حل المعادلة الديوفانتية: من زوج واحد إلى جميع الحلول

افحص وجود الحل

قاسمa وb الأكبر يقسم كل تركيبax+by بأعداد صحيحة؛ وإذا قسمc يمكن تحصيل حل صحيح. [2]

نختار18x+30y=126. القسمتان30=18+12 و18=12+6، ثم12=2×6، تعطيان القاسم6. وبما أن126=6×21، يمر اختبار الوجود. نقسم المعادلة على6 فتصير3x+5y=21.

بالنظر نجدx=2 وy=3:3×2+5×3=6+15=21. في المعادلة الأصلية:18×2+30×3=36+90=126. هذه نقطة بداية للحل، وليست قائمة كاملة.

أما18x+30y=125 فطرفها الأيسر6(3x+5y)، أي مضاعف6 دائمًا حينx وy صحيحان؛125=6×20+5 فلا يطابقه. الزوج(125/18,0) يحققها كسريًا، لكنه خارج المطلوب.

ولد جميع الأزواج

من حل واحد، نزيدx بمضاعفاتb/d وننقصy بمضاعفاتa/d؛ المعاملt صحيح. [1]

في مثالناb/d=30/6=5، وa/d=18/6=3؛ إذنx=2+5t وy=3−3t. التعويض يعطي18(2+5t)+30(3−3t)=36+90t+90−90t=126.

لـt=−1 نحصل على(−3,6)، ولـt=0 على(2,3)، ولـt=1 على(7,0)، ولـt=2 على(12,−3). كلها حلول صحيحة للمعادلة، وإن كان بعض عناصرها سالبًا.

لإثبات الاكتمال نطرح حل البداية من أي حل؛ المعاملان بعد القسمة علىd أوليان فيما بينهما، فيلزمb/d أن يقسمx−x0، ثم يتحددy−y0. [3]

هنا3(x−2)=−5(y−3). لأن3 و5 لا يشتركان في قاسم أكبر من1، فإنx−2=5t لعدد صحيحt؛ بالتعويض يصبحy−3=−3t. لذلك لا يوجد زوج صحيح للمثال خارج هذه العائلة.

أضف قيود العد

الشرط غير السالب قيد إضافي؛ نطبقه على الحل العام. [1]

لو كانx عدد مجموعات من18 وy عدد مجموعات من30، نحتاجx≥0 وy≥0. من2+5t≥0 نحصل علىt≥−2/5؛ ومن3−3t≥0 نحصل علىt≤1.

لأنt صحيح، يجبt≥0؛ مع الحد الأعلى تبقى0 و1 فقط. الحلول(2,3) و(7,0) تعطيان126؛ الصفر مسموح هنا ويعني عدم استعمال مجموعات30.

إن طلبت المسألة استعمال النوعين، يصبحy>0، أيt<1؛ يبقىt=0 و(2,3). وإذا كانx≤6 أيضًا، فإن2+5t≤6 تعطيt≤4/5، فمع عدم السلبية يبقىt=0.

اختبار القاسم لا يعدنا بأعداد مجموعات غير سالبة. في18x+30y=6، الزوج(2,−1) يحقق36−30=6. لكن مجموعة واحدة من18 أو30 تتجاوز6؛ والمجموعتان الصفريتان تعطيان0، لذلك لا حل غير سالب.

لا تقفز فوق حلول

لو كتبتx=2+30t وy=3−18t، فإن التعويض يظل يعطي126؛ عندt=1 تحصل على(32,−15). لكنها عائلة أضيق: للوصول إلى(7,0) تحتاجt=1/6، وهو غير صحيح.

الخطوة المختزلة(5,−3) تلتقط ذلك الحل المفقود؛ استعمال(30,−18) يعادل أخذ كل سادس قيمة للمعامل الصحيح في العائلة الكاملة.

ولو غيرت الإشارتين إلى زيادتين، أعطىt=1 الزوج(7,6)، ومجموعه18×7+30×6=126+180=306. إلغاء90t مع−90t هو سبب بقاء المجموع126 في الصيغة الصحيحة.

اكتب الزوج بترتيب(x,y)، وحدد إن كان الصفر مسموحًا. الزوج(7,0) يحقق126، بينما تبديل ترتيبه إلى(0,7) يعطي210. ثم طبّق قيود المخزون أو العد على العائلة، بدل قبول كل حل صحيح بوصفه عدد مجموعات مناسبًا.