قانون التباين في جدول تكراري: عدد القيم ليس عدد الصفوف

اقرأ التكرار قبل إدخال الأعداد

قانون التباين للبيانات المتكررة يبدأ بسؤال عن معنى الجدول: هل كل صف قيمة واحدة تظهر مرات معلومة، أم فترة تضم قيمًا لا نعرفها؟ سنؤلف ثماني ملاحظات عددية، ونختصرها في ثلاثة صفوف، ثم نراجع الحساب بطريقتين. نحتاج هذا الاختصار لتسهيل الجمع، لكن لا نريد أن يحذف من الحساب الملاحظات التي أخفاها الرسم. سنفصل عدد الصفوف عن مجموع التكرارات، ونحدد المقام قبل القسمة، ونبين كيف يختلف جدول القيم الدقيقة عن جدول الفترات. الأرقام والرسمان تعليميان من تأليفنا، وليسا نتيجة مسح أو تجربة قياس، ولا يثبت الحساب أن عينة افتراضية تمثل مجتمعًا حقيقيًا.

التكرار هو عدد مرات ظهور القيمة؛ جمع التكرارات يعيد عدد المشاهدات في القائمة الأصلية. [1]

نكتب جدولًا من ثلاث قيم: اثنان وتكرارها واحد، وستة وتكرارها خمسة، وعشرة وتكرارها اثنان. إذا وسعناه نجد اثنين، ثم خمس ستات، ثم عشرتين. لم نكتشف مشاهدات جديدة بالكتابة؛ أظهرنا ما كان مختصرًا في عمود التكرار. قبل أي عملية حسابية، ضع اسمًا لعمود القيمة واسمًا لعمود العدد، حتى لا تتعامل مع كليهما بوصفهما قياسات للمتغير نفسه.

نفترض أن القيم مقاسة بوحدة عددية واحدة سنسميها وحدة في التمرين. التكرار يعد ظهورها ولا يضيف وحدة قياس جديدة. ولو استبدلنا الأعداد بكلمات تصنف ألوانًا، فلن نطبق عليها هذا التباين العددي بوضع رموز اعتباطية ثم معاملتها كمسافات. المقصود هنا ملاحظات كمية تصلح فيها عمليات الجمع والطرح والتربيع؛ يبقى معنى المتغير سابقًا لكل اختيار لصيغة حساب.

ثماني ملاحظات في ثلاثة صفوف

اجمع التكرارات أولًا فتحصل على ثمانية. هذه هي كمية الملاحظات التي يحملها الجدول، بينما ثلاثة عدد الصفوف التي اختصرنا بها الكتابة. يمكن إظهار القائمة في ثمانية أسطر، أو ضغطها في ثلاثة، ولا تتغير البيانات من تغيير طريقة العرض. إذا وجدت الحل يقسم على ثلاثة لأنه يرى ثلاثة أعداد مختلفة، فاسأله أي قائمة يحسب: القائمة الأصلية المتكررة أم قائمة القيم المتميزة مرة واحدة؟

ولتأكيد الفصل، قسم صف الستة إلى صفين، أحدهما بتكرار اثنين والآخر بتكرار ثلاثة. صار عدد الصفوف أربعة، لكن عدد الستات ما زال خمسة وعدد الملاحظات ثمانية. من غير المعقول أن يتغير وصف انتشار القائمة لمجرد أننا أعطينا القيمة نفسها سطرين في الجدول. هذا مثال عملي لكشف خطأ المقام من دون حفظ قانون جديد: جرب تغيير التنسيق مع الاحتفاظ بالقائمة.

أما إذا جعلت تكرار الستة ستة بدل خمسة، فقد غيرت القائمة فعلًا وأضفت ملاحظة. لا نساوي هذا التعديل بتقسيم الصف، لأن مجموع التكرارات نفسه اختلف. ضع في ورقة العمل خانة مستقلة للعدد الكلي، وأعد جمعها بعد كل تعديل على الأعداد. هذه الخانة تمنع انتقال مقام قديم إلى مثال جديد عند نسخ جدول سابق وملء خلاياه.

المتوسط يحمل وزن مرات الظهور

المتوسط في جدول تكراري يساوي مجموع حاصل ضرب القيمة في تكرارها مقسومًا على مجموع التكرارات. [2]

في جدولنا يساهم الصف الأول باثنين، وصف الستة بثلاثين، وصف العشرة بعشرين. مجموع هذه المساهمات اثنان وخمسون؛ قسمته على ثمانية يعطي ستة ونصف. هذه النتيجة تتطابق مع جمع القائمة الموسعة حرفيًا، لأن كل ستة أضيفت خمس مرات وكل عشرة مرتين. اخترنا أرقامًا لا تجعل المتوسط التكراري مساويًا لمتوسط الصفوف، حتى يظهر أثر تجاهل التكرار بوضوح.

ولو جمعت اثنين وستة وعشرة فقط وقسمت على ثلاثة، لحصلت على ستة. الحساب صحيح لتلك الأعداد الثلاثة مرة واحدة، لكنه لا يجيب عن جدولنا. لذلك لا نكتفي بقول إن رقمًا خطأ؛ نحدد البيانات التي حسبها صاحبه. تصحيح السؤال والقائمة أهم من تبديل رقم في النهاية، لأن متوسطًا غير مناسب سينتقل إلى جميع الانحرافات ومربعاتها في الأعمدة التالية.

n = 1 + 5 + 2 = 8; mean = (1×2 + 5×6 + 2×10)/8 = 6.5

من الانحراف إلى مساهمة الصف

الانحراف هو القيمة ناقص المتوسط؛ وفي الجدول المتكرر نجمع التكرار مضروبًا في مربع هذا الفرق. [1]

انحراف الاثنين عن ستة ونصف سالب أربعة ونصف، ومربعه عشرون وربع. انحراف الستة سالب نصف، ومربعه ربع. انحراف العشرة ثلاثة ونصف، ومربعه اثنا عشر وربع. نضرب هذه المربعات في واحد وخمسة واثنين على الترتيب، فنحصل على عشرين وربع، وواحد وربع، وأربعة وعشرين ونصف. مجموع العمود الأخير ستة وأربعون، وهو البسط الذي نحتفظ به قبل تحديد المقام.

يوضح الرسم الرئيسي لماذا لا يكفي النظر إلى مسافة كل قيمة مرة واحدة. الستة قريبة من المتوسط، لكن هناك خمس مشاهدات تحمل هذا الفرق؛ والعشرة تظهر مرتين. نقارن مساهمة الصف كله بالمساهمة الفردية بعد التربيع. لا يفسر طول عمود المساهمة عدد مرات الظهور وحده ولا المسافة وحدها، بل نتيجة ضربهما بالطريقة التي حسبناها في المثال.

حدد المقام من السؤال عن المجتمع

المجتمع مجموعة الوحدات التي ندرسها، والعينة جزء نختاره منها. صغر القائمة وحده لا يجعلها عينة، وكبرها وحده لا يجعلها المجتمع كله. [3]

إذا نص السؤال على أن هذه الثماني هي جميع الملاحظات في المجتمع التعليمي المحدد، فقسم ستة وأربعين على ثمانية. النتيجة خمسة وثلاثة أرباع. وإذا نص على أنها عينة ونطلب تباينها المعتاد بمقام العدد ناقص واحد، فقسم البسط على سبعة؛ الناتج الكسر ستة وأربعون على سبعة، ويقارب ستة وسبعة وخمسين جزءًا من مئة. لا نغير القيم أو المتوسط عند هذا الانتقال، بل نسمي الكمية المطلوبة ومقامها.

النتيجتان تصفان حسابين معلومين، وليستا خلافًا على جمع العمود الأخير. إذا لم يحدد السؤال العلاقة بالمجتمع، فاكتب أن اختيار المقام يحتاج توضيحًا، أو اعرض النتيجتين مع اسميهما. لا تختر الأكبر لأنه يبدو أكثر أمانًا، ولا تختَر الأصغر لأنه يشبه جواب زميل. معنى القائمة والغرض من وصفها هما ما يحددان الصيغة التي ستذكرها في الإجابة.

Population: 46/8 = 5.75; usual sample: 46/(8−1) = 46/7 ≈ 6.57

المسافة المربعة ليست متوسط المسافة

التباين يعطي وزنًا أكبر للمسافات الكبيرة بتربيعها، ووحدته مربع وحدة البيانات. الانحراف المعياري جذر التباين ويعيد وحدة القياس الأصلية. [4]

في مثالنا مربع مسافة الاثنين كبير نسبيًا، مع أن تكرارها واحد، بينما خمس ستات لا تنتج إلا واحدًا وربعًا في عمود المساهمات. هذه ملاحظة من جدول مؤلف، وليست حكمًا على صلاحية مقياس لكل بيانات أخرى. إذا كانت الوحدة سنتيمترًا في مسألة مشابهة، فاكتب التباين بالسنتيمتر المربع؛ لا تعرضه بوصفه مسافة معتادة بالسنتيمتر أو عددًا من الأشخاص.

يمكن إبقاء الكسر الدقيق لتباين العينة حتى آخر خطوة، ثم أخذ جذره إن طلب السؤال الانحراف المعياري. لا نأخذ جذر البسط وحده ونترك المقام كما كان، ولا نجمع جذور المساهمات لنصنع جوابًا جديدًا. موضوع هذا الدرس حساب التباين من التكرارات، ولذلك نكتب الناتج الأساسي باسمه ووحدته ولا نستبدله بجذر غير مطلوب لمجرد تشابه المصطلحين.

ثلاثة أخطاء تكشفها الأعمدة

الخطأ الأول أن نجمع الانحرافات بدل مربعاتها. عند استعمال المتوسط ستة ونصف، مساهمات الانحراف الموزونة هي سالب أربعة ونصف، وسالب اثنين ونصف، وسبعة؛ مجموعها صفر. هذا الصفر لا يعني أن قيمنا كلها متساوية؛ يعني أن إشارات الفروق ألغت بعضها في الجمع. عمود المربعات يحتفظ بالمقادير التي نراجعها للانتشار بدل هذه المحصلة ذات الإشارات المتعاكسة.

الخطأ الثاني أن نضرب الانحراف في التكرار ثم نربع حاصل الضرب. في صف الستة مثلًا يعطي ذلك مربع سالب اثنين ونصف، أي ستة وربع، بدل خمس مرات ربع التي تساوي واحدًا وربعًا. وفي صف العشرة يعطي مربع سبعة، أي تسعة وأربعين، بدل أربعة وعشرين ونصف. يختفي معنى تكرار مساهمة مشاهدة واحدة عندما نربع العدد الذي يمثل مرات الظهور معها.

الخطأ الثالث أن نستعمل المتوسط ستة، المستخرج من الصفوف بلا تكرار، ثم نحسب حوله مساهمات القائمة الثمانية. سنحصل على ستة عشر، وصفر، واثنين وثلاثين؛ مجموعها ثمانية وأربعون، وقسمتها على ثمانية يعطي ستة. هذا حساب حول مركز آخر، وليس تباين جدولنا حول متوسطه. يكشف فحص مجموع الانحرافات الموزونة المشكلة أيضًا: حول ستة يبقى المجموع أربعة ولا يساوي صفرًا.

راجع الحساب بتوسيع القائمة

اكتب الملاحظات الثماني على ورقة ثانية: اثنان، وستة، وستة، وستة، وستة، وستة، وعشرة، وعشرة. اطرح ستة ونصف من كل واحدة ثم ربّع الفرق واجمع. ستجد عشرين وربعًا، وخمسة أرباع منفصلة، واثنين من اثني عشر وربعًا. صار العمود أطول، لكن البسط ما زال ستة وأربعين؛ لم يختصر الجدول عمليات مختلفة، بل جمع المساهمات المتطابقة تحت تكرارها.

هذه المراجعة مفيدة حين يكون الجدول صغيرًا ويبدو أحد الصفوف غير منطقي. لا يلزم توسيع قائمة ضخمة فعليًا حتى تثق بالقانون، لكن المثال المحدود يسمح برؤية ما يفعله كل ضرب. قارِن مجموع القيم والعدد والبسط بين النسختين قبل مقارنة الناتج الأخير. إذا اتفقت هذه الكميات واختلفت القسمة، فالمشكلة في اختيار المقام أو إدخاله، لا في اختصار القائمة.

ولفحص حسابي آخر، مجموع مربعات القيم مع تكراراتها يساوي ثلاثمئة وأربعة وثمانين. قسمته على ثمانية تعطي ثمانية وأربعين، وطرح مربع ستة ونصف، وهو اثنان وأربعون وربع، يعيد خمسة وثلاثة أرباع. هذه هوية طبقناها على الأعداد المختارة، وليست سببًا لتقريب المتوسط مبكرًا؛ اتفقت الكسور هنا لأننا احتفظنا بالقيم الدقيقة إلى نهاية العمليات.

Σfx² = 384; 384/8 − 6.5² = 48 − 42.25 = 5.75

مراكز الفئات تصنع قائمة تمثيلية

عندما تعطى البيانات في فترات، يمكن استعمال مركز كل فترة مع تكرارها لتقدير الحساب؛ المركز لا يكشف القيم الفردية داخلها. [2]

لنبدل عرض مثالنا بثلاث فترات: من صفر إلى أقل من أربعة، ومن أربعة إلى أقل من ثمانية، ومن ثمانية إلى أقل من اثني عشر. تكراراتها واحد وخمسة واثنان. مراكزها اثنان وستة وعشرة، لذلك تعيد طريقة المركز الجدول الذي حسبناه. لكن هذه المصادفة في اختيارنا لا تعني أن كل مشاهدة أصلية كانت في مركز فترتها؛ الجدول الجديد لا يخبرنا أين وقعت داخل الحدود.

نؤلف قائمة بديلة تحمل التكرارات نفسها: واحد، وخمسة، وخمسة، وخمسة، وسبعة، وسبعة، وتسعة، وأحد عشر. فيها ملاحظة في الفترة الأولى وخمس في الثانية واثنتان في الثالثة، لكن متوسطها ستة وربع وتباينها بمقام ثمانية سبعة وخمسة عشر جزءًا من ستة عشر. الرسم الداخلي يقارن القائمتين؛ اتفقت عضوية الفترات واختلفت القيم الداخلية، فلا نسمّي تباين المراكز نتيجة دقيقة للقائمة البديلة.

الفترة والحدود والملاحظة الناقصة

كتبنا الحدود بكلمة أقل من حتى لا تدخل القيمة أربعة مثلًا في فترتين معًا. في جدول آخر قد تختار اصطلاحًا مختلفًا لإدراج الطرف، لكن يجب أن يكون معلومًا وغير متداخل للملاحظات التي تعدها. الرقم الذي يقع على الحد يحتاج خانة واحدة بحسب الاصطلاح المعلن، لا قرارًا يتغير من صف إلى آخر كي يلائم العدد المتوقع. اختبر الحدود قبل حساب المراكز أو التكرارات.

وإذا أضفت صفًا للقيمة مئة بتكرار صفر إلى جدول القيم الدقيقة، فلا تكتب مئة مرة في القائمة الموسعة. يظل العدد ثمانية والمتوسط ستة ونصف والبسط ستة وأربعين. صف الصفر يصف قيمة لم تظهر، وليس مشاهدة إضافية ذات مساهمة كبيرة. كذلك لا تعوّض ملاحظة ناقصة بصفر من تلقاء نفسك؛ الصفر قيمة عددية مختلفة عن خانة لم تعرف قيمتها أصلًا.

في بيانات فعلية، راجع أن التكرارات أعداد صحيحة غير سالبة إذا كانت تعد مرات الظهور العادية. أوزان الأهمية أو الأوزان المصممة لغرض آخر تحتاج تعريفًا وصيغة يناسبان معناها، ولا ننقل إليها تلقائيًا درس العد الذي طبقناه هنا. نفصل بين عدد مشاهدات معلوم ووزن اختير في تحليل، حتى لو كان مجموع الأرقام في عموديهما متساويًا ظاهريًا.

تكرار القائمة لا يضيف معرفة تلقائيًا

لتمرين حسابي، ضاعف جميع تكرارات جدولنا: يصبح لدينا ست عشرة ملاحظة مكتوبة، وتظل النسب بين قيمها كما كانت. المتوسط ما زال ستة ونصف، والبسط صار اثنين وتسعين. إذا وصفنا القائمة الجديدة بمقام عددها، فاثنان وتسعون مقسومة على ستة عشر تعيد خمسة وثلاثة أرباع. هذه نتيجة من تكرار القائمة كاملة بالتناسب، لا من زيادة تكرار قيمة واحدة فقط.

أما بمقام العينة المعتاد فسيكون المقام خمسة عشر، ويصبح الناتج اثنين وتسعين على خمسة عشر، بدل ستة وأربعين على سبعة. تغير هذا الناتج لا ينقض اتفاق التباين ذي مقام العدد؛ المقامان يتغيران بطريقة مختلفة. لهذا نحتفظ بوصف كل عملية عند مقارنة ملفات البيانات، ولا نكتفي بجملة أن التكرار لا يغير التباين من دون تحديد طريقة القسمة المقصودة.

إن نسخ الملاحظات نفسها في ملف حقيقي ليس دليلًا على جمع قياسات مستقلة إضافية. المثال السابق يراجع قانونًا على قائمتين مؤلفتين، ولا يمنح النسخ قوة استدلالية جديدة أو يمثل إجراء مسح. قبل تفسير تباين العينة على أنه تقدير لمجتمع، تحتاج أن تعرف كيف جاءت المشاهدات وما الذي يمثله تكرارها. الحساب يبين الناتج وفق المدخلات، لكنه لا يصلح خطأ تسجيل يجعل النسخة حالة جديدة.

اكتب نتيجة يمكن مراجعتها

تباين العينة المعتاد يحتاج أكثر من مشاهدة؛ عند مشاهدة واحدة يصبح مقام العدد ناقص واحد صفرًا. ويمكن أن يساوي التباين صفرًا عندما تتساوى القيم في قائمة صالحة للحساب. [1]

في جواب مثالنا، اكتب أن الجدول للقيم الدقيقة، وعدد مشاهداته ثمانية، ومتوسطه ستة ونصف، ومجموع مربعات الانحرافات مع التكرارات ستة وأربعون. ثم اذكر مقام ثمانية ونتيجة خمسة وثلاثة أرباع إذا كان المطلوب وصف المجتمع المحدد. وإن طلب تباين العينة المعتاد، فاكتب المقام سبعة والكسر الدقيق مع التقريب الذي اخترته. هذه المعلومات تتيح للقارئ تحديد موضع أي اختلاف في الحل.

وللمراجعة الذاتية، ابدأ من جدول جديد صغير واكتب قائمته الموسعة، ثم قارن العدد والمتوسط والبسط بين العرضين. أعد تقسيم أحد الصفوف للقيمة نفسها لترى ثبات النتيجة، وبعدها غير تكرارًا واحدًا لترى أن البيانات تغيرت. وأخيرًا استبدل القيم بفترات معلنة واسأل أي تفاصيل فقدتها. بهذه الخطوات يصبح قانون التباين مرتبطًا بما عده الجدول فعلًا، وتبقى حدود الدقة والتمثيل واضحة في النتيجة المكتوبة.