منحنى الجر تراكتريكس: أي طول في المماس يبقى ثابتًا؟

الخلاصة السريعة

الثابت هو طول القطعة المائلة PH، وليس إسقاطها الأفقي BH؛ في مثالنا PH=5 وBH=4 وPB=3. نقطة H تقع على المحور الأفقي، والخط PH مماس للمسار عند P.

• نثبت طول المماس5، والمستقيم المقارب y=0. لكل نقطة P على الفرع المنتظم، يقطع مماسها المحور عند H ويحقق PH=5. [2] إسقاط P العمودي هو B، ولا يلزم أن يساوي BH مقدار5.
• نستعمل x=5(t−tanh t) وy=5/cosh t. تعني sech t مقلوب cosh t. المرجع الآخر يبدل المحورين ويستعمل طولًا1؛ نبدل الإحداثيين ونضربهما في5 للمقارنة. [1][2]
• عند t=ln3، تكون P=(5ln3−4,3) وH=(5ln3,0). المركبتان الأفقية4 والرأسية3 تعطيان PH=5؛ ميل القطعة −3/4 يساوي ميل المنحنى.
• لو جعلت الإسقاط الأفقي5 عند P نفسها، وصلت إلى W=(5ln3+1,0). تصبح PW²=34 ويكون الميل −3/5؛ فلا تحقق القطعة طول5 ولا اتجاه المماس الصحيح.
• لأي t≠0، يعطي الاشتقاق dy/dx=−1/sinh t، والتقاطع H=(5t,0). لذلك PH²=25 دائمًا، من الهوية tanh²t+sech²t=1؛ هذا إثبات للخاصية عبر المسار.
• المجال x∈R و0＜y≤5، والتناظر حول المحور الرأسي. عند t=0 الرأس S=(0,5) ومماسه الحدي x=0؛ نسبة المشتقتين هناك0/0 لا تعطي ميلًا. المقارب y=0 غير مبلوغ، والرسومان يعرضان جزءًا محدودًا.

حدد طرفي القطعة التي تقيسها

نتناول منحنى الجر، المعروف باسم تراكتريكس، من خلال خاصيته الهندسية: طول المماس بين نقطة التماس والمستقيم المقارب ثابت. [2] نختار هذا الطول5 وحدات، ونجعل المستقيم المقارب هو المحور الأفقي y=0.

لنقطة من المنحنى اسمها P=(x,y)، نسمي تقاطع المماس مع المحور H. يربط الخط PH بين نقطة التماس والمحور. أما B=(x,0) فهو الإسقاط العمودي للنقطة P؛ لذا يكون PB رأسيًا وBH أفقيًا.

المثلث PBH قائم عند B. الضلع PH هو الوتر، وطوله5. ليست المسافة العمودية PB ولا المسافة الأفقية BH طولًا ثابتًا يساوي5؛ يتوزع طول الوتر بين مركبتيه بحسب اتجاه المماس.

المماس نفسه مستقيم غير محدود. عندما نقول طول المماس هنا، نعني طول القطعة PH بين طرفين محددين، لا طول المستقيم كله. تحديد الطرفين يجعل المقارنة واضحة ويمنع خلط الوتر بإسقاطه.

سندرس الفرعين فوق المحور الأفقي. الحركة على الفرع الأيمن تقابل معاملات موجبة، وعلى الأيسر معاملات سالبة. هذا تمثيل هندسي محسوب؛ لا نستخدمه بوصفه تسجيلًا لحركة جسم أو إثباتًا لقوى احتكاك فعلية.

عرّف الدوال ووحد المحورين بين الصيغ

الصيغة المرجعية هي x=a(t−tanh t) وy=a sech t. [1] نضع a=5، فتصبح x=5(t−tanh t) وy=5/cosh t. المعامل t عدد حقيقي بلا وحدة، بينما الإحداثيات والطول5 بوحدة طول واحدة.

للقارئ الذي لم يستعمل الدوال الزائدية، نعرفها بواسطة الدالة الأسية: cosh t=(eᵗ+e⁻ᵗ)/2 وsinh t=(eᵗ−e⁻ᵗ)/2. ثم tanh t=sinh t/cosh t، وsech t=1/cosh t. اللوغاريتم ln هو الطبيعي، وعكس الدالة الأسية.

ينتج من التعريف cosh²t−sinh²t=1. بقسمة الهوية على cosh²t، نحصل على tanh²t+sech²t=1. هذه علاقة الأطوال التي سنستخدمها، وليست هوية الدوال المثلثية الدائرية رغم تشابه صورتها.

يعرض مرجع آخر منحنى الوحدة بالإحداثيين X=1/cosh t وY=t−tanh t. [2] في اتجاهنا نأخذ x=5Y وy=5X. نبدل المحورين ثم نكبر المقياس؛ لا نقارن الحرف x في المرجعين دون مراجعة دوره.

عند t=0، نجد cosh0=1 وtanh0=0، فتكون النقطة S=(0,5). تغيير t إلى−t يعكس إشارة x ويبقي y كما هو. لهذا يقع الفرعان على جانبي المحور الرأسي، وبالارتفاع نفسه للمعاملين المتعاكسين.

وجود صيغة بمعامل لا يعني أن t هو ميل الخط أو زمن تجربة. إنه طريقة لتحديد موضع على المسار. سنتحقق من المماس بالاشتقاق، ثم نحسب تقاطعه مع المحور من هذه النقطة نفسها.

مثال لوغاريتمي يعطي مثلثًا بأضلاع صحيحة

نختار t=ln3، فيكون eᵗ=3 وe⁻ᵗ=1/3. بالتعريف نجد cosh t=5/3 وsinh t=4/3، ومن ثم tanh t=4/5 وsech t=3/5. هذه نتائج دقيقة لا تعتمد على تقريب اللوغاريتم.

تعويض هذه القيم يعطي x=5ln3−4 وy=3. إذن P=(5ln3−4,3). سنثبت في القسم الخاص بالمماس أن H=(5t,0)، لذلك في هذا الوضع H=(5ln3,0).

إسقاط P على المحور هو B=(5ln3−4,0). فرق الإحداثيين الأفقيين بين B وH يساوي4، بينما PB=3. لذلك PH²=4²+3²=25، وطول PH يساوي5 وحدات.

ميل الخط من P إلى H هو (0−3)/4=−3/4. ومن الصيغة الاشتقاقية عند t=ln3، يكون ميل المنحنى −1/(4/3)=−3/4 أيضًا. الاتفاق في الميل والطول يراجع الخاصيتين منفصلتين.

لرسم هذا الوضع، يمكن تقريب ln3≈1.098612، فيكون xP≈1.493061 وxH≈5.493061. تظل الإحداثيات اللوغاريتمية هي القيم المعتمدة؛ التقريب يخدم توزيع البكسلات فقط.

يفصل الجدول نقطة المنحنى وإسقاطها ونقطة تقاطع المماس والرأس والنقطة الخاطئة W. ليست H نقطة من المنحنى؛ إنها طرف القطعة المقاسة على المحور المقارب.

تثبيت الإسقاط الأفقي يغير الطول والميل

افترض أنك جعلت BH=5 بدل PH=5، وأبقيت P في المثال نفسه. عندئذ تكون نقطة المحور W=(5ln3+1,0)، لأن إحداثي P الأفقي هو5ln3−4 وتضيف إليه5.

يبقى الارتفاع3، لذلك PW²=5²+3²=34. طول القطعة هو√34، أي نحو5.830952، وليس5. التصحيح ليس فرقًا شكليًا في كتابة المعادلة؛ إنه طول مختلف.

ميل PW هو−3/5، في حين أن المماس الصحيح عند P ميله−3/4. لهذا لا يصلح الخط PW مماسًا في هذا الموضع حتى لو بدا قريبًا منه في صورة صغيرة.

ولو اكتفيت بطول5 إلى نقطة على المحور، فإن معادلة المسافة وحدها تسمح بنقطتين عند الإزاحتين الأفقيتين4 و−4. على الفرع الأيمن هنا يحدد اتجاه المماس التقاطع H الواقع إلى يمين B، لا الطرف الآخر.

إذن نراجع ثلاثة أمور: P على المسار، وH على المحور، واتجاه PH يساوي اتجاه المماس. مساواة الطول5 وحدها لا تثبت أن أي خط يصل P بالمحور هو المماس المطلوب.

أثبت أن طول القطعة ثابت عبر المسار

نشتق الصيغ بالنسبة إلى t: dx/dt=5tanh²t وdy/dt=−5 sech t tanh t. عند t≠0 يكون dx/dt موجبًا، فتسمح القسمة بحساب dy/dx=−sech t/tanh t=−1/sinh t.

على الفرع الأيمن t موجب، فالميل سالب. لتقاطع المماس مع المحور نكتب 0=y+m(Hx−x)، حيث m هو الميل. ينتج Hx−x=−y/m=5tanh t، ثم Hx=5t.

على الفرع الأيسر t سالب، فتكون الفجوة الأفقية موقعة بالسالب، وH إلى يسار B. طولها هو القيمة المطلقة5|tanh t|، ويكون الميل موجبًا. الصيغة H=(5t,0) صالحة على الفرعين المنتظمين.

الفرق بين H وP هو (5tanh t,−5 sech t). مربع الطول يساوي25(tanh²t+sech²t)=25، ولذلك PH=5. توضح الهوية أن الارتفاع والإسقاط يتغيران مع بقاء الوتر ثابتًا.

مثلًا عند t=ln2، نجد tanh t=3/5 وsech t=4/5. تصبح المركبة الأفقية3 والرأسية4، ويظل الوتر5، والميل−4/3. هذا وضع ثانٍ مستقل عن مثلث المثال الأول ذي الإسقاط4.

في الرسم الداخلي نقارن الوضعين على المسار نفسه، مع تقاطعي المماسين على المحور. لا نغير الطول أو المقياس بينهما. صورة واحدة تعرض أثر تغير الاتجاه دون الإيحاء بأن الإسقاط الأفقي يجب أن يبقى ثابتًا.

تعامل مع الرأس والمقارب دون قسمة على صفر

المشتقة dx/dt=5tanh²t موجبة إلا عند t=0. الإحداثي x يزيد باستمرار عبر المعاملات الحقيقية، ويمتد إلى سالب وموجب اللانهاية. كذلك cosh t≥1، فيكون0＜y≤5، وتتحقق القيمة5 عند S=(0,5) وحدها.

عند t=0 تكون مشتقتا الإحداثيين صفرًا. إذن النسبة dy/dt على dx/dt هي0/0، ولا يجوز إعلان ميلها صفرًا. وجود هذه الحالة في المعامل لا يحذف S من المنحنى.

ننظر إلى النقاط المجاورة: dy/dx=−1/sinh t يتجه إلى سالب اللانهاية من الفرع الأيمن وإلى موجب اللانهاية من الأيسر. يلتقي الفرعان تحت S بمماس حدي رأسي x=0 ورأس مدبب.

في هذا الوضع الحدي يتقاطع المماس الرأسي مع المحور عند O=(0,0). طول SO يساوي5. هكذا تبقى خاصية طول القطعة مفهومة عند الرأس بالحد، رغم عدم صلاحية نسبة المشتقتين هناك.

كلما كبرت |t|، كبرت cosh t واقترب y من صفر مع بقائه موجبًا. لذلك y=0 مقارب أفقي، ولا يوجد على المنحنى موضع محدود بارتفاع صفر. H تقع على المقارب، لكنها ليست نقطة من المسار.

على الفرع الأيمن يمكن كتابة x=5ln((5+√(25−y²))/y)−√(25−y²)، مع0＜y≤5. الفرع الأيسر هو انعكاسه حول المحور الرأسي. الإطار في الصور يقطع امتداد الفرعين؛ لا نعد حافتي الصورة نهايتين هندسيتين.