قطع شتاينر الناقص: التماس عند منتصفات أضلاع المثلث

الخلاصة السريعة

قطع شتاينر الناقص الداخلي يمس أضلاع المثلث عند منتصف كل ضلع، ومركزه مركز ثقل المثلث. [1] ندرس هنا مثلثًا غير منعدم المساحة، ونراجع التماس بمعادلات الخطوط.

• في مثالنا G=(0,3)، والمنتصفات D=(0,0)، E=(3,9/2)، F=(−3,9/2). كلمة «مركز» لا تعني نقطة على الحد؛ G داخل القطع الناقص، بينما D و E و F نقاط تماس.
• معادلة المثال x²/12+(y−3)²/9=1؛ نصفا المحورين 2√3 أفقيًا و 3 رأسيًا. التعويض في المنتصفات يعطي 1. المقامات مربعا النصفين، وليست أطوال المحورين الكاملين.
• على AB يصبح شرط التقاطع x²/12=0، وعلى BC يصبح (x−3)²/3=0، وعلى CA يصبح (x+3)²/3=0؛ لكل ضلع نقطة مشتركة واحدة. كما أن المنطقة المحاطة تقع داخل المثلث، وهو شرط نتحقق منه منفصلًا.
• الدائرة x²+(y−13/4)²=169/16 تمر بـ D و E و F، لكن على BC تعطي جذرين مختلفين: x=3 و x=30/13. نقطة التقاطع الأخرى (30/13,72/13) تبين أنها تقطع الساق بدل التماس عند E.
• المساحتان 54 و 6π√3 بوحدة مربعة؛ النسبةπ/(3√3)≈0.6046. للقطع الداخلي أكبر مساحة بين القطوع الناقصة المحاطة بالمثلث. [1] هذا الحكم العام مرجعي؛ لا نقدم برهانه.
• التكبير بعامل 2 يعطي x²/48+(y−6)²/36=1، ويضاعف كل نصف محور ويجعل المساحات أربعة أمثالها. في مثلثنا لا تصلح دائرة مركزها G ونصفها 3 بدل القطع الناقص؛ بعدها عن الساق 12/√13 أكبر من 3. نستبعد الرؤوس المستقيمة.

حدد المثلث والمنتصفات والمركز

يرتبط قطع شتاينر الناقص الداخلي بالمثلث نفسه: مركزه مركز الثقل، ويمس أضلاعه عند المنتصفات. [1] نحسب المركز ونقاط التماس من الرؤوس.

نأخذ A=(−6,0)، B=(6,0)، C=(0,9). طول القاعدة 12 وارتفاعها 9، فالمساحة 54. ومربعا الساقين AC و BC يساويان 117؛ المثلث متساوي الساقين، لكنه ليس متساوي الأضلاع لأن مربع القاعدة 144.

بأخذ متوسط إحداثيات الرؤوس نجد G=(A+B+C)/3=(0,3). وبأخذ متوسط إحداثيات طرفي كل ضلع نجد D=(0,0) على AB، و E=(3,9/2) على BC، و F=(−3,9/2) على CA. كل نقطة على منتصف القطعة نفسها، لا امتدادها.

المركز G يقع داخل المنطقة المحاطة بالقطع الناقص. أما D و E و F فتقع على الحد وفي الوقت نفسه على أضلاع المثلث. هذه أدوار مختلفة حتى لو عرضها الرسم بلونين فقط؛ لا نستبدل المركز بإحدى نقاط التماس.

استخرج نصفَي المحورين وافحص المنتصفات

للمثال المتناظر حول المحور الرأسي، نبحث عن قطع ناقص مركزه G ومحوراه أفقي ورأسي. نكتب معادلته x²/u+(y−3)²/v=1 مع u و v موجبين. الرقمان u و v مربعا نصفي المحورين؛ سنجدهما من النقاط.

عند D=(0,0)، تصبح 9/v=1، فنجد v=9. وعند E=(3,9/2)، تصبح 9/u+1/4=1، فـ u=12. تعويض F يعطي النتيجة نفسها. إذن المعادلة x²/12+(y−3)²/9=1، ونصفا المحورين√12=2√3 و√9=3.

المحور الأفقي أكبر لأن 12 أكبر من 9، حتى لو بدا الشكل شبه دائري في صورة صغيرة. طولاهما الكاملان 4√3 و 6. أما إحداثيا المركز فهما 0 و 3، من طرح y−3؛ لا تجعل المقام 9 ارتفاع المركز أو طول المحور.

القيم عند D و E و F هي 1 و 1 و 1. وعند G تكون 0؛ هذه النقطة داخل القطع الناقص وليست عليه. فحص النقاط الثلاث يثبت مرور المعادلة بها، لكنه وحده لا يثبت أن الأضلاع مماسات. لهذا نحل معادلات التقاطع في القسم التالي.

حل التقاطع ثم تحقق من الاحتواء

القاعدة AB على y=0. تعويضها في المعادلة يعطي x²/12+1=1، أي x²/12=0؛ الحل الوحيد x=0، وهو D. وللساق BC المعادلة 3x+2y=18، أي y=9−3x/2.

بعد تعويض خط BC، يصبح الطرف الأيسر ناقص 1 مساويًا (x−3)²/3. إذن x=3 جذر مضاعف، وعنده y=9/2؛ النقطة E هي التقاطع الوحيد. على الساق CA نضع y=9+3x/2، فنحصل على (x+3)²/3=0 والنقطة F.

يمكن فحص اتجاه المماس أيضًا. عند E متجه العمودي على مستوى المعادلة هو (1/2,1/3)، وهو سدس (3,2)، عمودي خط BC. وعند F يكون (−1/2,1/3)، وعند D يكون (0,−2/3). لا نستنتج التعامد من تقارب الخط والمنحنى في الصورة.

للاحتواء، نكتب x=2√3p و y=3+3q، حيث p²+q²≤1 للمنطقة المحاطة. عندئذ y≥0. كذلك 3x+2y=6+6(√3p+q)≤18، لأن (√3p+q)²≤4(p²+q²)≤4. وباستبدال p بسالبه نحصل على −3x+2y≤18؛ فكل المنطقة داخل المثلث.

دائرة المنتصفات تمر بها لكنها تقطع الساقين

لنحسب الدائرة المارة بـ D و E و F. تناظر E و F يجعل مركزها K=(0,k). ولأنها تمر بـ D يكون مربع نصفها k². تعويض E يعطي 9+(9/2−k)²=k²، ومنه k=13/4، ونصف القطر 13/4.

إذن معادلتها x²+(y−13/4)²=169/16. عند D و E و F نحصل على 169/16 بالفعل. هذه دائرة محددة بثلاث نقاط غير مستقيمة، لكنها ليست القطع الناقص الذي حسبناه؛ مركزها K مختلف عن G.

على BC ذي المعادلة y=9−3x/2، يصبح باقي معادلة الدائرة (13x²−69x+90)/4، أي (x−3)(13x−30)/4. الجذران 3 و 30/13 مختلفان. بعد التعويض في الخط تكون نقطة التقاطع الثانية (30/13,72/13)، وتقع على الساق نفسها لأن إحداثيها الأفقي بين 0 و 6.

عند E اتجاه نصف قطر الدائرة هو (3,5/4)، واتجاه BC هو (−6,9). حاصل الضرب −18+45/4=−27/4 غير صفر؛ نصف القطر ليس عموديًا على الساق. يظهر الرسم الداخلي الدائرة والقطع الناقص معًا، لكن الجذرين وفحص الاتجاه هما دليل فشل التماس.

احسب المساحة وميز النتيجة العامة عن المثال

مساحة المثال 6π√3، ومساحة المثلث 54. النسبة 6π√3/54=π/(3√3)، وتوافق الصيغة المرجعية لقطع شتاينر الناقص. [1]

النسبة تقريبًا 0.6045998، أي نحو 60.46% من مساحة المثلث. هذه مقارنة مساحات بوحدة مربعة؛ لا تعني أن نصف المحور 60.46% من طول ضلع. ولو كانت وحدة الإحداثيات سنتيمترًا، لكانت المساحتان بالسنتيمتر المربع.

يقرر المرجع أن مساحة قطع شتاينر الناقص هي الكبرى بين القطوع الناقصة المحاطة بالمثلث. [1] التعويض في مثال واحد لا يثبت هذا الحكم العام.

ولا تدخل دائرة المنتصفات في تلك المقارنة: فهي تقطع الساقين وليست محاطة بالمثلث. وجود ثلاث نقاط مشتركة مع حد المثلث لا يجعل كل المنطقة داخله. افحص الاحتواء قبل مقارنة شكل مرشح بالقطع الداخلي ذي المساحة الكبرى.

راجع الدائرة البديلة والتكبير وحدود النموذج

قد نحاول رسم دائرة مركزها G ونصفها 3، لأنها تمس القاعدة عند D. لكن بعدها العمودي عن BC يساوي|6−18|/√13=12/√13، ومربعه 144/13 أكبر من 9. إذن الدائرة لا تصل إلى الساق؛ نصف المحور الرأسي لا يصبح نصف قطر يصلح لكل الاتجاهات.

عند التكبير بعامل 2 تصبح الرؤوس A=(−12,0)، B=(12,0)، C=(0,18)، والمركز G=(0,6). نصفا المحورين 4√3 و 6، ومعادلة القطع x²/48+(y−6)²/36=1. تتضاعف نقاط التماس أيضًا، فتكون D=(0,0)، E=(6,9)، F=(−6,9).

تصبح مساحة المثلث 216 ومساحة القطع 24π√3، أربعة أمثال المساحتين الأصليتين. النسبة لا تتغير. أما المقامات 48 و 36 فهي أربعة أمثال 12 و 9، لأننا نربع نصفَي المحورين بعد تضاعفهما.

نستبعد ثلاثة رؤوس مستقيمة لأنها لا تحيط بمثلث ذي مساحة موجبة في هذا الحساب. للمراجعة، ثبت الرؤوس والمنتصفات والمركز، ثم افحص المعادلة والتماس والاحتواء قبل حساب المساحة. النتيجة العامة في أكبر مساحة مرجعية؛ الفحوص الإحداثية هنا تثبت مثالنا المحدد.