سلسلة شتاينر: ست دوائر تغلق بين دائرتين

الخلاصة السريعة

بين دائرتين متحدتي المركز بنصفي قطر1 و3، تغلق ست دوائر نصف قطر كل منها1. المسافة بين مركزي كل دائرتين متجاورتين2، بما فيها الأخيرة والأولى.

• المركز المشترك O=(0,0). لدائرة السلسلة نصف قطرρ وبعد مركزd، التماس مع الحدين يعطي d=1+ρ=3−ρ، ومنهρ=1 وd=2.
• المراكز بالترتيب C0=(2,0)، C1=(1,√3)، C2=(−1,√3)، C3=(−2,0)، C4=(−1,−√3)، C5=(1,−√3). كلها تبعد2 عن O، والمسافة بين الجيران2.
• تماس الدائرة ذات المركز Ci مع الداخلية عند Ai=Ci/2، ومع الخارجية عند Bi=3Ci/2، ومع التالية عند Ki=(Ci+Cj)/2؛ الرمزj هو التالي في الحلقة. لدينا18 نقطة تماس.
• زيادة نصف الدائرة C0 وحدها إلى6/5 تفسد التماس: أقصى بعدها عن O هو16/5>3، وأدنى بعدها4/5، وهو أصغر من1. والمسافة2 إلى الجار أصغر من مجموع النصفين11/5؛ يحدث تداخل.
• تدوير السلسلة بزاوية30° يعطي بداية جديدة مثل(√3,1)، مع بقاء الحدين. ونثبت الإغلاق لأي زاوية في الحالة المتحدة المركز بحفظ المسافات تحت الدوران؛ الحكم العام لشتاينر مستند إلى المصدر. [2]
• السلسلة تضم6 دوائر، والشكل مع الحدين يضم8. الإزاحة(2,−1) تحفظها، والتكبير2 يعطي أنصاف الحدين2 و6، وأنصاف السلسلة2. المساحة الباقية في الحلقة2π قبل التكبير.

استخرج نصف القطر قبل توزيع المراكز

نثبت دائرتين مركزهما O=(0,0): الداخلية x²+y²=1 والخارجية x²+y²=9. القرص الأصغر داخل الأكبر، والمنطقة المطلوبة بين محيطيهما. نصف القطر الخارجي3 لا يساوي عرض الحلقة؛ عرضها الشعاعي3−1=2.

لتكن دائرة صغيرة داخل هذه المنطقة، نصف قطرهاρ ومركزها C على بعدd من O. لكي تمس الداخلية من الخارج نحتاج d=1+ρ. ولكي تمس الخارجية من الداخل نحتاج d+ρ=3. الشرطان يصفان نوعين مختلفين من التماس.

بمساواة1+ρ و3−ρ نحصل على2ρ=2، أيρ=1، ثمd=2. لذلك مراكز جميع الدوائر الصغيرة تقع على دائرة نصف قطرها2، لكن هذه الدائرة مسار للمراكز وليست حدًا إضافيًا في السلسلة.

في الحالة المتحدة المركز، يسجل المصدر الصيغρ=(a−b)/2 وd=(a+b)/2 لأنصاف الحدينa وb. [1] اشتقاقنا السابق يراجعها عندa=3 وb=1 دون استعارة مثال عددي أو رسم.

لا نبدأ بوضع مراكز تبدو منتظمة ثم نختار أنصافًا كيفما اتفق. الشرطان فرضا نصف القطر1 وبعد المركز2. أما إغلاق الحلقة فيحتاج أيضًا تماس الدوائر المتجاورة، بما فيه تماس آخر دائرة بالأولى.

ستة مراكز تثبت الإغلاق

خذ المراكز C0=(2,0)، C1=(1,√3)، C2=(−1,√3)، C3=(−2,0)، C4=(−1,−√3)، C5=(1,−√3). في المراكز غير الواقعة على المحور الأفقي نحسب مربع البعد1²+(√3)²=4؛ وفي C0 وC3 نحصل على2²=4.

فرق C1 عن C0 هو(−1,√3)، ومربع طوله1+3=4. وفرق C2 عن C1 هو(−2,0)، ومربع طوله4 أيضًا. بقية الفروق متناظرة؛ طول كل ضلع بين مركزين متجاورين2، وهو مجموع نصفي القطر1+1.

لإغلاق السلسلة نفحص C5 وC0 تحديدًا، لا الأزواج الخمسة الأولى فقط. الفرق(1,√3) له مربع طول4. إذن السادسة تمس الأولى، ولا يبقى فراغ في نهاية المسار. المراكز الستة مختلفة؛ لا نعد الرجوع إلى C0 دائرة سابعة.

الدوائر غير المتجاورة لا تتداخل: بين مركزين يفصل بينهما مركز واحد مربع البعد12، وبين مركزين متقابلين16. كلاهما أكبر من4، مربع مجموع النصفين. وهكذا تلتقي الأقراص المتجاورة عند نقاط مفردة، وتنفصل بقية الأزواج.

المراكز تشكل سداسيًا منتظمًا بزاوية مركزية60°. الأضلاع المستقيمة في الرسم تصل المراكز وتساعد على فحص المسافات؛ السلسلة نفسها مؤلفة من الدوائر الصغيرة، ولا نخلط بينها وبين مضلع ذي أضلاع مماسة.

حدد نقاط التماس الثماني عشرة

لكل مركز Ci، النقطة Ai=Ci/2 تبعد1 عن O وعن Ci. تقع بين المركزين، فتحدد التماس مع الداخلية. والنقطة Bi=3Ci/2 تبعد3 عن O و1 عن Ci؛ تقع في اتجاه Ci بعيدًا عن O، فتحدد التماس الداخلي مع الحد الخارجي.

بين Ci وCj المتجاورين، حيثj هو التالي مع العودة من5 إلى0، نقطة التماس Ki=(Ci+Cj)/2. لأنها منتصف قطعة طولها2، تبعد1 عن كل مركز. جميع هذه النقاط على المحيطين الصغيرين المعنيين، وليست مراكز جديدة.

مثلًا C0=(2,0) يلامس الحدين عند A0=(1,0) وB0=(3,0). وتماسه مع C1 عند K0=(3/2,√3/2)، ومع C5 عند K5=(3/2,−√3/2). مربع البعد من كل نقطة أخيرة إلى C0 هو1/4+3/4=1.

للدائرة C1، نجد A1=(1/2,√3/2) وB1=(3/2,3√3/2). وتماسها مع C2 هو K1=(0,√3). بعد K1 عن كلا المركزين1. تكفي هذه الصيغ لحساب كل نقطة دون أخذ تقريب عشري للجذر.

نعد6 نقاط على الحد الداخلي و6 على الخارجي و6 بين الجيران، فيكون المجموع18. تماس C0 مع C5 محسوب مرة واحدة باسم K5؛ إعادة ذكره من جهة C0 لا تضيف نقطة جديدة. أما عدد دوائر السلسلة فيظل6.

زيادة دائرة واحدة تحول التماس إلى تداخل

أبقِ الحدين والمراكز وكل الأنصاف الأخرى كما هي، وغير نصف C0 من1 إلى6/5. لا يكفي أن المركز ما زال على مسار المراكز؛ شرطا التماس يتضمنان نصف القطر أيضًا. في اللوحة المقارنة تظهر هذه الدائرة بالأحمر.

أبعد نقطة من الدائرة الحمراء عن O تبعد2+6/5=16/5، فتخرج عن نصف القطر الخارجي3. وأقرب نقطة تبعد2−6/5=4/5، فتدخل القرص الداخلي ذي نصف القطر1. لم تعد الدائرة محصورة في الحلقة.

كذلك المسافة إلى C1 وإلى C5 تظل2، بينما مجموع النصفين6/5+1=11/5. المسافة أصغر من المجموع وأكبر من فرق النصفين1/5، لذلك تتقاطع الدائرة الحمراء مع كل جار في نقطتين؛ لا يوجد تماس خارجي مفرد.

نقطتا A0 وB0 القديمتان تبعدان1 عن C0، وهو أقل من النصف الجديد6/5. أصبحتا داخل قرصه، لا على محيطه. التعويض في معادلة الدائرة الجديدة يعطي1−36/25=−11/25، بدل الصفر اللازم لوجود نقطة على المحيط.

إذن ثبات ترتيب المراكز وعدد الدوائر لا يحفظ السلسلة عندما نغير نصفًا واحدًا. الاختبار يجمع الاحتواء بين الحدين وتماس كل جار. لا يدل هذا الفشل على خطأ مبرهنة شتاينر؛ الشكل المعدل لا يحقق شروط السلسلة.

بداية جديدة وحدود الحكم العام

دور السلسلة كلها30° حول O. تصبح المراكز(√3,1)، (0,2)، (−√3,1)، (−√3,−1)، (0,−2)، (√3,−1). الدائرتان الحديتان متحدتا المركز فلا يتغير محيط أي منهما تحت هذا الدوران. الأنصاف الصغيرة تبقى1.

لأي زاويةθ، نستطيع كتابة المركز رقمi بالصورة Ci(θ)=2(cos(θ+iπ/3),sin(θ+iπ/3))، حيثi من0 إلى5. هذه الصيغة تدير الترتيب الأصلي كله؛ لا تحرك دائرة واحدة وحدها بين جارين ثابتين.

الدوران يحفظ طول كل متجه والمسافة بين كل نقطتين. لذلك يبقى بعد المركز عن O مساويًا2، وبعد الجارين2. يعود المركز التالي بعد C5 إلى C0 لأن الزاوية زادت2π؛ تتحقق شروط التماس والإغلاق لأيθ في مثالنا.

حكم شتاينر العام يقول: إذا أغلقت سلسلة بين دائرتين ثابتتين من بداية صالحة، فإنها تغلق من أي موضع بداية آخر. [2] برهان الدوران هنا يخص الحدين متحدتي المركز؛ لا نقدم به برهانًا للحالة التي يختلف فيها المركزان.

بداية جديدة تعني إبقاء الدائرتين الحديتين وشروط التماس. لا نبدل قطر الحد الخارجي أثناء التجربة، ولا ننقل أول دائرة إلى موضع لا يمس الحدين ثم نستعمل الحكم العام. إثبات وجود إغلاق صالح يأتي قبل الاستنتاج عن بدايات أخرى.

عدد الدوائر والمقياس والمساحة

في ترتيب منتظم حول الحلقة مرة واحدة، طول الوتر بين مركزين على دائرة نصف قطرهاd هو2d sin(π/n). مساواته بقطر الدائرة الصغيرة2ρ تعطي sin(π/n)=ρ/d. ويسجل المصدر النسبة(a−b)/(a+b). [1] عندناρ/d=1/2، فينتجn=6 ضمنn≥3.

هذه نتيجة للترتيب المنتظم في دورة واحدة. خمس دوائر متساوية التوزيع تعطي زاوية72° وبعدًا أكبر من2، فتظهر فجوات؛ سبع تعطي زاوية أصغر من60° وبعدًا أقل من2، فتتداخل الجارات. ليست زيادة العدد طريقة لإصلاح نسبة أنصاف غير مناسبة.

السلسلة تحتوي6 دوائر متغيرة الموضع. مع الحدين الثابتين يصبح العدد الكلي8. لا نضيف دائرة مسار المراكز إلى العدد، فهي وسيلة حسابية غير مرسومة كحد في اللوحتين. ولا نعد نقاط التماس الثماني عشرة دوائر.

مساحة الحلقة π(3²−1²)=8π. مساحة الأقراص الصغيرة الستة6π؛ تلامسها عند نقاط فقط، فلا نحذف مساحة تداخل بينها. المساحة غير المشغولة داخل الحلقة2π. إغلاق السلسلة لا يعني أن الأقراص ملأت المنطقة كلها.

الإزاحة(2,−1) تنقل O إلى(2,−1) وC0 إلى(4,−1)، وتحفظ جميع فروق المراكز والأنصاف. والتكبير2 يجعل الحدين بنصفي2 و6، ومراكز السلسلة على بعد4، ونصف كل دائرة2. تصبح المساحة غير المشغولة8π؛ الأطوال تتضاعف والمساحات تزيد أربع مرات.

راجع نصف القطر وبعد المركز، ثم الأزواج المتجاورة كاملة، ثم الاحتواء بين الحدين. احتفظ بالجذور الدقيقة في الإحداثيات، واستخدم مقياسًا واحدًا للمحورين. الصورة توضح هذه الشروط، لكن الإغلاق يثبت بالمسافات، لا بقرب دائرتين في رسم.