فرق قوتين يمكن إثبات قابليته للقسمة دون اختبار كل أس. نبرهن مثالًا، ثم نحول البرهان إلى علاقة تحسب خارج القسمة. [2]
الخلاصة السريعة
أظهر المضاعف الذي يوفره الفرض داخل الحالة التالية. [1]
- لعدد صحيح n≥0، عرّف Dₙ=9ⁿ−2ⁿ. نثبت وجود عدد صحيح qₙ يحقق Dₙ=7qₙ. المقصود القسمة دون باقٍ، لا مجرد إمكان كتابة ناتج كسري. النموذج حسابي بلا وحدات. [2]
- البداية n=0 تعطي D₀=1−1=0=7×0. ثم نأخذ k≥0 صحيحًا اعتباطيًا، ونفترض Dₖ=7q لعدد صحيح q. هذا فرض لبناء الانتقال، وليس افتراضًا مسبقًا أن جميع الحالات صحيحة. [1]
- بإضافة وطرح 9×2ᵏ، نجد Dₖ₊₁=9(9ᵏ−2ᵏ)+7×2ᵏ. المقدار داخل القوس هو Dₖ. هنا تظهر الحالة المفترضة؛ رفع Dₖ كله إلى قوة أخرى لا يعطي فرق القوتين المطلوب. [1]
- نعوض Dₖ=7q، فنحصل على Dₖ₊₁=7(9q+2ᵏ). لأن q و2ᵏ صحيحان، فداخل القوس عدد صحيح. مع البداية، يثبت الاستقراء القسمة على 7 لكل عدد صحيح n≥0. [1]
- ينتج خارج القسمة نفسه من q₀=0 وqₙ₊₁=9qₙ+2ⁿ. عند n=0، 1، 2، 3، 4 نحصل على qₙ=0، 1، 11، 103، 935؛ والفروق 0، 7، 77، 721، 6545. هذه مراجعات، لا بديل عن البرهان العام. [2]
- المجال جزء من النتيجة: عند n=−1 يكون Dₙ=1/9−1/2=−7/18، ولا يكون مضاعفًا صحيحًا للعدد 7. لذلك لا يمتد البرهان تلقائيًا للأسس السالبة أو الكسرية. الصفر أس مسموح في مجالنا المعلن. [2]
حدد معنى القسمة والمجال
لعدد صحيح n≥0، عرّف Dₙ=9ⁿ−2ⁿ. نثبت وجود عدد صحيح qₙ يحقق Dₙ=7qₙ. المقصود القسمة دون باقٍ، لا مجرد إمكان كتابة ناتج كسري. النموذج حسابي بلا وحدات. [2]
ثبت البداية واكتب الفرض
البداية n=0 تعطي D₀=1−1=0=7×0. ثم نأخذ k≥0 صحيحًا اعتباطيًا، ونفترض Dₖ=7q لعدد صحيح q. هذا فرض لبناء الانتقال، وليس افتراضًا مسبقًا أن جميع الحالات صحيحة. [1]
أعد كتابة فرق القوتين
بإضافة وطرح 9×2ᵏ، نجد Dₖ₊₁=9(9ᵏ−2ᵏ)+7×2ᵏ. المقدار داخل القوس هو Dₖ. هنا تظهر الحالة المفترضة؛ رفع Dₖ كله إلى قوة أخرى لا يعطي فرق القوتين المطلوب. [1]
استعمل الفرض لإظهار المضاعف
نعوض Dₖ=7q، فنحصل على Dₖ₊₁=7(9q+2ᵏ). لأن q و2ᵏ صحيحان، فداخل القوس عدد صحيح. مع البداية، يثبت الاستقراء القسمة على 7 لكل عدد صحيح n≥0. [1]
احسب خارج القسمة تكراريًا
ينتج خارج القسمة نفسه من q₀=0 وqₙ₊₁=9qₙ+2ⁿ. عند n=0، 1، 2، 3، 4 نحصل على qₙ=0، 1، 11، 103، 935؛ والفروق 0، 7، 77، 721، 6545. هذه مراجعات، لا بديل عن البرهان العام. [2]
احتفظ بحدود الأس
المجال جزء من النتيجة: عند n=−1 يكون Dₙ=1/9−1/2=−7/18، ولا يكون مضاعفًا صحيحًا للعدد 7. لذلك لا يمتد البرهان تلقائيًا للأسس السالبة أو الكسرية. الصفر أس مسموح في مجالنا المعلن. [2]
المراجع
بداية الاستقراء وخطوة الانتقال
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.