخط ب ت رأسيًا ويقطع الخط الأفقي عند ج=(7√3،0).

تحقق من الوتر والقدم والزاوية

من الإحداثيات، طول أ ج=7√3 سم، وطول ج ب=7 سم. مربع أ ب=(7√3)²+7²=147+49=196، لذلك أ ب=14 سم كما طلبنا. حاصل ضرب المتجهين ج أ=(−7√3،0) وج ب=(0،7) يساوي صفرًا؛ الزاوية القائمة في النموذج عند ج.

متجه أ ب=(7√3،7) ومتجه أ ج=(7√3،0). جيب تمام الزاوية بينهما هو 147/(14×7√3)=√3/2، فتكون الزاوية عند أ=30°. التحقق يجمع بين الوتر والزاوية وموضع القدم؛ لا يكفي أن تبدو الوصلة العمودية مستقيمة في صورة مصغرة.

للقياس التقريبي أ ج≈12.124 سم وج ب=7 سم. نبقي أ ج بصيغة 7√3 في الحساب حتى لا نجعل التقريب المدور جزءًا من المعطيات. يمكن إعداد سجل: الطول المقاس أ ب، والطول المقاس أ ج، والطول المقاس ج ب؛ بجانب كل خانة نكتب قيمة النموذج للمقارنة على الورق.

لو عكسنا الشعاع أسفل الخط بقي أ ج=7√3 سم وصارت ب=(7√3،−7). الأطوال الثلاثة لا تتغير، لكن اتجاه العمود إلى القدم يصبح صعودًا. المثال الحالي اختار الأعلى فقط لتوحيد الرسم وتسميات الأقواس؛ الصور على الشاشة لا تعطي قياسًا بالمسطرة على الورقة.

لماذا لا تنقل 14 سم على الخط الأفقي؟

ننشئ مقارنة بالأرقام نفسها، لكن نضع ج′=(14،0) على الخط الأول. يقطع العمود عندها شعاع 30° عند ب′=(14،14/√3) سم، لأن نسبة الإحداثي الصادي إلى السيني على هذا الشعاع هي 1/√3. الزاوية عند أ بقيت 30°، والمثلث قائم عند ج′، لكننا غيرنا الضلع الذي حمل طول 14 سم.

مربع أ ب′=14²+(14/√3)²=196+196/3=784/3؛ لذلك أ ب′=28/√3≈16.166 سم. هذا أطول من الوتر المطلوب 14 سم، رغم صحة الزاوية ووجود العمود. صارت 14 سم طول الساق المجاورة للزاوية بدل الوتر. المقارنة في الصورة الداخلية بالمقياس نفسه لكلا المثلثين.

يمكن تعميم نموذجنا من الإحداثيات: مع وتر هـ موجب وزاوية θ، يكون ب=(هـ جتا θ،هـ جا θ) وج=(هـ جتا θ،0). إذا كانت 0°<θ<90° كان كل من جتا θ وجا θ موجبًا، فلا تندمج الرؤوس. عند θ=0° يكون ب=ج؛ وعند θ=90° يكون ج=أ. لذلك نحصر معطيات هذا الإنشاء في زاوية حادة.

في الوتر 14 سم تحديدًا، زاوية 0° تعطي ب=ج=(14،0)، وزاوية 90° تعطي ب=(0،14) وج=أ=(0،0). في الحالتين إحدى الساقين صفر والمساحة معدومة. ليس رسم زاوية قائمة إضافية علاجًا لذلك؛ يلزم فحص الزاوية المعطاة قبل الإنشاء.

سجل المثال الصحيح: أ ب=14 سم، أ ج=7√3 سم، ج ب=7 سم، زاوية أ=30°. سجل المقارنة: أ ج′=14 سم، ج′ ب′=14/√3 سم، أ ب′=28/√3 سم. ضع دائرة حول الضلع الذي تحمل قيمته 14 سم في كل سجل؛ ستجد سبب اختلاف المثلثين واضحًا في الاسم والطول معًا.