رسم مثلث قائم من ساقين: تقاطع الأقواس ليس الرأس الأخير

انقل الساق الأولى وحدد علامتين حول ج

ساقا المثلث القائم تلتقيان في الزاوية القائمة؛ الوتر هو الضلع المقابل لها. [3]

اخترنا ساقين 9 و12 سم. نضع ج=(0،0) سم على خط أفقي، ونقرر أن ج أ ستكون الساق 9 سم، وج ب الساق 12 سم. نكتب الطولين بالاسم قبل تحريك الفرجار، لأنهما في هذا المثال معطيان مختلفان عن الوتر الذي سنحسبه لاحقًا.

بفتحة الساق الأولى، علّم ع وأ على جانبي ج، ثم أنشئ العمود عند ج بتقاطع قوسين متساويين من العلامتين. [1]

في الإحداثيات، ع=(−9،0) وأ=(9،0). طول ج ع=ج أ=9 سم، والمسافة ع أ=18 سم. ع علامة بناء مساعدة؛ المثلث النهائي الذي نريده أ ج ب. لا نعد المسافة ع أ ساقًا بطول 9 سم، ولا نضيف ع إلى أسماء رؤوسه.

استعمل التقاطع لتحديد اتجاه العمود

تساوي ج ع وج أ، وتساوي ق ع وق أ، وضلع ج ق المشترك، يعطي تطابق المثلثين عند العلامتين. زاويتاهما المتجاورتان عند ج متساويتان ومجموعهما 180°؛ كل منهما 90°. [2]

نختار للقوسين المساعدين في المثال نصف قطر 12 سم. إذا كتبنا ق=(س،ص)، تحقق (س+9)²+ص²=144 و(س−9)²+ص²=144. طرح المعادلتين يعطي 36س=0، إذن س=0. ثم ص²=144−81=63؛ التقاطع العلوي ق=(0،√63)=(0،3√7) سم.

إذن خط ج ق رأسي، وطول ج ق=3√7≈7.937 سم. هذا الطول نتيجة اختيار الفتحة 12 سم عند المركزين ع وأ؛ ليس الساق الثانية المعطاة. كون العدد 12 حاضرًا في خطوة الأقواس لا يعني أن المسافة من ج إلى تقاطعهما أصبحت 12 سم.

لو اخترنا الفتحة 15 سم بدل 12 لصار ص²=225−81=144، والتقاطع العلوي ق′=(0،12). في هذا الاختيار الخاص يقع ق′ عند موضع ب الذي نريده، لكن الاختيار الأول الصحيح أيضًا يعطي نقطة أخرى على العمود نفسه. الاتجاه محفوظ؛ موضع العلامة المساعدة يتغير.

انقل الساق الثانية بعد تثبيت الاتجاه

من ج بفتحة الساق الثانية حدد ب على العمود، ثم صل أ بب لإكمال المثلث. [1]

في المثال نفتح الفرجار 12 سم ونثبت الإبرة عند ج، فنحدد ب=(0،12) على العمود العلوي. هذه المرة المركز ج، بينما كان مركزا القوسين المساعدين ع وأ. رغم تساوي الفتحتين عدديًا في اختيارنا، تختلف المسافة التي ننقلها والنقطة التي ننتهي إليها.

نراجع المطلوب بالإحداثيات: ج أ=9 سم وج ب=12 سم. المتجه ج أ=(9،0) والمتجه ج ب=(0،12)، وحاصل ضربهما الداخلي صفر. مربع أ ب=(0−9)²+(12−0)²=81+144=225؛ لذلك أ ب=15 سم. هذا طول الوتر الناتج، لا فتحة الأقواس المساعدة الأولى.

نقارن بما يحدث إذا توقفنا عند ق ووصلناها بأ. مربع أ ق=9²+(3√7)²=81+63=144، أي أ ق=12 سم. المثلث أ ج ق قائم فعلًا، لكن ج ق≈7.937 سم بدل 12 سم. وجود العلامة القائمة وحده لا يثبت أن الساقين المعطاتين تحققتا.

سجل للمراجعة على الورق: ج أ المطلوبة 9 سم؛ ج ب المطلوبة 12 سم؛ أ ب في النموذج 15 سم؛ ق علامة اتجاه عند 3√7 سم. اترك خانة للقياس بجانب كل طول، ثم قارن أسماء القطع قبل مقارنة الأرقام. الصور على الشاشة ليست قياسًا بالمسطرة على الورقة.

افحص الفتحة المساعدة دون تغيير المعطيات

في المثال ذي المركزين ع وأ، إذا كانت الفتحة المساعدة 9 سم نجد ص²=81−81=0. تتماسان عند ج نفسها؛ فلا تعطينا هذه النقطة الثانية اتجاهًا لخط ج ق. وإذا كانت الفتحة 8 سم نجد ص²=64−81=−17، فلا تقاطع حقيقي. المشكلة هنا في اختيار أداة إنشاء الاتجاه، لا في الساقين 9 و12 سم.

الفتحة 12 سم تعطي ص²=63>0، والفتحة 15 تعطي ص²=144>0؛ في الحالتين يوجد تقاطع علوي خارج الخط الأفقي. بعد اختيار العمود منه، نقل الساق الثانية 12 سم من ج يعطي ب=(0،12) نفسها. لهذا لا نغير طول الساق المطلوبة كي نجعل التقاطع المساعد أقرب إلى موضعها.

لصيغة مستقلة عامة، إذا كانت الساق الأولى ل>0، نضع المركزين (−ل،0) و(ل،0)، ونختار نصف قطر مساعد ر. طرح معادلتي الدائرتين يعطي 4ل س=0، ثم ص²=ر²−ل². نحتاج ر>ل كي لا يندمج التقاطع مع ج. وبعدها ساق ثانية م>0 تعطي الرأس ب=(0،م)، بغض النظر عن قيمة ص المساعدة.

إذا كانت إحدى الساقين صفرًا، اندمجت إحدى الرؤوس: ل=0 يجعل أ=ج، وم=0 يجعل ب=ج. لذلك نبدأ بساقين موجبتين. في المثال يمكن أيضًا اختيار ب=(0،−12) تحت الخط؛ مربع الوتر يظل 81+144=225، بينما تتغير جهة الرسم فقط.