مبرهنة باسكال: تقاطعات الأضلاع المتقابلة لسداسي على دائرة

الخلاصة السريعة

في سداسي رؤوسه على قطع مخروطي، تقع تقاطعات مستقيمات أضلاعه المتقابلة على مستقيم باسكال؛ لا يشترط الانتظام أو التحدب. [1] نحسب هنا حالة دائرة بنقاط مختلفة وتقاطعات منتهية.

• رؤوس المثال A=(5,0)، B=(−3,4)، C=(4,−3)، D=(−5,0)، E=(3,4)، F=(0,−5) تحقق x²+y²=25. نصلها بهذا الترتيب، لا بترتيبها حول المحيط؛ تقاطع الأضلاع لا يمنع تطبيق النتيجة.
• الأزواج المتقابلة هي AB مع DE، و BC مع EF، و CD مع FA. نحل معادلتي كل زوج؛ الحديث عن المستقيمات وامتداداتها، وليس عن أي ثلاثة أقطار نختارها.
• التقاطعات X=(0,5/2)، Y=(3/2,−1/2)، Z=(5/2,−5/2) تحقق 4x+2y−5=0. النقاط مختلفة، وباقي التعويض صفر لكل منها؛ الحكم حسابي لا يعتمد على مظهر الصورة.
• مع خمسة رؤوس ثابتة و F=(u,v) على u²+v²=25، يعطي الحساب أسرة مستقيمة. بسط ضعف محدد الاستقامة −30(u²+v²−25)، بشرط اختلاف الرؤوس وألا يصفر 7−u−v أو u+3v−5. هذا برهان للأسرة المحددة.
• عند F′=(0,−6) يفشل شرط الدائرة. تصبح Y′=(21/13,−8/13)، Z′=(65/23,−60/23). مستقيم X و Y′ هو 27x+14y−35=0، وباقيه عند Z′ يساوي 110/23؛ مساحة مثلث التقاطعات 165/598، فتفشل الاستقامة.
• عند F=(4,3) يتوازى EF و BC، وعند F=(−4,3) يتوازى FA و CD؛ لا توجد كل التقاطعات المنتهية. التكبير بعامل 2 يعطي دائرة x²+y²=100 ومستقيم 4x+2y−10=0 للتقاطعات الجديدة. نستبعد تكرار الرؤوس ولا نستعمل نقاط اللانهاية.

ابدأ بالرؤوس وترتيب الوصل

تنطبق مبرهنة باسكال على سداسي مرسوم برؤوس على قطع مخروطي، دون اشتراط الانتظام أو التحدب. [1] نختار دائرة، ونحسب أضلاعًا متقاطعة.

الرؤوس هي A=(5,0)، B=(−3,4)، C=(4,−3)، D=(−5,0)، E=(3,4)، F=(0,−5). عند A و D يعطي مجموع المربعين 25، وعند B و C و E يعطي 9+16=25، وعند F يعطي 0+25=25. جميعها مختلفة وعلى دائرة مركزها الأصل ونصف قطرها 5.

نصل A ثم B ثم C ثم D ثم E ثم F، ونغلق من F إلى A. هذا ترتيب الوصل، وهو مختلف عن ترتيب الدوران حول المركز؛ مثلًا يقع BC داخل الشكل ويلتقي بوصلات أخرى. لا نغير أسماء الرؤوس كي نجعل الصورة محدبة بعد بدء الحساب.

الرأس نقطة على الدائرة، والضلع وتر يصل رأسين. المستقيم الحامل للضلع يمتد في الاتجاهين. لا نبني ستة مماسات كما في سداسي محيط بدائرة؛ هنا تبدأ المعطيات بست نقاط على المحيط، وليس بستة خطوط تمس الدائرة.

حدد الأزواج المتقابلة واكتب معادلاتها

الأضلاع في ترتيبنا AB و BC و CD و DE و EF و FA. بين كل ضلع ومقابله ثلاث خطوات في هذه القائمة: AB يقابل DE، و BC يقابل EF، و CD يقابل FA. المقابلة تعتمد على ترتيب الوصل، لا على أقرب خط في الرسم.

يمر AB بالنقطتين (5,0) و (−3,4)، ومعادلته x+2y−5=0. يحقق الطرفان المعادلة: 5−5=0 و −3+8−5=0. أما DE فمعادلته x−2y+5=0؛ تعويض D و E يعطي صفرًا أيضًا.

لـ BC المعادلة x+y−1=0، ولـ EF المعادلة 3x−y−5=0. ولـ CD المعادلة x+3y+5=0، ولـ FA المعادلة x−y−5=0. كل معادلة تمر بالرأسين المكتوبين في اسمها؛ هذا فحص بسيط يمنع استعمال زوج غير مطلوب.

نستخدم معادلات عامة بدل الاعتماد على الميل وحده. المستقيم الرأسي يمكن وصفه بمعادلة x ثابتة، لكنه لا يملك ميلًا عدديًا منتهيًا. في مثالنا الأزواج الثلاثة غير متوازية، فلكل زوج تقاطع وحيد منتهٍ.

احسب التقاطعات وافحص مستقيمًا واحدًا

لإيجاد X نحل x+2y=5 و x−2y=−5. جمعهما يعطي 2x=0، ثم y=5/2. إذن X=(0,5/2). التقاطع من الضلعين AB و DE، وليس من وصلتي الرؤوس AD و BE.

لإيجاد Y نحل x+y=1 و 3x−y=5. الجمع يعطي 4x=6، ومنه x=3/2 و y=−1/2. ولإيجاد Z نحل x+3y=−5 و x−y=5؛ الطرح يعطي 4y=−10، ثم x=5/2.

المستقيم المار بـ X و Y هو 4x+2y−5=0. عند X يعطي 0+5−5=0، وعند Y يعطي 6−1−5=0. وعند Z يعطي 10−5−5=0. إذن تقع النقطة الثالثة على المستقيم نفسه، والنقاط الثلاث مختلفة.

هذا المستقيم لا يمر بمركز الدائرة؛ عند الأصل يكون الباقي −5. ولا يكون ضلعًا إضافيًا من السداسي: إنه يصل ثلاث نقاط محسوبة من أزواج الأضلاع. نعتمد على الكسور الدقيقة لأن التقريب قد يخفي فرقًا صغيرًا في مثال مخالف.

حرك الرأس السادس على الدائرة

نبقي A و B و C و D و E ثابتة، ونجعل F=(u,v). نفرض u²+v²=25، واختلاف F عن الرؤوس الخمسة. تبقى X=(0,5/2)، لأن زوج AB و DE لا يتضمن F. أما Y و Z فيتغيران مع وصلتي EF و FA.

معادلة EF هي (4−v)x+(u−3)y+3v−4u=0. نعوض y=1−x من BC، فنحصل على (7−u−v)x=3u−3v+3. إذن Y=((3u−3v+3)/(7−u−v),(4−4u+2v)/(7−u−v)).

معادلة FA هي −vx+(u−5)y+5v=0. من CD نكتب x=−5−3y، فينتج (u+3v−5)y=−10v. لذلك Z=((−5u+15v+25)/(u+3v−5),−10v/(u+3v−5)). يجب أن يكون المقامان غير صفر.

محدد المتجهين XY و XZ يساوي xY·(yZ−5/2)−xZ·(yY−5/2). بعد توحيد المقامين، يكون بسط ضعفه −30(u²+v²−25)، فينعدم بشرط الدائرة. هذه متطابقة للأسرة كلها ضمن شروطها، وليست فحصًا لعدد محدود من المواقع.

يكون مستقيم الأسرة (u−3v+9)x+2(u−v+1)y−5(u−v+1)=0. تعويض X يعطي صفرًا؛ وتعويض Y ثم Z يرجع النتيجة نفسها بشروط المقامات والدائرة. عند u=0 و v=−5 تختزل المعادلة إلى 4x+2y−5=0. هذا برهان لخمسة رؤوسنا الثابتة، وليس لكل قطع مخروطي.

ارفع الرأس خارج الدائرة ثم أعد الحساب

نعود إلى المثال الأصلي، وننقل F إلى F′=(0,−6). مربع بعدها عن الأصل 36، لا 25، فتقع خارج دائرة الرؤوس الخمسة الثابتة. لا نغير ترتيب الأزواج أو مواضع A و B و C و D و E.

يبقى X=(0,5/2). تصبح وصلة EF′ ذات المعادلة 10x−3y−18=0؛ مع BC نجد Y′=(21/13,−8/13). وتصبح FA ذات المعادلة 6x−5y−30=0؛ مع CD نجد Z′=(65/23,−60/23).

مستقيم X و Y′ هو 27x+14y−35=0. تعويض X يعطي 35−35=0، وعند Y′ تكون 567/13−112/13−35=0. لكن عند Z′ يكون الباقي 1755/23−840/23−35=110/23، وهو غير صفر؛ فلا تنتمي إليه.

محدد XY′ و XZ′ يساوي 165/299. مساحة مثلث التقاطعات نصف قيمته المطلقة، أي 165/598 بوحدة مربعة. تؤكد المساحة الموجبة فشل الاستقامة، حتى إن بدت النقاط متقاربة من خط واحد في صورة مصغرة.

هذا مثال واحد يفشل بعد فقد شرط الدائرة. لا نستنتج أن كل تغيير خارجها يعطي النتيجة نفسها في أي ترتيب، ولا نستخدمه لإثبات عكس المبرهنة العام. في أسرتنا المحددة تكشف المتطابقة سبب الباقي غير الصفري مباشرة.

راجع التوازي والتكبير وحدود الحساب

عند F=(4,3) تبقى النقطة على الدائرة، لكن EF يصبح x+y=7، بينما BC على x+y=1. المستقيمان متوازيان مختلفان، فلا توجد Y منتهية. وهذا هو صفر المقام 7−u−v في صيغة الأسرة.

وعند F=(−4,3) يكون FA على x+3y=5، بينما CD على x+3y=−5. لا توجد Z منتهية؛ المقام u+3v−5 يساوي صفرًا. وقوع الرؤوس على الدائرة وحده لا يسمح باستعمال صيغ بها قسمة على صفر.

عند التكبير بعامل 2، تصبح الدائرة x²+y²=100، والتقاطعات X=(0,5)، Y=(3,−1)، Z=(5,−5). تحقق جميعًا 4x+2y−10=0. الإحداثيات والأطوال تتضاعف، أما مساحة المثلث في المثال المخالف فتتضاعف أربع مرات.

نستعمل هنا رؤوسًا مختلفة وتقاطع كل زوج في نقطة منتهية، ولا ندخل حالات تكرار الرؤوس أو نقاط اللانهاية. راجع الدائرة وترتيب الوصل والأزواج، ثم حل المعادلات وافحص النقطة الثالثة. مبرهنة باسكال تعطي الحكم المرجعي العام؛ الحسابات تبين مثالنا وأسرتنا المحددة.