قطاع دائري بمحيط ثابت: أي زاوية تعطي أكبر مساحة؟

قطاع دائري بمحيط ثابت: زاويته المثلى راديانان. [1][2]

الخلاصة السريعة

الزاوية المثلى 2 راديان؛ المحيط يشمل القوس ونصفي القطر. [1]

• قطاع مستوٍ بنصف قطر r>0 وزاوية 0<θ<2π بالراديان؛ نثبت المحيط الكامل P>0 شاملًا القوس ونصفي القطر. الدائرة الكاملة مستبعدة، لأن حدها لا يتضمن نصفي قطر منفصلين. [1]
• طول القوس L=rθ، والمساحة A=rL/2. المحيط P=L+2r يعطي L=P−2r؛ زيادة r تقلل L عند ثبات P. cm سنتيمتر، وcm² سنتيمتر مربع. [1]
• بالتعويض A=Pr/2−r²؛ إكمال المربع يعطي A=P²/16−(r−P/4)². المربع غير سالب، لذلك A≤P²/16؛ البرهان لكل القطاعات المسموحة، لا للأمثلة وحدها. [2]
• المساواة فقط عند r=P/4. حينها L=P/2 وθ=L/r=2 راديان، ضمن 0<θ<2π. الحد الأعلى متحقق فعليًا؛ الزاوية المثلى لا تتغير بتغيير P. [1][2]
• للمحيط 28cm، الحالات (r,θ,L,A): (10,4/5,8,40)، (7,2,14,49)، (4,5,20,40). الأطوال بالسم، الزوايا بالراديان والمساحات بالسم². القطاع ذو الزاوية 5 أكبر من نصف دائرة؛ لا نستبدل زاويته بالأصغر. [1]
• في المثال A=49−(r−7)²، عندما r بالسم وA بالسم². القيمتان r=10 وr=4 تعطيان 40cm²، أقل بـ9cm² من القيمة القصوى 49cm² عند r=7. ثبات المحيط لا يفرض ثبات المساحة. [2]

المراجع

1. القوس ومساحة القطاع
2. القيمة القصوى للتربيعية

مساحة القطاع

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.