طارة بحد خارجي ثابت: أين أكبر حجم مع بقاء الثقب؟

أكبر حجم لطارة مع بقاء الثقب سؤال يحتاج مجال الأبعاد، لا معادلة الحجم وحدها. [3]

الخلاصة السريعة

لا يوجد حجم أعظم مع ثقب مفتوح؛ نقترب من حد أعلى عند انغلاقه. [3]

طارة حلقية مصمتة مثالية، من دوران قرص نصف قطره a>0 حول محور في مستواه؛ مركزه يبعد R>a. أطوال منتهية بالسنتيمتر. نثبت نصف القطر الخارجي B=R+a>0؛ نصف قطر الثقب R−a>0. [1]
المحور لا يقطع القرص؛ مبرهنة بابوس تعطي V=(πa²)(2πR)=2π²Ra² سم³. المسافة 2πR مسار مركز القرص، لا محيط الأنبوب. مع ثبات B نكتب R=B−a. [2]
الثقب المفتوح يفرض 0<a<B/2. الحجم V(a)=2π²(B−a)a²؛ مشتقته V′=2π²a(2B−3a)>0 فيه. كل قيمة مسموحة يمكن تحسينها بزيادة a قليلًا. [3]
الحد الأعلى الأصغر sup V=π²B³/4؛ نقترب منه عندما a→B/2 من الأسفل. لا يتحقق مع الثقب المفتوح؛ لذلك ليس حجمًا أعظم داخل المجال. [3]
مثال مؤلف B=12cm: R=9,a=3 يعطي 162π²cm³، وR=7,a=5 يعطي 350π²cm³. الحد R=a=6 يعطي 432π²cm³ إذا سمحنا بالطارة المماسة بلا ثقب مفتوح. تحققنا من الحالة الحدية بتكامل الفلكات، لا بتطبيق بابوس عند التماس. [2][4]
حل V′=0 دون المجال يعطي a=2B/3,R=B/3<a، فيخالف الطارة الحلقية. عند B=12، القيمة الجبرية 512π² ليست حجمًا لطارة مقبولة هنا؛ لا نزعم أنها حجم الاتحاد المتداخل. لا تجربة أو تصميم تصنيع. [1]

حدد القرص والثقب والحد الخارجي

طارة حلقية مصمتة مثالية، من دوران قرص نصف قطره a>0 حول محور في مستواه؛ مركزه يبعد R>a. أطوال منتهية بالسنتيمتر. نثبت نصف القطر الخارجي B=R+a>0؛ نصف قطر الثقب R−a>0. [1]

الثابت B أكبر بُعد شعاعي عن المحور؛ الارتفاع 2a يتغير، فلا نثبت جميع الأبعاد الخارجية. [1]

طبق بابوس داخل شروطه

المحور لا يقطع القرص؛ مبرهنة بابوس تعطي V=(πa²)(2πR)=2π²Ra² سم³. المسافة 2πR مسار مركز القرص، لا محيط الأنبوب. مع ثبات B نكتب R=B−a. [2]

عند R=a يلامس المحور القرص؛ نحتاج حسابًا مستقلًا أو نهاية، بدل نقل شرط عدم التقاطع إليه. [2]

احفظ مجال الأبعاد

الثقب المفتوح يفرض 0<a<B/2. الحجم V(a)=2π²(B−a)a²؛ مشتقته V′=2π²a(2B−3a)>0 فيه. كل قيمة مسموحة يمكن تحسينها بزيادة a قليلًا. [3]

الاختيار a_new=(a+B/2)/2 أكبر من a ويبقى دون B/2؛ لذلك لا توجد قيمة قصوى مسموحة. [3]

ميز الحد الأعلى من الحجم الأعظم

الحد الأعلى الأصغر sup V=π²B³/4؛ نقترب منه عندما a→B/2 من الأسفل. لا يتحقق مع الثقب المفتوح؛ لذلك ليس حجمًا أعظم داخل المجال. [3]

لـt=a/B: 1/8−t²(1−t)=(1/2−t)(1/4+t/2−t²)>0. يثبت الفرق حدّنا داخل المجال. [3]

قارن نموذجين وحدًا مماسًا

مثال مؤلف B=12cm: R=9,a=3 يعطي 162π²cm³، وR=7,a=5 يعطي 350π²cm³. الحد R=a=6 يعطي 432π²cm³ إذا سمحنا بالطارة المماسة بلا ثقب مفتوح. تحققنا من الحالة الحدية بتكامل الفلكات، لا بتطبيق بابوس عند التماس. [2][4]

نصفا قطري الثقب في المثالين 6,2 سم؛ وعند الحد صفر. الحجم الهندسي لا يحدد كتلة. [2][4]

زيادة حجم الطارة عبر المجال المفتوح — الطرف المرسوم بدائرة فارغة خارج المجال. [3]

ارفض المرشح خارج المجال

حل V′=0 دون المجال يعطي a=2B/3,R=B/3<a، فيخالف الطارة الحلقية. عند B=12، القيمة الجبرية 512π² ليست حجمًا لطارة مقبولة هنا؛ لا نزعم أنها حجم الاتحاد المتداخل. لا تجربة أو تصميم تصنيع. [1]

النموذج المقيد يستبعد R<a؛ تغيير نوع الجسم يحتاج تعريفًا وحسابًا آخرين. [1]

المراجع

راجع الحجم والمساحة والوحدات

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.