مبرهنة بومبيو: ثلاثة أبعاد عن رؤوس مثلث تصنع مثلثًا

الخلاصة السريعة

لنقطة في مستوى مثلث متساوي الأضلاع، تصلح المسافات إلى رؤوسه أطوالًا لمثلث، مع حالة منحلة على الدائرة المحيطة. [1] خارج محيط الدائرة يكون المثلث غير منحل. [2]

• نختار A=(0,0)، B=(8,0)، C=(4,4√3)، ثم P=(2,√3). أضلاع ABC كلها 8، والمسافات من P هي PA=√7 و PB=√39 و PC=√31؛ لا تكون الأطوال الجديدة متساوية.
• دوران 60° حول A يرسل B إلى C و P إلى P′=(−1/2,3√3/2). المثلث PCP′ أضلاعه PP′=PA و CP′=PB و PC؛ هذه قطعة واحدة لكل مسافة أصلية.
• مربعات أطوال PCP′ هي 7 و 39 و 31، ومساحته 17√3/4. إذن رؤوسه غير مستقيمة، وتكون مجموعات طولَي ضلعين أكبر من الثالث. النتيجة مثبتة بالبناء والحساب الدقيق، لا بالتقريب.
• مركز الدائرة O=(4,4√3/3)، ونصف قطرها 8√3/3. عند Q=(4,−4√3/3) على المحيط، نجد QA=QB=8√3/3 و QC=16√3/3؛ إذن QA+QB=QC. الصورة Q′=O بين Q و C على x=4، والمساحة 0.
• تساوي أضلاع ABC شرط أساسي. في A=(0,0)، B=(8,0)، D=(1,1)، تعطي X=(1,0) الأطوال 1 و 7 و 1. مجموع الأصغرين 2 أقل من 7، فلا تشكل مثلثًا. هذا مثال يمنع حذف شرط الشكل الأصلي.
• إذا كانت النقطة رأسًا أصليًا، يصبح أحد الأبعاد 0 ولا يوجد مثلث عادي. التكبير بعامل 2 يضاعف أطوال المثال ويجعل مساحته 17√3، والإزاحة المشتركة تحفظ الأطوال والمساحة. البناء في مستوى واحد، ومركز الدوران يتحرك مع الإزاحة.

ابدأ بالمثلث الأصلي والمسافات الثلاث

نضع A=(0,0)، B=(8,0)، C=(4,4√3). مربع طول AB هو 64، ومربع طول AC يساوي 16+48=64، وكذلك BC. المثلث الأصلي متساوي الأضلاع، ومساحته 8×4√3/2=16√3 وحدة مربعة.

اختر P=(2,√3)، وهي نقطة داخل ABC. فهي فوق AB، وتحت خط AC الذي معادلته y=√3x، وتحت خط BC الذي معادلته y=√3(8−x). سنحسب المسافات من هذه النقطة إلى الرؤوس، ولا نأخذ أضلاع ABC نفسها أطوالًا للمثلث الجديد.

من P إلى A، فروق الإحداثيات 2 و√3؛ مربع المسافة 4+3=7. وإلى B الفروق −6 و√3، فالمربع 36+3=39. وإلى C الفروق −2 و −3√3، فالمربع 4+27=31. لذلك PA=√7 و PB=√39 و PC=√31.

هذه أعداد موجبة مختلفة. بقاؤها في الصورة الجذرية يحفظ الدقة؛ لا نستبدل√39 بالعدد 39، ولا نجمع مربعات المسافات على أنها أطوال. الجدول يضع طول كل قطعة إلى جانب مربعه لتثبيت هذا الفرق.

النقطة P ليست مركزًا للمثلث الأصلي ولا منتصف أحد أضلاعه؛ هي اختيار مستقل. المبرهنة لا تقصر النقطة على داخل المثلث. [1] لكن المثال الرئيسي الداخلي يجعل تتبع البناء في الصورة أوضح.

ابنِ المثلث الجديد بدوران ستين درجة

نستعمل دورانًا موجبًا بزاوية 60° حول A، يرسل B إلى C. إذا كانت P′ صورة P، فإن CP′=BP لحفظ المسافات. كذلك PP′=AP، لأن المثلث APP′ متساوي الأضلاع. إذن PCP′ يحمل المسافات الثلاث المطلوبة. [2]

للحساب، صيغة الدوران حول أصل الإحداثيات هي R(x,y)=(x/2−√3y/2,√3x/2+y/2). عند B=(8,0) نحصل على (4,4√3)، أي C فعلًا. نثبت جهة الدوران قبل تطبيقه على P؛ تغيير الإشارة يرسل B إلى الجهة الأخرى.

بالتعويض عن P=(2,√3)، يكون الإحداثي الأول 1−3/2=−1/2، والثاني√3+√3/2=3√3/2. لذلك P′=(−1/2,3√3/2). صورة النقطة ليست مجرد زيادة 60 على إحداثي أو نقلها أفقيًا؛ الدوران يغير المركبتين معًا.

في هذا المثال، AP′²=1/4+27/4=7، مثل AP². ومتجه PP′=(−5/2,√3/2) له مربع طول 25/4+3/4=7. كما أن AP·AP′=7/2؛ هذا يوافق زاوية 60° بين المتجهين غير الصفريين.

نرسم المثلث الأصلي بالأزرق، والقطعة PB بالوردي، وحد المثلث PCP′ بالبنفسجي. القطعة CP′ تمثل طول PB بعد الدوران، وليس طول PC. مطابقة الأسماء أهم من قرب لونين أو نقطتين في الصورة.

راجع الأضلاع والمساحة ومتباينة المثلث

متجه CP′=(−9/2,−5√3/2)، فيكون مربع طوله 81/4+75/4=39. ومتجه PC=(2,3√3) له مربع طول 31. وأثبتنا PP′²=7؛ هكذا تمت مطابقة الأضلاع الثلاثة مع PA و PB و PC دون قياس الشاشة.

مساحة PCP′ تساوي نصف القيمة المطلقة لمحدد PC و PP′. المحدد 2×√3/2−3√3×(−5/2)=17√3/2، فتكون المساحة 17√3/4. الجذر موجب، لذلك النقاط الثلاث ليست مستقيمة والمثلث ليس منعدم المساحة.

يمكن فحص أكبر ضلع√39 بمقارنة√7+√31 معه. مربع المجموع 38+2√217، وهو أكبر من 39 لأن 2√217>1. الطرفان موجبان، فيصح الرجوع من مقارنة المربعات إلى مقارنة الأطوال. لا يعني ذلك أن 7+31 يجب أن يتجاوز 39.

الشرطان الآخران مباشران:√7+√39 أكبر من√31 لأن√39 وحده أكبر منها، و√31+√39 أكبر من√7. لدينا إذن ثلاث متباينات صارمة، ومتباينة للمربعات ليست بديلًا عنها.

المثلث الجديد مختلف الأضلاع لأن 7 و 31 و 39 مختلفة. وأكبر زاوية فيه منفرجة، إذ 39>7+31. هذا التصنيف يخص PCP′ بعد إثبات وجوده؛ لا يناقض كون المثلث الأصلي ABC متساوي الأضلاع وحاد الزوايا.

على محيط الدائرة يتحول المثلث إلى خط

على الدائرة المحيطة بالمثلث المتساوي الأضلاع، يساوي أطول الأبعاد مجموع البعدين الأقصر، وهي الحالة المنحلة للمبرهنة. [1][2] سنختبر نقطة محددة بدل استنتاج وقوعها على دائرة من شكل الصورة.

في مثلثنا، يقع المركز O على x=4. مساواة مربع بعده عن A بمربع بعده عن C تعطي 16+y²=(4√3−y)²، ومنها y=4√3/3. إذن O=(4,4√3/3)، ومربع نصف القطر 64/3.

معادلة الدائرة (x−4)²+(y−4√3/3)²=64/3. اختر Q=(4,−4√3/3). فرقها عن O رأسي مقداره −8√3/3، ومربعه 64/3؛ فهي على المحيط، وليست فقط داخل القرص.

نحسب QA²=16+16/3=64/3، و QB²=64/3 أيضًا. أما QC فهو قطعة رأسية طولها 4√3+4√3/3=16√3/3. الجذور الموجبة تعطي QA=QB=8√3/3، لذلك QA+QB=QC بالضبط.

صورة Q بالدوران نفسه هي Q′=(4,4√3/3)، فتتطابق هنا مع O. تقع Q و Q′ و C على x=4، ويكون Q′ بين Q و C. القطعتان QQ′ و Q′C طول كل منهما 8√3/3؛ مجموعهما طول QC، والمساحة 0.

تطابق Q′ مع المركز خاص باختيارنا لهذه النقطة؛ ليس تعريفًا لصورة أي نقطة في المبرهنة. الصورة الثانية تبين المواضع بالأسماء نفسها وتضع Q′=O على النقطة المشتركة، فلا تبدو كأن هناك رأسين منفصلين هناك.

اختبر ما يحدث إذا لم يتساوَ المثلث الأصلي

لنستبدل C بالنقطة D=(1,1)، ونبقي A=(0,0) و B=(8,0). أضلاع ABD لها مربعات أطوال 64 و 50 و 2، فلا يكون متساوي الأضلاع. خذ X=(1,0)، وهي نقطة على AB بين طرفيه.

المسافات XA=1 و XB=7 و XD=1. مجموع الأصغرين 2، وهو أصغر من 7، فلا يمكن رسم مثلث بهذه الأطوال. ليست الحالة مساواة حدية؛ المتباينة المطلوبة تفشل أصلًا مع أطوال موجبة.

لم تعد صورة B بالدوران 60° حول A هي D. الصورة ما زالت (4,4√3)، بينما D=(1,1). لذلك لا نستطيع تحويل XB إلى DP′ بالطريقة السابقة؛ حلقة مطابقة المسافات تعتمد على الشكل المتساوي الأضلاع.

المثال لا يقول إن كل مثلث غير متساوي الأضلاع يفشل لكل نقطة. إنه يبين أن الشرط لا يمكن حذفه مع بقاء ضمان النتيجة للجميع. نراجع شكل ABC أولًا، ثم النقطة والمسافات، قبل تصنيف الأطوال أو رسم مثلث جديد.

افصل المحيط والرأس والتكبير

عبارة «خارج محيط الدائرة» في الخلاصة تعني أن النقطة لا تقع على الخط الدائري؛ قد تقع داخل القرص أو خارجه. [2] مثال P داخلي وذو مساحة موجبة، بينما Q على المحيط وتعطي مساواة. لا نحصر المبرهنة في النقاط الواقعة خارج القرص.

إذا كانت النقطة A نفسها، تصبح المسافات 0 و 8 و 8. لا يوجد مثلث عادي بضلع طوله 0؛ وهي حالة منعدمة تقع على الدائرة أيضًا. هنا تتطابق صورة النقطة مع نفسها، فلا نستعمل زاوية بين متجهين صفريين.

كبر المثال الرئيسي بعامل 2. تصبح A=(0,0)، B=(16,0)، C=(8,8√3)، P=(4,2√3)، وصورتها P′=(−1,3√3). مربعات المسافات 28 و 156 و 124، وأطوالها ضعف القيم الأصلية. المساحة 17√3، أربعة أمثال 17√3/4.

إذا أزحنا البناء الأصلي بمقدار (1,−2)، تتحرك جميع النقاط بالمقدار نفسه، وكذلك مركز الدوران A. تبقى المسافات والمساحة ثابتة. لا ندور النقطة المزاحة حول الأصل القديم ونزعم أن ذلك إزاحة للبناء كله.

عند التطبيق، تحقق من تساوي أضلاع المثلث الأصلي، وحدد مركز الدوران وجهته، ثم طابق PP′ و CP′ و PC بالمسافات الأصلية. افحص عدم الاستقامة أو حالة الدائرة، واكتب الأطوال والمساحة بوحداتهما المناسبة. المعالجة هنا في المستوى فقط.