طرق حل المعادلات: اختيار الخطوات والتحقق من المجال

ابدأ بشكل المعادلة، ثم حدد القيود

إذا كانت المعادلة بسيطة من الدرجة الأولى، تفيد عمليات الجمع والطرح والضرب أو القسمة في عزل المجهول. وإذا ظهرت عوامل مضروبة تساوي صفرًا، نستخدم أن أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. وقد تظهر معادلة تربيعية خلال حل مسألة جذرية أو نسبية؛ فلا يتحدد الأسلوب من أول شكل وحده. ^[1][2]

في المعادلة النسبية نستبعد قيم المجهول التي تجعل أي مقام صفرًا. وفي الجذر التربيعي الحقيقي يجب أن يكون ما تحت الجذر غير سالب. إذا ساوينا جذرًا تربيعيًا بعبارة أخرى، فلا بد أن تكون قيمة تلك العبارة غير سالبة أيضًا. ^[1][2]

المجال هو القيم التي يمكن أن نفحصها أصلًا. أما مجموعة الحل فهي القيم من ذلك المجال التي تحقق المساواة. ليس كل عدد مسموحًا حلًا، وليس كل عدد ناتج عن التحويل مسموحًا.

خطوات قد تضيف حلًا أو تخفيه

إضافة العدد نفسه للطرفين عملية يمكن عكسها بالطرح. والضرب في عدد ثابت غير صفري يمكن عكسه بالقسمة. لكن التربيع لا يميز إشارة العدد؛ فمثلًا 2²=(−2)² مع أن 2≠−2. لذلك قد يضيف التربيع أعدادًا لا تحقق المعادلة السابقة. ^[2]

وفي المعادلات النسبية نحتفظ بقيود المقامات بعد إزالة الكسور. لا يجعل ضرب الطرفين في مقام قيمة كانت ممنوعة في الأصل قيمة مسموحة. ^[1]

كذلك قد نفقد حلًا بالقسمة على عبارة تحتوي على المجهول دون فحصها. في المثال الأصلي x(x−2)=0 نجد الحلين 0 و 2. إذا قسمنا مباشرة على x حذفنا احتمال x=0. الأسلم هنا فحص العاملين بدل افتراض أن المقسوم عليه غير صفري.

مثال نسبي أول: العدد الناتج ممنوع

نحل (x+2)/(x−1)=3/(x−1). القيد الأول x≠1. على هذا المجال يمكن الضرب في x−1، فنحصل على x+2=3، ثم x=1.

لكن 1 ممنوع من البداية، لأنه يجعل المقام صفرًا. لا تعني الكسور عنده عددًا يمكن مساواته بالطرف الآخر. لذلك لا توجد حلول لهذه المعادلة، ومجموعة الحل فارغة.

ويمكن تفسير ذلك بطريقة أخرى: على المجال المسموح يكون الفرق بين الطرفين ((x+2)−3)/(x−1)=(x−1)/(x−1)=1. لا يكون الفرق صفرًا عند أي قيمة مسموحة، وهو تأكيد مستقل لعدم وجود حل.

مثال نسبي ثان: حل صالح مع التحقق

نحل 2/(x−2)=1/(x+1). نستبعد x=2 و x=−1. نضرب في (x−2)(x+1) على المجال المسموح، فنحصل على 2(x+1)=x−2.

بعد التوزيع: 2x+2=x−2، ومنه x=−4. ليست هذه القيمة من القيم الممنوعة. نعوض في الأصل: الطرف الأول 2/(−4−2)=−1/3، والطرف الثاني 1/(−4+1)=−1/3.

إذن مجموعة الحل هي {−4}. التحقق هنا يثبت المساواة داخل المجال، وليس في المعادلة المبسطة فقط.

مثال جذري: لماذا نرفض أحد العددين؟

نحل √(2x+3)=x في الأعداد الحقيقية. من داخل الجذر نحتاج إلى x≥−3/2، ومن كون الجذر التربيعي غير سالب نحتاج أيضًا إلى x≥0. الشرط الأخير يضم الأول في هذه المسألة.

بالتربيع نحصل على 2x+3=x²، ثم x²−2x−3=0. نحلل: (x−3)(x+1)=0، فنجد المرشحين 3 و −1.

عند x=3 يكون √(2×3+3)=√9=3، فيتحقق الأصل. أما عند x=−1 فإن √(2×(−1)+3)=√1=1، وليس −1. إذن −1 حل دخيل أنتجه التربيع، ومجموعة الحل {3}.

يبين الرسم أن منحنى الجذر والخط y=x يتقاطعان عند (3,3) فقط. الرسم توضيح للحساب، ولا يحول التقدير البصري إلى برهان على كل حل في مسألة عامة.

كيف تختار الخطوة التالية؟

إذا طلبت مسألة حلًا دقيقًا، نكتب القيمة أو مجموعة الحل بعد التحقق. وإذا استخدمت طريقة عددية، نميز التقريب من القيمة الدقيقة ونراعي مجال الدالة. ليس هناك تحويل واحد يصلح لكل معادلة؛ اختيار الخطوة يعتمد على البنية والشروط.