صيغة شيرمان موريسون: افحص المقام قبل تحديث المعكوس

مصفوفة التحديث والمقام ليسا الشيء نفسه

الأبعاد هناA من الحجمn×n، وu وv من الحجمn×1. يكونvᵀ صفًا1×n، ولذلكuvᵀ مصفوفةn×n، ويكونvᵀA⁻¹u عددًا1×1. صيغة وودبري تعيد هذه الحالة عندk=1. [2]

نكتبA=[[2,1],[0,1]]، ومعكوسهاG=[[1/2,−1/2],[0,1]]. يمكن التحقق منAG=GA=I₂. المتجهانu=(1,2)ᵀ وv=(1,−1)ᵀ غير صفريين.

الجداءuvᵀ=[[1,−1],[2,−2]]؛ عموده الثاني سالب الأول، ورتبته1. جمعه معA يعطيB=[[3,0],[2,−1]]. لم نجمع المتجهين عنصرًا بعنصر معA.

عرّفw=Gu=(−1/2,2)ᵀ، وr=vᵀG=(1/2,−3/2). ثمs=vᵀw=−1/2−2=−5/2، وd=1+s=−3/2. احسب المقام من ترتيب العوامل المكتوب، لا منvᵀu وحده.

يشترط الاختبارd≠0، وليسd>0. [1] لا يلزم تناظرA أو تساويu وv؛ والمصفوفة المختارة غير متناظرة أصلًا.

احسب التصحيح ثم تحقق من المعكوس

بسط التصحيح هوwr=Gu vᵀG. في المثالwr=[[-1/4,3/4],[1,−3]]. قسم علىd=−3/2 فتحصل علىwr/d=[[1/6,−1/2],[−2/3,2]].

نطرح التصحيح منG: C=G−wr/d=[[1/3,0],[2/3,−1]]. العلامة السالبة فيd دخلت الحساب؛ لا نحذفها ولا نستبدل المقام بقيمته المطلقة.

التحقق من اليسار يعطيBC=[[3×(1/3),0],[2×(1/3)−2/3,1]]=I₂. ومن اليمينCB=[[1,0],[2−2,1]]=I₂. إذنC هو المعكوس المطلوب.

لرؤية أثر خطأ المقام، لو استعملنا|d| لنتجC_bad=[[2/3,−1],[−2/3,3]]. عندئذB C_bad=[[2,−3],[2,−5]]، وهي ليست الوحدة.

التحديث من الرتبة الأولى لا يعني تغير خانة واحدة فقط: تصحيح المعكوسwr/d في المثال غير صفري في خاناته الأربع.

برهان الشرطين دون افتراض معكوس جديد

لتكنG=A⁻¹ وw=Gu وr=vᵀG وs=vᵀGu وd=1+s. منB=A+uvᵀ نجدBG=I+ur، وBw=Aw+u(vᵀw)=u+us=du.

إذاd≠0، ضعC=G−wr/d. إذنBC=BG−(Bw)r/d=I+ur−ur=I. ومن الطرف الآخرGB=I+wvᵀ، وrB=vᵀ+svᵀ=dvᵀ؛ فيكونCB=GB−w(rB)/d=I.

أثبتنا المعكوس بالضرب في الاتجاهين، دون تبديل عوامل المصفوفات. الحسابrB صف، وBw عمود؛ أماs وd فعددان يجوز نقلهما داخل حاصل الضرب.

إذاd=0، فإنs=−1، ومنهu≠0 وw=Gu≠0. لكنBw=du=0. لو امتلكتB معكوسًا، لأعطى ضرب المعادلة بهw=0، وهو تناقض. لذا لا تقبلB العكس.

إذا كانu=0 أوv=0، يكون التحديث صفرًا وd=1؛ تبقىB=A. لذلك نقول إن رتبةuvᵀ لا تتجاوز1، وتكون1 عندما يكون المتجهان غير صفريين.

التعديل قد يزيل المعكوس أو يكبر عناصره

أدخل معاملًا حقيقيًاt واكتبBₜ=A+tuvᵀ=[[2+t,1−t],[2t,1−2t]]. نعاملtu كمتجه التحديث، فالمقامdₜ=1+t(vᵀGu)=1−5t/2.

بحساب محدد الحجم الثنائي مباشرة نجدdet(Bₜ)=(2+t)(1−2t)−(1−t)2t=2−5t=2dₜ. لذلك يصفر المحدد عندt=2/5، لا عند كلt موجب أو سالب.

عندt=2/5 تكونBₜ=[[12/5,3/5],[4/5,1/5]]. ضربها في(−1,4)ᵀ يعطي(0,0)ᵀ، مع أن المتجه ليس صفريًا. بقيA قابلًا للعكس، لكن التحديث أزال هذه الخاصية.

أماt=39/100 فيعطيdₜ=1/40 ومحددًا1/20. المعكوس الدقيق هو[[22/5,−61/5],[−78/5,239/5]]؛ العنصر الأخير47.8 بدل1 فيG. تحقق بالضرب فيBₜ بدل استنتاج النتيجة من صغر المقام وحده.

هذا مثال محدد على كبر عناصر المعكوس قرب قيمة مفردة. لا نزعم أن كل مقام صغير يسبب الخطأ نفسه، ولا نعرض تجربة برمجية على حساب عشري.

في الحساب العملي يستعمل المرء عادة تحليل المصفوفة لحل الأنظمة بدل تكوين المعكوس صراحة. [1] هنا ندرس هوية المعكوس ونفحصها بكسور دقيقة؛ لا نقدم ضمان سرعة أو استقرار عددي لتنفيذ معين.