صيغة براهماغوبتا: مساحة الرباعي الدائري وشرط الرؤوس

الخلاصة السريعة

صيغة براهماغوبتا تعطي مساحة رباعي محدب تقع رؤوسه الأربعة على محيط دائرة واحدة: K=√((s−a)(s−b)(s−c)(s−d))، حيث s=(a+b+c+d)/2. [1] لا تستعملها لرباعي عام دون التحقق من شرط الدائرة.

• المقصود بالرباعي الدائري أن الرؤوس تقع على محيط دائرة واحدة، لا أن دائرة تمس الأضلاع. في مثال A=(0,0)، B=(14,0)، C=(11,4)، D=(3,4)، مركز الدائرة O=(7,−17/8)، ومربع نصف قطرها 3425/64.
• الأضلاع 14 و 5 و 8 و 5 تعطي نصف المحيط s=16. العوامل s−a و s−b و s−c و s−d هي 2 و 11 و 8 و 11، وحاصل ضربها 1936، فتكون المساحة K=44 وحدة مربعة.
• القطر AC يقسم الشكل إلى مثلثين مساحتاهما 28 و 16، والمجموع 44. ويمكن حسابها أيضًا من القاعدتين 14 و 8 والارتفاع العمودي 4؛ الساق المائلة 5 ليست الارتفاع.
• عند B، تكون cos B=3/5 و sin B=4/5. وعند D، الزاوية مكملة لها وجيبها 4/5 أيضًا. لذلك مجموع المساحتين (14×5+8×5)(4/5)/2=44؛ شرط الزاويتين يفسر اتفاق الحسابين.
• مستطيل أضلاعه 10 و 6 و 10 و 6 مساحته 60 ويحقق شرط الدائرة. متوازي أضلاع مائل بالأطوال نفسها وارتفاع 24/5 مساحته 48؛ تعويضه في الصيغة يعطي 60 خطأً لأنه غير دائري.
• يجب أن تكون الأطوال موجبة وتستطيع إغلاق رباعي غير منعدم. الأطوال 1 و 2 و 3 و 7 غير صالحة، و 1 و 2 و 3 و 6 حالة منحلّة. تكبير المثال بعامل 2 يجعل المساحة 176، بينما النقل والدوران يحفظان 44.

تحقق من أن الرؤوس على دائرة واحدة

رتب الرؤوس حول الحدود A ثم B ثم C ثم D. الشكل في مثالنا شبه منحرف محدب؛ القاعدتان AB و CD أفقيتان، وطولهما 14 و 8. فرق الإحداثيين على كل ساق مائلة هو 3 أفقيًا و 4 رأسيًا، فيكون طول الساق 5.

الدائرة المقصودة تمر بالرؤوس. ليست دائرة داخل الشكل تلامس الأضلاع. التعريف والشرط المكافئ له في رباعي محدب هما وقوع الرؤوس على دائرة واحدة، أو أن مجموع كل زاويتين متقابلتين 180 درجة. [1]

للتحقق بالإحداثيات، اختر O=(7,−17/8). مربعات المسافات OA² و OB² و OC² و OD² كلها 3425/64. مثلًا OA²=7²+(17/8)²؛ وإلى C نجد OC²=4²+(49/8)²، والقيمتان متساويتان.

وجود المركز أسفل شبه المنحرف لا يفسد الشرط. المهم تساوي المسافات إلى الرؤوس الأربع، لا وقوع المركز داخل الرباعي. يعرض الرسم الدائرة التي تمر بالرؤوس دون تقديمها على أنها دائرة تمس الأضلاع.

احسب نصف المحيط ثم العوامل الأربعة

ضع a=AB و b=BC و c=CD و d=DA. في المثال a=14 و b=5 و c=8 و d=5. نجمع الأطوال لنجد المحيط 32، ثم نقسمه على 2 فنحصل على s=16. الرمز s يخص نصف المحيط، لا المحيط كله.

صيغة المساحة هي K=√((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)) للرباعي المحدب الدائري. [1] تحت الجذر توجد أربعة فروق مضروبة معًا. لا نجمع هذه الفروق، ولا نطرح مجموع الأضلاع مرة واحدة من s.

في أرقامنا، الفروق 16−14=2، 16−5=11، 16−8=8، 16−5=11. حاصل ضربها 2×11×8×11=1936. وبما أن 44²=1936، نأخذ الجذر غير السالب فنجد K=44.

الجدول يربط كل ضلع بطوله والفرق الذي يدخل في الصيغة. تكرار العدد 5 يعني أن عامل 11 يدخل مرتين؛ لا نحذفه لمجرد أن الساقين متساويتان.

إذا كانت أطوال الأضلاع بالسنتيمتر، فالمساحة 44 سم². حاصل الضرب تحت الجذر بوحدة سم⁴، وأخذ الجذر يحوله إلى سم². أما المحيط 32 فبوحدة سم فقط.

راجع المساحة من القطر والارتفاع

ارسم القطر AC. المثلث ABC قاعدته AB طولها 14، وارتفاع C عن AB يساوي 4؛ لذلك مساحته 14×4/2=28. والمثلث ACD قاعدته CD طولها 8، وارتفاع A عن خط CD يساوي 4، فتكون مساحته 8×4/2=16.

المثلثان يغطيان الرباعي المحدب ولا يتداخل باطنهما. بجمع المساحتين نجد 28+16=44، وهي نتيجة مستقلة عن التعويض في صيغة براهماغوبتا. القطعة AC ليست ضلعًا خامسًا نضيفه إلى نصف المحيط.

يمكن أيضًا استعمال مساحة شبه المنحرف: نصف مجموع القاعدتين مضروبًا في الارتفاع، أي (14+8)×4/2=44. هذه طريقة خاصة بالشكل المختار، بينما الصيغة الدائرية تعتمد على شرط الرؤوس والأضلاع الأربعة.

لا تضع 5 مكان الارتفاع 4. الساق المائلة تجمع إزاحة أفقية 3 وارتفاعًا 4، فيكون مربعها 3²+4²=25. التعويض بارتفاع 5 يعطي 55، وهو ناتج غير صحيح رغم أن 5 طول صحيح في الشكل.

زاويتان متقابلتان تفسران جمع المساحتين

في المثلث ABC، عند B، يتجه BA إلى اليسار ويكون BC=(-3,4). الضرب الداخلي يعطي cos B=3/5، ومن الارتفاع 4 والساق 5 نجد sin B=4/5. مساحة هذا المثلث تساوي AB×BC×sin B/2، أي 28.

عند D، يكون DC=(8,0) و DA=(−3,−4). لذلك cos D=−3/5 و sin D=4/5. الزاويتان B و D متكاملتان، وهو شرط الدائرة الذي نحتاجه هنا؛ اختلاف إشارة جيب التمام لا يغير قيمة الجيب الموجب.

بجمع مساحتي المثلثين على القطر AC نحصل على K=(ab+cd)sin B/2. في المثال ab=70 و cd=40، فتكون K=110×(4/5)/2=44. هذا يشرح توافق الأطوال والزاوية والمساحة، لا مجرد تطابق رقمين بالصدفة.

يمكن فحص الزاوية من طول القطر أيضًا: AC²=11²+4²=137. وفي المثلث ABC، يعطي 14²+5²−2×14×5×(3/5) القيمة 137 نفسها. وفي المثلث ACD، يعطي 8²+5²+2×8×5×(3/5) القيمة 137؛ تغيرت الإشارة لأن الزاويتين متكاملتان.

هذا تفسير حسابي للمثال، وليس قياسًا للزاويتين من الصورة. المرجع يثبت الصيغة العامة للرباعي الدائري؛ المثال يبين دور الشرط باستخدام إحداثيات وأطوال يمكن مراجعتها.

الأطوال نفسها لا تكفي لرباعي غير دائري

خذ مستطيلًا A=(0,0)، B=(10,0)، C=(10,6)، D=(0,6). أضلاعه 10 و 6 و 10 و 6، ومساحته 60. مركز الدائرة O=(5,3)، ومربع نصف القطر 34؛ الرؤوس الأربعة على الدائرة نفسها.

نصف المحيط هنا 16، والفروق 6 و 10 و 6 و 10. حاصل ضربها 3600، وجذرها 60. لذلك تعمل الصيغة في المستطيل، رغم أنه ليس مربعًا؛ تساوي الأضلاع الأربعة ليس شرطًا للصيغة.

الآن استبدل الضلع الرأسي بالمتجه (18/5,24/5)، وطوله 6. تصبح الرؤوس A=(0,0)، B=(10,0)، C=(68/5,24/5)، D=(18/5,24/5). ما زالت أطوال الأضلاع 10 و 6 و 10 و 6، لكن الارتفاع 24/5، فتكون المساحة 10×(24/5)=48.

لإثبات أنه غير دائري، الدائرة التي تمر بـ A و B و D مركزها (5,0) ومربع نصف قطرها 25. مربع المسافة من هذا المركز إلى C يساوي 97، لا 25؛ الرأس الرابع خارج تلك الدائرة. الدائرة المارة بثلاث نقاط غير مستقيمة محددة، فلا توجد دائرة أخرى تجمع الرؤوس الأربع.

لو تجاهلنا الشرط وعوضنا الأطوال فقط، لحصلنا على 60 مرة أخرى بدل 48. الجدول يضع المساحة الفعلية بجوار ناتج التعويض. اختلاف المساحتين مع ثبات الأطوال يكفي لإظهار أن الصيغة ليست قانونًا عامًا لكل رباعي.

افحص صلاحية الأطوال والمقياس قبل التعويض

الضلع الأطول في رباعي غير منعدم يجب أن يكون أقصر من مجموع الثلاثة الأخرى: المسار المكسّر عبرها لا يمكن أن يكون أقصر من الوصلة المستقيمة نفسها. لذلك الأطوال 1 و 2 و 3 و 7 غير صالحة، لأن 7 أكبر من 1+2+3.

لهذه الأطوال، نصف المحيط 13/2، وأحد الفروق −1/2، وحاصل الضرب −693/16. لا تتجاهل الإشارة السالبة أو تأخذ القيمة المطلقة لتصنع مساحة؛ المشكلة في إمكانية تكوين الشكل بالمعطيات.

الأطوال 1 و 2 و 3 و 6 تحقق المساواة 6=1+2+3، فينعدم الشكل عند الاصطفاف. عامل تحت الجذر يساوي صفرًا، لكن ذلك لا يعطي رباعيًا محدبًا ذا مساحة موجبة. كما أن موجب ما تحت الجذر وحده لا يثبت أن رباعيًا مرسومًا بعينه دائري.

عند تكبير مثال 44 بعامل 2، تصبح الأضلاع 28 و 10 و 16 و 10، ونصف المحيط 32. تتضاعف الفروق الأربعة، فيزيد حاصل ضربها 16 مرة، ويزيد جذرها 4 مرات؛ المساحة الجديدة 176. أما المحيط فيتضاعف إلى 64.

إزاحة جميع النقاط بمقدار (1,−2) أو تدويرها بزاوية قائمة تحفظ المساحة 44 وشرط الدائرة. ابدأ بإثبات نوع الرباعي، ثم احسب نصف المحيط الصحيح، واكتب الفروق الأربعة، واحتفظ بالقيمة الدقيقة ووحدة المساحة المربعة.