سلسلة بابوس: ارتفاع المركز يحدد ترتيب الدائرة

الخلاصة السريعة

في سلسلة بابوس، ارتفاع مركز الدائرة رقمn عن خط الأقطار يساوي n أمثال قطرها: hₙ=2nρₙ. [2]

• نختار A=(0,0)، B=(6,0)، C=(10,0). أنصاف الدوائر فوق الخط نفسه، وأنصاف أقطارها5 و3 و2. كل دائرة في الفرع المحسوب تمس الخارجية والداخلية اليسرى؛ الأولى تمس اليمنى أيضًا.
• في مثالنا D=4n²+15، وPₙ=(120/D,60n/D)، وρₙ=30/D. [1] عندn=1 و2 و3 و4 نحصل على أنصاف30/19 و30/31 و10/17 و30/79؛ هي أطوال موجبة متناقصة.
• الارتفاعات هي60/19 و120/31 و60/17 و240/79. بقسمتها على الأقطار نحصل على1 و2 و3 و4. ارتفاع المركز الثاني أكبر من الثالث؛ الترتيب ليس ترتيبًا حسب الارتفاع وحده.
• نقاط تماس الدائرة الأولى مع الحدود هي T=(90/13,60/13)، U=(150/29,60/29)، V=(120/17,30/17). وتماسها مع الثانية عند K1=(24/5,18/5). نراجع المسافات، لا تقارب الخطوط في الصورة.
• للدائرة الثانية ارتفاع المركز120/31 وقطر60/31، فنجد النسبة2. ارتفاع أسفلها90/31 يعطي3/2، وارتفاع أعلاها150/31 يعطي5/2. قانون الترتيب يطلب المركز، لا حافتي المحيط.
• الفحص الجبري يثبت التماس بالحدين والجارات لأسرة مثالنا، وليس برهانًا لكل أربيلوس. الإزاحة(2,−1) تنقل خط القياس إلىy=−1؛ والتكبير2 يضاعف الارتفاع والقطر معًا، فتبقى النسبة والترتيب.

ابدأ من ثلاثة أقطار على خط واحد

نضع A=(0,0)، B=(6,0)، C=(10,0) على y=0. نرسم أنصاف الدوائر العلوية ذات الأقطار AC وAB وBC. أنصاف أقطارها5 و3 و2، ومراكز دوائرها الكاملة O=(5,0)، L=(3,0)، R=(8,0).

تسمى المنطقة المحصورة بين الأقواس الثلاثة أربيلوس. [1]

الحد الخارجي هو الجزء العلوي من(x−5)²+y²=25، والحدان الداخليان من(x−3)²+y²=9 و(x−8)²+y²=4. تتلامس الدائرة الخارجية واليسرى عند A؛ والخارجية واليمنى عند C؛ والداخليتان عند B. الأقطار مجتمعة على خط واحد، وليست ثلاثة أضلاع لمثلث.

نحسب الفرع الذي تبقى دوائره مماسة للحد الخارجي والداخلي الأيسر. أول دائرة تمس الداخلي الأيمن أيضًا. لا نفترض أن كل دائرة تالية تمس الحدود الثلاثة؛ شرط التتابع يتضمن تماسها مع الدائرة السابقة.

المركز ونقطة التماس شيئان مختلفان. الارتفاع الذي سنقيسه هو طول العمود من مركز الدائرة الصغيرة إلى خط y=0. ويمكن أن يمر العمود خلال إحدى مناطق أنصاف الدوائر الداخلية؛ هو قياس للمسافة إلى الخط، لا قطعة طريق داخل منطقة الفراغ.

أربع دوائر بإحداثيات كسرية

من صيغ الإحداثيات في المصدر، وباختيار AB/AC=3/5 ومقياس AC=10، نحصل على D=4n²+15 وPₙ=(120/D,60n/D) وρₙ=30/D. [1] نراجع التماس والحسابات لهذا المثال بالكسور دون القياس من الصورة.

عندn=1، يكون D=19، والمركز P1=(120/19,60/19)، والنصفρ1=30/19. بعده عن O يساوي65/19، وهو5−30/19. وبعده عن L يساوي87/19، وهو3+30/19؛ لذا يمس الأولى داخليًا والثانية خارجيًا.

عندn=2، نجد P2=(120/31,120/31) وρ2=30/31. وعندn=3، نجد P3=(40/17,60/17) وρ3=10/17. أماn=4 فيعطي P4=(120/79,240/79) وρ4=30/79. كلها فوق خط الأقطار.

فرق المركزين P1 وP2 هو(−1440/589,420/589). طوله1500/589، وهو مجموع النصفين30/19+30/31. وبين P2 وP3 نجد طولًا820/527، مساويًا30/31+10/17. وبين P3 وP4 الطول1300/1343، مساويًا10/17+30/79.

الأزواج غير المتجاورة بين الدوائر الأربع منفصلة؛ مربع بعد كل زوج أكبر من مربع مجموع نصفيه. وتبقى أقراصها فوق القاعدة، لأن ارتفاع كل مركز أكبر من نصف دائرته. لا نرسم الأنصاف الداخلية كاملة تحت القاعدة ثم نعد الأجزاء السفلى حدودًا للسلسلة.

اقسم ارتفاع المركز على القطر

قاعدة الارتفاع في سلسلة بابوس هي hₙ=2nρₙ، حيثhₙ بعد المركز العمودي عن خط الأقطار وρₙ نصف القطر. [2] وباستعمال القطر2ρₙ تصبح النسبةhₙ/(2ρₙ)=n؛ تحديد موضع القياس جزء من القاعدة.

في الدائرة الأولى الارتفاع60/19، والقطر60/19 أيضًا. النسبة1، بينما الارتفاع مقسومًا على نصف القطر يعطي2. إذا استعملنا نصف القطر في مقام قانون القطر، ضاعفنا رقم الترتيب خطأ.

الثانية ارتفاعها120/31 وقطرها60/31، فنجد2. الثالثة ارتفاعها60/17 وقطرها20/17، فنجد3. الرابعة ارتفاعها240/79 وقطرها60/79، فنجد4. الكسور تختلف، لكن كل نسبة صحيحة دون تقريب عشري.

لا نستنتج أن كل مركز لاحق أعلى من السابق. مثلًا120/31 أكبر من60/17 لأن120×17=2040 أكبر من60×31=1860. ومع ذلك الثالثة تأتي بعد الثانية. انخفاض نصف القطر يسمح بزيادة نسبة الارتفاع إلى القطر بينما ينخفض الارتفاع نفسه.

الجدول يفصل بين الارتفاع والطول الذي نقسم عليه. عددn بلا وحدة، لأنه نسبة طولين بوحدة واحدة. أما ارتفاع المركز وقطر الدائرة فلهما وحدة طول؛ لا نقسم ارتفاعًا على مساحة ولا على مربع نصف القطر.

نقاط التماس تثبت البناء

للدائرة الأولى، نقطة التماس مع الخارجية هي T=(90/13,60/13). متجه OT هو(25/13,60/13)، وطوله5. وتقع T على امتداد OP1 من جهة P1؛ المسافة بين T وP1 هي30/19، نصف الدائرة الأولى.

مع الداخلية اليسرى، نجد U=(150/29,60/29). متجه LU هو(63/29,60/29)، وطوله3. وتقع U بين L وP1، والمسافة منها إلى P1 هي30/19. ونقطة التماس اليمنى V=(120/17,30/17) تبعد2 عن R و30/19 عن P1.

تماس الدائرة الأولى والثانية هو K1=(24/5,18/5). لأنها بين المركزين، تقسّم القطعة بنسبة نصفي القطر؛ ليست منتصفها، فالأنصاف مختلفة. مربع بعدها عن P1 هو(30/19)²، ومربع بعدها عن P2 هو(30/31)².

للثانية والثالثة نجد K2=(120/41,150/41)، وللثالثة والرابعة K3=(24/13,42/13). مراجعة بعد كل نقطة عن مركزي الزوج تعيد نصفيه. هذه النقاط الثلاث لا تحدد مستقيم بابوس ذي التقاطعات؛ نتحدث هنا عن سلسلة دوائر تحمل الاسم نفسه.

الدوائر التالية لا تمس الحد الداخلي الأيمن. عندn=2، مثلًا، مربع البعد عن R ناقص مربع(2+ρ2) يساوي720/31، وهو موجب. الدائرة الثانية منفصلة عن اليمنى، مع بقائها مماسة للحدين المختارين وجارتها.

أسفل الدائرة ليس المركز

أبقِ الدائرة الثانية كما هي: مركزها P2=(120/31,120/31)، ونصفها30/31. قدم العمود على القاعدة H2=(120/31,0). أدنى نقطة من محيطها E2=(120/31,90/31)، وأعلاها F2=(120/31,150/31).

ارتفاع المركز هو120/31. أما ارتفاع E2 فهو120/31−30/31=90/31؛ ينقص نصف القطر. وارتفاع F2 يزيد نصف القطر، فيصبح150/31. هذه ثلاثة أطوال مختلفة رغم أن النقاط تقع على العمود نفسه.

عندما نقسم الارتفاع الأوسط على القطر60/31 نجد2. الأسفل يعطي(90/31)/(60/31)=3/2، والأعلى يعطي(150/31)/(60/31)=5/2. لا يوجد رقم ترتيب كسري هنا؛ الذي تغير هو نقطة بدء القياس.

بصورة عامة في هذه الأسرة، ارتفاع الأسفل(2n−1)ρₙ، وارتفاع الأعلى(2n+1)ρₙ. قسمتهما على القطر تعطيn−1/2 وn+1/2. لذلك يمكن كشف الخطأ بملاحظة فرق نصف عن الرقم الصحيح، من دون تعديل الدائرة أو أنصاف الحدود.

تظهر اللوحة المقارنة طول المركز بالأزرق، وطول الأسفل بالأحمر على عمود مزاح قليلًا ليتضح الفرق. الخط الأحمر دليل قياس، وليس خط مماس للدائرة. جميع الأقواس والدوائر بقيت في أماكنها وأحجامها الأصلية.

التحقق الجبري وخط القياس والمقياس

صيغ المثال تسمح بفحص التماس مع الحدين لكل عدد صحيحn≥1. عند إزالة المقام D² من الفرق بين مربع بعد Pₙ عن O ومربع(5−ρₙ)، يكون البسط13500−900D+3600n². التعويض بـ D=4n²+15 يجعله صفرًا؛ النتيجة نفسها تظهر للحد الأيسر مع مجموع النصفين.

لجارين متتاليين نضع E=4(n+1)²+15. بسط فرق الإحداثيين الأفقيين120(E−D)، وبسط فرق الرأسيين60nE−60(n+1)D، ومقامهما المشتركDE. جمع مربعي البسطين يساوي مربع30(D+E)، بسط مجموع النصفين؛ يثبت ذلك التماس للأسرة المحسوبة.

كذلك ارتفاع Pₙ من صيغته هو60n/D، والنصف30/D، فيكون الارتفاع2n أمثاله. هذا تحقق للأسرة المحددة بأقطار10 و6 و4. أما قاعدة الارتفاع لكل أربيلوس فمستندة إلى المصدر، ولا نعرض المثال العددي بوصفه برهانًا عامًا لكل نسبة أقطار.

بعد الإزاحة(2,−1)، يصير خط الأقطار y=−1، والمركز الثاني(182/31,89/31). ارتفاعه عن الخط هو89/31−(−1)=120/31، لا الإحداثي الرأسي89/31 وحده. تبقى نسبته إلى القطر2، لأن الإزاحة تحفظ الأطوال.

التكبير الموحد2 يجعل أنصاف الحدود10 و6 و4. مركز الدائرة الثانية(240/31,240/31)، ونصفها60/31، وقطرها120/31. الارتفاع الجديد240/31، فتبقى النسبة2. لا يجوز تكبير محور واحد ثم اعتبار الأشكال الناتجة دوائر بالقانون نفسه.

حدد الفرع الذي تتبعه، ورقم البداية، وخط الأقطار الثابت. قس من المركز، وميز القطر عن نصف القطر. راجع التماس لكل جار بشروط المسافات، واحتفظ بالكسور إلى نهاية الحساب؛ الصورة وسيلة لفهم القياس وليست بديلًا عنه.