عدد أقطار المجسم الداخلية يحتاج معرفة اتصال الرؤوس والأوجه. سنعد القطع، لا أطوالها، ونقارن مجسمين لكل منهما ستة رؤوس. [1][2]
الخلاصة السريعة
لا؛ عدد الرؤوس وحده لا يكفي. [1]
- نسمي القطعة قطرًا داخليًا إذا وصلت رأسين لا يجمعهما وجه. قطر الوجه يصل رأسين غير متجاورين على وجه واحد. نحسب القطعة مرة واحدة مهما عكسنا طرفيها. [1]
- نقتصر على متعدد سطوح محدب، بأوجه مستوية كاملة دون تقسيمات مصطنعة أو رؤوس إضافية على الحواف. إذا كان عدد الرؤوس V، فعدد أزواجها V(V−1)/2: لكل رأس V−1 شريكًا، ثم نقسم على اثنين لتجنب التكرار. [1]
- اطرح الحواف ثم أقطار الأوجه من أزواج الرؤوس؛ الباقي أقطار داخلية. وجه له k رؤوس يضم k(k−3)/2 قطرًا: أزواج رؤوسه ناقص حوافه. لا نكرر قطر الوجه؛ وجهان في نموذجنا لا يشتركان إلا في حافة أو رأس، أو لا يلتقيان. [1]
- للمكعب 8 رؤوس و12 حافة وستة أوجه مربعة. لكل مربع قطران، فتكون أقطار الأوجه 12. أزواج الرؤوس 8×7/2=28؛ الأقطار الداخلية 28−12−12=4. طرح الحواف وحدها يعطي 16، ويخلط النوعين. [1]
- للمنشور الثلاثي القائم 6 رؤوس و9 حواف؛ قاعدتاه مثلثان وجوانبه ثلاثة مستطيلات. المثلث بلا أقطار، ولكل مستطيل قطران؛ إذن أقطار الأوجه 6. الأقطار الداخلية 15−9−6=0: كل زوج رؤوس يجمعه وجه. [1]
- لثماني الأوجه المنتظم 6 رؤوس و12 حافة وثمانية أوجه مثلثة. لا أقطار للأوجه، فيبقى 15−12=3 أقطار داخلية. تساوى عدد الرؤوس مع المنشور واختلفت النتيجة. لا تعمم صفات المنتظم على كل مجسم ذي ثمانية أوجه، ولا تطبق حسابنا تلقائيًا على غير المحدب. [2]
حدد نوع القطر
نسمي القطعة قطرًا داخليًا إذا وصلت رأسين لا يجمعهما وجه. قطر الوجه يصل رأسين غير متجاورين على وجه واحد. نحسب القطعة مرة واحدة مهما عكسنا طرفيها. [1]
عد أزواج الرؤوس
نقتصر على متعدد سطوح محدب، بأوجه مستوية كاملة دون تقسيمات مصطنعة أو رؤوس إضافية على الحواف. إذا كان عدد الرؤوس V، فعدد أزواجها V(V−1)/2: لكل رأس V−1 شريكًا، ثم نقسم على اثنين لتجنب التكرار. [1]
استبعد الحواف وأقطار الأوجه
اطرح الحواف ثم أقطار الأوجه من أزواج الرؤوس؛ الباقي أقطار داخلية. وجه له k رؤوس يضم k(k−3)/2 قطرًا: أزواج رؤوسه ناقص حوافه. لا نكرر قطر الوجه؛ وجهان في نموذجنا لا يشتركان إلا في حافة أو رأس، أو لا يلتقيان. [1]
طبق على المكعب
للمكعب 8 رؤوس و12 حافة وستة أوجه مربعة. لكل مربع قطران، فتكون أقطار الأوجه 12. أزواج الرؤوس 8×7/2=28؛ الأقطار الداخلية 28−12−12=4. طرح الحواف وحدها يعطي 16، ويخلط النوعين. [1]
لماذا لا يملك المنشور أقطارًا داخلية؟
للمنشور الثلاثي القائم 6 رؤوس و9 حواف؛ قاعدتاه مثلثان وجوانبه ثلاثة مستطيلات. المثلث بلا أقطار، ولكل مستطيل قطران؛ إذن أقطار الأوجه 6. الأقطار الداخلية 15−9−6=0: كل زوج رؤوس يجمعه وجه. [1]
قارن بستة رؤوس أخرى
لثماني الأوجه المنتظم 6 رؤوس و12 حافة وثمانية أوجه مثلثة. لا أقطار للأوجه، فيبقى 15−12=3 أقطار داخلية. تساوى عدد الرؤوس مع المنشور واختلفت النتيجة. لا تعمم صفات المنتظم على كل مجسم ذي ثمانية أوجه، ولا تطبق حسابنا تلقائيًا على غير المحدب. [2]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.