إذا كانت كثافة منطقة خمسمئة نسمة لكل كيلومتر مربع وكثافة أخرى مئة، هل تكون كثافة مجموعهما ثلاثمئة؟ لا نعرف الجواب من الكثافتين وحدهما من دون المساحتين وشروط جمع المنطقتين. نبني أعدادًا افتراضية، ثم نحسب كثافة الإقليم من مجموع السكان ومجموع مساحة اليابسة ونقارنها بمتوسطين آخرين.
الخلاصة السريعة
لمنطقتين غير متداخلتين بتعريف مساحة وفترة متوافقين، اقسم مجموع السكان على مجموع مساحة اليابسة؛ المتوسط الحسابي للكثافتين لا يعطي النتيجة نفسها عمومًا عندما تختلف المساحتان.
- مؤشر البنك الدولي يستخدم سكان منتصف العام ومساحة اليابسة مع استبعاد المياه الداخلية؛ الوحدة نسمة/كم². أرقامنا تعليمية لا بيانات للمؤشر. [1]
- في A:1000 نسمة و 2 كم² والكثافة 500؛ وفي B:800 نسمة و 8 كم² والكثافة 100. كثافة المجموع 1800/10=180، ووزنا المساحة 0.2 و 0.8 يعطيان 180، لا المتوسط الحسابي 300.
- حالة أخرى بمساحتي 5 و 5 وسكان 2500 و 500 تحافظ على كثافتي 500 و 100، وتعطي 3000/10=300. وحالة 3 و 5 وسكان 1500 و 500 تعطي 250؛ الكثافتان وحدهما لا تحددان كثافة المجموع.
- وزن السكان في الحالة الأولى يعطي 2900/9≈322.22 لقيم مناطق كررناها حسب الأشخاص، وهي كمية أخرى لا كثافة المساحة المجمعة. حدد الأوزان والسؤال، ولا تجعل وجود كلمة موزون كافيًا.
- إذا أضفنا تداخلًا مؤلفًا 1 كم² و 100 نسمة، يصبح الاتحاد 9 كم² و 1700 نسمة وكثافته 1700/9≈188.89. ومع 1800 نسمة ويابسة 10 وماء 2، يعطي مقام اليابسة 180 ومقام المساحة الأخرى 150؛ لا تخلط الحالات أو التعريفات.
- ثبت التاريخ والحدود والوحدات وتعريف المساحة. مساحة صفر لا تقبل قسمة الكثافة، وسكان صفر على مساحة موجبة يعطون صفرًا. غياب معطى ليس قيمة صفر ولا دليلًا على توزيع متساوٍ.
- عرض الأعمدة يرمز للمساحة وارتفاعها للكثافة، لا شكل أحياء أو مواقع أشخاص. راجع 180 بطريقتين، وافصل الحالات والكمية المحسوبة؛ الرسوم مؤلفة ولا تثبت جودة حياة أو اكتظاظًا عامًا أو تعدادًا فعليًا.
المقام يحدد الكثافة التي تصفها
يعرف مؤشر البنك الدولي EN.POP.DNST الكثافة بسكان منتصف العام مقسومين على مساحة اليابسة بالكيلومتر المربع، مع استبعاد المياه الداخلية من المساحة. نحتفظ هنا بالتعريف والوحدة، أما أعداد المناطق التالية فمؤلفة للتعليم وليست بيانات للمؤشر. [1]
في تدريبنا يمثل البسط عدد سكان النطاق الذي اخترناه، والمقام مساحة يابسته في الحالة نفسها. لذلك لا نخلط مساحة اليابسة بمساحة تشمل ماءً لم ندخله في التعريف. كما نثبت تاريخًا افتراضيًا مشتركًا للسكان في الجزأين، بدل جمع عددين من فترتين مختلفتين ثم تسمية الناتج سكان الإقليم في يوم واحد.
سنفترض أن المنطقتين لا تتداخلان وأن السكان لا يحتسبون مرتين، وأن اتحاد الجزأين هو النطاق الكامل الذي نريد وصفه. هذه شروط وضعناها للمثال كي يكون جمع السكان والمساحات مشروعًا داخل الحساب. لا نفترض أنها موجودة في أي ملف حقيقي بمجرد أنه يحمل اسمي منطقتين أو يضعهما في صفين متجاورين.
والكثافة قيمة لوصف هذا البسط وهذا المقام، لا حكمًا عن جودة الحياة أو حدًا عامًا للاكتظاظ. لم نعط توزيع الناس داخل كل جزء أو مساحة مساكنهم أو عدد غرفهم. سنقارن أعدادًا بوحدة نسمة لكل كيلومتر مربع، ولا ننقلها إلى ادعاء عن تزاحم كل شخص أو كل منزل في المنطقة.
مثال أصلي بمنطقتين مختلفتي المساحة
نختار المنطقة A بعدد 1000 نسمة ومساحة يابسة 2 كم²، والمنطقة B بعدد 800 نسمة ومساحة 8 كم². هذه أربعة أعداد من إعدادنا. كثافة A تساوي 1000/2=500 نسمة/كم²، وكثافة B تساوي 800/8=100 نسمة/كم². لم نسمهما بلدين أو مدينتين حقيقيتين، ولم نأخذ الأعداد من تعداد منشور.
إذا جمعنا الجزأين وفق الشروط التي ثبتناها، نحصل على 1800 نسمة و 10 كم². كثافة الإقليم هي 1800/10=180 نسمة/كم². لا نحتاج إلى تقريب هذه النتيجة في المثال، ويمكن مراجعتها بضرب 180 في 10 لنستعيد 1800. راجع وحدة كل عدد أثناء النقل؛ جمع كثافتين لا ينتج عدد سكان ولا مساحة جديدة.
المتوسط الحسابي للكثافتين هو (500+100)/2=300. هذه عملية صحيحة على القيمتين، لكنها تعطي كل منطقة وزنًا واحدًا بصرف النظر عن مساحتها. في إقليمنا تشغل B ثمانية أعشار المساحة، بينما تشغل A عشرين بالمئة فقط. لذلك لا يؤدي هذا المتوسط السؤال نفسه الذي أجابت عنه قسمة مجموع السكان على مجموع اليابسة.
لا يدل انخفاض 180 عن 300 على خطأ في أحد عددي السكان. الذي اختلف هو نظام الوزن. إذا حفظ ملف الكثافتين 500 و 100 فقط، من دون المساحتين أو السكان، فلن يستطيع القارئ استعادة 180 منهما بوصفه النتيجة الوحيدة. سنعرض حالة أخرى بالمساحتين المتساويتين لاحقًا لتوضيح لماذا لا تكفي القيمتان وحدهما.
استخرج وزن المساحة من العلاقة نفسها
نرمز إلى سكان A بالرمز PA ومساحتها SA وكثافتها DA، وإلى نظائرها في B بالرموز PB و SB و DB. من تعريف كل كثافة نحصل على PA=DA×SA وعلى PB=DB×SB. لذلك كثافة المجموع هي (DA×SA+DB×SB)/(SA+SB)، عندما تكون المساحتان موجبتين وتخص الأعداد الجزأين غير المتداخلين نفسيهما.
في مدخلاتنا، وزن المساحة الأول 2/10=0.2، والثاني 8/10=0.8. المتوسط بهذه الأوزان يعطي 0.2×500+0.8×100=100+80=180 نسمة/كم². هذا فحص آخر للنتيجة نفسها، وليس قراءة من خريطة فعلية. الأوزان بلا وحدة لأنها حصص من مساحة المجموع، وتبقى للكثافة النهائية وحدتها التي بدأت بها.
يساعد هذا الاشتقاق على معرفة لماذا نستخدم المساحة لا اسم المنطقة أو عدد الصفوف في الجدول. كل كثافة تخص مساحة، وضربها بمساحتها يعيد السكان الذين تدخل بهم في البسط. إذا بدلنا الأوزان إلى السكان، نختار متوسطًا آخر لا يستعيد هذه القسمة المكانية. سنحسبه بوصفه كمية مختلفة، لا خطأً في عملية جمع أو ضرب.
ومن الفحص العددي المفيد أن 180 تقع بين 100 و 500، لأننا جمعنا قيمتين بأوزان موجبة مجموعها 1. لكن وقوع عدد بينهما لا يثبت أنه كثافة الإقليم؛300 بينهما أيضًا. نحتاج إلى الأوزان أو إلى السكان والمساحات الأصلية، ثم إلى تعريف واضح للنتيجة. الفحص يرفض بعض الأخطاء ولا يختار الجواب الكامل من المجال وحده.
حالة أخرى بمساحتين متساويتين
ننشئ حالة ثانية مستقلّة بمساحة 5 كم² لكل جزء، ونحافظ على كثافتي 500 و 100. حتى تتوافق الأعداد، نختار سكانًا 2500 للجزء الأول و 500 للثاني؛ فالكثافة في كل منهما تظل عدد السكان مقسومًا على مساحة الجزء. لا نحتفظ بسكان الحالة الأولى 1000 و 800 ثم نزعم أن تغيير المساحة وحده أبقى الكثافتين كما هما.
في هذه الحالة يصبح المجموع 3000 نسمة على 10 كم²، وكثافة المجموع 300 نسمة/كم². تطابق المتوسط الحسابي للكثافتين هذه النتيجة لأن حصتي المساحة متساويتان. لا تناقض بين 300 هنا و 180 في الحالة الأولى؛ لقد اختلفت المساحتان والسكان رغم بقاء كثافة كل جزء 500 أو 100. نسمي الحالة التي نصفها قبل المقارنة.
يوضح ذلك لماذا لا تستطيع استعادة كثافة الإقليم من 500 و 100 وحدهما. أمامنا حالتان تعطيان هاتين القيمتين نفسيهما، ثم تعطيان كثافتين كليتين مختلفتين. إذا كان سؤالك عن الإقليم الأول، نرجع إلى مساحتيه 2 و 8؛ وإذا كان عن الثاني، نستخدم 5 و 5. لا يختار شكل جدول من صفين الوزن المناسب بمجرد عدد صفوفه.
ويمكن مراجعة كل حالة بعكس الحساب: كثافة الجزء مضروبة في مساحته تعيد سكانه، وكثافة المجموع مضروبة في مجموع المساحة تعيد المجموع السكاني. هذه مراجعة لأعداد مؤلفة ولقانون القسمة فيها. لا تجعل نجاحها دليلًا على أن بيانات منطقة فعلية أحدث أو أدق، ولا على أن تعريف مساحتها يطابق تعريف البيانات التي تقارنها بها.
وزن السكان ينتج كمية مختلفة
في الحالة الأولى نستعمل الآن السكان أوزانًا بدل المساحة، لا بوصف ذلك حساب كثافة الإقليم. الوزن الأول 1000/1800=5/9، والثاني 800/1800=4/9. المتوسط بهذين الوزنين هو (1000×500+800×100)/1800، أي 2900/9 ونحو 322.22. العملية صحيحة على هذه الأوزان، لكنها لا تساوي 180 التي حسبناها من مجموع السكان واليابسة.
لفهم الكمية الجديدة، تخيل أننا نسبنا إلى كل فرد افتراضي قيمة كثافة منطقته: ألف قيمة مقدارها 500 وثمانمئة قيمة مقدارها 100. متوسط هذه القيم المكررة هو 322.22 تقريبًا. هذا وصف حسابي من إعدادنا؛ لا يبين كثافة محيط كل شخص أو عدد من يشاركه المنزل، لأن القيمة التي نسبناها إليه هي قيمة المنطقة كلها.
المقارنة تبين أن عبارة «متوسط موزون» وحدها لا تكفي لتحديد السؤال الذي أجبت عنه. المساحة تعطي وزنًا لكل كيلومتر مربع ضمن مجموع اليابسة، وعدد السكان يعطي وزنًا وفق قيم كررناها لكل فرد في التجربة السابقة. ليس أحد الوزنين أفضل لجميع المقاصد؛ المهم ألا نقدم نتيجة الثاني باسم كثافة المساحة المجمعة التي طلبناها أولًا.
احفظ الأوزان في سطر المراجعة بجانب النتيجة. إذا ظهر 322.22 في جدول عن الحالة الأولى، اسأل هل أريد المتوسط الذي نسب قيم المناطق إلى الأشخاص أم أريد 180 لعدد الناس لكل كيلومتر مربع من الإقليم. لا نغير الأعداد حتى تتفق النتائج؛ نسمي ما حسبناه وسبب اختلاف البسط والمقام بين السؤالين.
المناطق المتداخلة تحتاج إلى حساب الاتحاد
شرط عدم التداخل في المثال الأول هو ما سمح بجمع 2 و 8 مساحتي يابسة و 1000 و 800 سكانًا من دون تكرار. إذا لم نعرف الحدود أو عرفت المواد أن جزءًا مشتركًا موجود، فلا نجمع العددين ثم نفترض أن الناتج يصف الاتحاد. قد تحتسب المساحة المشتركة مرتين، وقد يحتسب سكانها مرتين أيضًا، ويحتاج كل منهما إلى معلوماته.
نضيف حالة بديلة مؤلفة بتداخل مساحته 1 كم² وفيه 100 نسمة داخل العددين الأصليين. مساحة الاتحاد الآن 2+8−1=9 كم²، وسكانه 1000+800−100=1700 نسمة. الكثافة 1700/9، أي نحو 188.89 نسمة/كم². هذه ليست حالة عدم التداخل التي أعطت 180، ولذلك لا نضيف رقم التداخل إلى نتيجتها من غير إعلان التغيير في المدخلات.
ولا نستطيع تحديد السكان المكررين من مساحة التداخل وحدها. لو لم يعط الملف عدد 100 في الجزء المشترك، لبقي مجموع سكان الاتحاد بحاجة إلى تلك المعلومة. كذلك لا نفترض أن كثافة التداخل تساوي كثافة أحد الجزأين؛ قد يتوزع الناس بطريقة أخرى داخل حدودهما. في حالتنا البديلة اخترنا العدد صراحة بدل استخراجه من متوسط لم يصف ذلك الجزء.
وإذا استعملت قيمًا من فترتين مختلفتين، فقد لا يكون معنى السكان المشتركين هو نفسه في السجلين. نثبت في تماريننا وقتًا افتراضيًا واحدًا وتعريفًا متوافقًا للأفراد المعدودين. هذه الشروط تجعل مثال الطرح مفهومًا، لكنها لا تعوض قراءة حدود ومفاهيم أي مصدر فعلي تريد أن تجمع أعداده في مقارنة سكانية.
تغيير تعريف المساحة يغير المقام
في مثال مستقل نفترض 1800 نسمة ويابسة 10 كم² ومساحة ماء إضافية 2 كم². بحسب تعريف المقام باليابسة الذي بدأنا منه نحصل على 180. أما قسمة 1800 على 12 فتعطي 150، وهي نسبة إلى مساحة أخرى اخترنا أن تشمل الماء. لا نتعامل مع 150 و 180 كتناقض إذا اختلف ما يحتويه المقام، ولا نسمي النتيجتين المؤشر نفسه بلا تفسير.
وليس هذا حسابًا منشورًا عن إقليم حقيقي أو طريقة لاستنتاج مساحاته من الكثافة. لقد قدمنا المساحتين كمدخلين في الحالة المؤلفة. إذا كان مصدر آخر يعطي «المساحة الكلية»، نحتاج إلى تعريفها قبل مقارنتها باليابسة؛ الاسم المختصر لا يخبرنا وحده بكل ما يضمّه الرقم أو يستثنيه. نقرأ مادة المصدر بدل ملء الفراغ من نتيجة القسمة.
كذلك راجع الوحدة قبل الجمع. كيلومتر مربع لا يساوي كيلومترًا من طول حد المنطقة، وعدد سكان لا يساوي مساحة منازل. وفي تحويل مساحة من وحدة إلى أخرى يتحول مقدار المساحة وفق وحدته المربعة. في أعدادنا احتفظنا بالكيلومتر المربع من البداية إلى النهاية، فلا يدخل في النتيجة تحويل خفي يمكن أن يغيرها ألف مرة أو أكثر.
وعند تحديث رقم السكان في تدريب لاحق، بيّن ما إذا بقيت حدود المساحة وتعريفها كما هما. قد تتغير الكثافة لأن البسط تغير، أو لأن المقام تغير، أو لأنهما تغيرا معًا. لا نستنتج نمو عدد الناس من تغير الكثافة وحدها إذا لم نعرف مساحة النطاق الذي وصفته كل قيمة. الحساب يبدأ من العلاقة المعلنة بين العددين، لا من حكاية عن سبب التغيير.
رسم بعرض يرمز للمساحة لا لخريطة مواضع
في الرسم الأصلي الأول نختار عرض العمود بحسب المساحة: عرض 2 للجزء الأول وعرض 8 للثاني، وارتفاعيهما بحسب الكثافتين 500 و 100. مساحة مستطيل الحساب الأول تمثل حاصل 2×500، والثاني 8×100؛ أي 1000 و 800 ضمن وحدات محوري الرسم. هذا ترتيب بياني من إعدادنا، وليس شكل المنطقتين على سطح الأرض أو موقع حدودهما الجغرافية.
الخط الذي نضعه عند 180 يبين كثافة المجموع، والخط الآخر عند 300 يبين المتوسط الحسابي غير الموزون للقيمتين. يمكن أن يراهما القارئ مع اختلاف العرضين ليفهم لماذا ليست حصتا 500 و 100 من المساحة متساويتين. إذا جعلنا العمودين متساويي العرض من دون شرح، فقد نخفي سبب الوزن الذي أردنا إبرازه في هذه الصورة.
والرسم الثاني يقارن الحالة ذات المساحتين 2 و 8 بالحالة ذات المساحتين 5 و 5، مع إبقاء الكثافتين الجزئيتين نفسيهما وتغيير السكان بما يناسب المساحات. نعرض مجموعي 1800 و 3000 كي لا تبدو المقارنة كأنها نقل للسكان أنفسهم إلى مخطط آخر. النتيجة الكلية 180 في الأولى و 300 في الثانية، وكل واحدة تعود إلى مدخلاتها المحددة.
تسميات «أ» و«ب» أسماء لأجزاء في تمرين، والألوان للتمييز بينهما وليست طبقات لخريطة سكان. لم نجمع إحداثيات فردية أو نقدر موقع تجمعات أو نختر أحياء حقيقية. تساعد أداة الرسم العلمي على حفظ القيم والمحاور والنسب البصرية، لكنها لا تحول المدخلات المؤلفة إلى تعداد أو حدود إدارية تحققنا منها في الميدان.
الكثافة المجمعة لا تحدد توزيع الأشخاص
تخبرنا 180 في الحالة الأولى بعدد السكان لكل وحدة من اليابسة بعد جمع الجزأين، لكنها لا تخبرنا أين يوجد كل فرد داخل A أو B. لم نقدم في البيانات مواقع منازل أو طرق أو مباني أو أفراد. يمكن أن يبقى العدد والمساحة ثابتين بينما تتغير مواقع الأشخاص، فتظل النسبة نفسها لأنها لا تحتوي أصلًا على تلك المواقع في حسابها.
كذلك لا نجعل ارتفاع 500 في A حكمًا على أن كل مكان فيها ممتلئ بالدرجة نفسها. هذا وصف لمجموعها السكاني ومساحتها في المثال، وليس مقدارًا عند كل نقطة. إذا كان السؤال عن توزيع داخلي أدق، نحتاج إلى بيانات ووحدات مكانية تلائم ذلك السؤال، مع عدم نقل العدد الكلي تلقائيًا إلى كل جزء أصغر في خريطة لم نبنها.
وغياب هذه البيانات لا يثبت أن التوزيع متساوٍ ولا أنه غير متساوٍ. يمكن أن يطرح القارئ سؤالًا إضافيًا، لكنه لا يجيب عنه من كثافة الإقليم وحدها. في رسومنا الأصلية لم نضع نقاطًا تمثل منازل حقيقية، حتى لا يصبح نمط نقط صممه الكاتب دليلًا مزعومًا على تمركز أو تشتت السكان في منطقة فعلية.
ولا يقدم المثال معيارًا عامًا لقياس ضغط الخدمات أو جودة السكن أو وصف بلد بأنه مفرط السكان. تلك أسئلة قد تحتاج إلى موارد ومساحات مستعملة ومؤشرات أخرى، ولم نحسبها هنا. نستعمل الكثافة للإجابة عن القسمة المحددة، ثم نحافظ على حدودها بدل أن نحول اختلاف رقمين إلى نتيجة اجتماعية أو سياسية لم يعرضها السجل.
المعطى الناقص لا يستعاد من متوسط افتراضي
إذا احتفظنا فقط بالكثافتين 500 و 100، يمكن أن تنتج عنهما 180 أو 300 كما بينت الحالتان الأوليان. ونستطيع إنشاء حالة ثالثة بمساحتي 3 و 5 وسكان 1500 و 500، فتكون الكثافتان نفسيهما لكن كثافة المجموع 2000/8=250. هذه ثلاثة أجوبة لثلاثة أزواج من المدخلات، وليست ثلاث طرق تعطي الجواب نفسه للنطاق الأول.
القاعدة العددية هي أن النتيجة تتحدد بحصص المساحة، لا بالكثافتين وحدهما. تقع كثافة المجموع بين القيمتين عندما تكون الأوزان موجبة ومجموعها 1. في حالتنا المختلفتين كثافةً ومساحاتهما الموجبة تكون النتيجة داخلهما، لكن هذا المجال لا يختار 180 أو 250 أو 300. لا نملأ مساحة مجهولة بوزن نصف لمجرد وجود صفين في الجدول.
وإذا كانت مساحة جزء صفرًا، فلا نستخدم قانون الكثافة له كما هو، لأننا سنقسم على صفر. أما عدد سكان صفر مع مساحة موجبة فيعطي كثافة صفر في مثال آخر. هذان وضعان مختلفان، ولا يصلح جعل قيمة مفقودة في الملف صفرًا حتى ينجح البرنامج أو يكتمل سطر التقرير. نراجع معنى الغياب قبل إدخاله في عملية حساب.
يمكن أن نكتب في ورقة العمل «كثافة المجموع غير محددة من المعطيات الحالية»إذا لم تعط الأوزان اللازمة. هذه ليست دعوى أن الإقليم لا يملك كثافة أو أن الحساب مستحيل بكل المعلومات؛ إنها وصف لما يمكن استعادته من الملف الذي قرأناه. عندما تصل المساحات أو السكان، نعيد الحساب ونحفظ مصدر المدخلات بدل استبدال القيمة القديمة بلا بيان.
راجع السكان والمساحة والأوزان والشروط
ابدأ بسؤال عن النطاق الكامل وعن حدود كل جزء، ثم تحقق من عدم التداخل أو من توفر بياناته إذا كان موجودًا. بعد ذلك سم عدد السكان وتاريخه ومساحة اليابسة ووحدتها. إذا كانت هذه المدخلات متوافقة، اجمع السكان والمساحات واحسب النسبة. لا تجمع قيمتين للكثافة بوصفهما سكانًا أو مساحات، لأن وحدتهما مختلفة عن وحدة المدخلات.
راجع النتيجة بطريقتين في المثال الأول:1800/10، ثم 0.2×500+0.8×100. وميّز 300 التي تعطي كل منطقة وزنًا واحدًا عن 2900/9 التي تستعمل السكان أوزانًا. تستطيع عرض المقارنات الثلاث إذا سميت السؤال والوزن في كل سطر، لكن لا تنقل أحدها إلى عنوان «كثافة الإقليم»من دون أن يطابق البسط والمقام اللذين عرفناهما.
ثم اقرأ الرسم والملخص مع حالة الأعداد نفسها. الحالة الثانية تغير المساحات والسكان، والثالثة تضيف مدخلات جديدة، وحالة التداخل تضيف مساحة وسكانًا مشترَكين. لا تنقل نتيجة حالة إلى أخرى لمجرد أن جميعها تحمل كثافتين 500 و 100 أو اسمي A و B. اختيار الوصف أهم من تشابه أسماء الأعمدة بين النسخ.
نتيجتنا للنطاق الافتراضي الأول هي 180 نسمة/كم²، وفق 1800 نسمة و 10 كم² من اليابسة غير المتداخلة وفي وقت مفترض واحد. الأرقام والرسوم أمثلة أصلية، وليست تقديرات لمكان فعلي أو تقريرًا عن التزاحم. ما تعلمناه هو تحديد السؤال الذي تجيب عنه الكثافة المجمعة وحفظ المساحة بوصفها وزنًا في اشتقاقها، بدل استعمال أي متوسط يحمل كلمة موزون.
المصادر ومتابعة القراءة
- البنك الدولي DataBank: منهج مؤشر EN.POP.DNST (يفتح في نافذة جديدة)databank.worldbank.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.