مبرهنة كايزي: أطوال المماسات بين أربع دوائر

الخلاصة السريعة

للدوائر الأربع المنفصلة داخل الدائرة الخامسة، وبترتيب التماس حولها، نستخدم أطوال المماسات الخارجية في t12×t34+t14×t23=t13×t24. [2]

• المراكز O1=(4,0)، O2=(0,3)، O3=(−4,0)، O4=(0,−3)، وأنصافها1 و2 و1 و2. كل دائرة تمس من الداخل x²+y²=25؛ المسافة من الأصل إلى المركز مضافة إلى نصف القطر تساوي5.
• طول قطعة المماس المشترك الخارجي بين نقطتي التماس هو t=√(d²−(r−s)²)، حيث d بعد المركزين. [1] الخط غير محدود، لكن القطعة المطلوبة ذات طول محدد.
• في الأزواج12 و23 و34 و14 نجد d²=25 وفرق الأنصاف مقداره1، فيكون كل طول2√6. الزوج13 يعطي8، والزوج24 يعطي6؛ تساوي الأنصاف في زوج لا يلغي مماسيه الخارجيين.
• تعطي المنتجات24+24=48، وهو نفسه8×6. إذا استبدلنا المماسات بأبعاد المراكز نحصل على25+25=50 مقابل48؛ المركز ليس نقطة التماس.
• المماسات الداخلية تعطي4 للأزواج المتجاورة، و2√15 و2√5 للزوجين الآخرين. ينتج32 مقابل20√3، وهما مختلفان. لا نغير نوع المماس ونحتفظ بصيغة الحالة نفسها.
• أربع دوائر منفصلة تمس الخامسة داخليًا. [1][2] التكبير بعامل2 يجعل المنتجات192؛ الحساب للمثال، دون برهان عام أو عكس.

تحقق من الدائرة الخامسة ومن انفصال الدوائر

نختار دائرة كبيرة مركزها O=(0,0) ونصف قطرها5. الدوائر الأربع مراكزها O1=(4,0)، O2=(0,3)، O3=(−4,0)، O4=(0,−3)، وأنصافها r1=1 وr2=2 وr3=1 وr4=2. أسماء المراكز تميزها عن محيط كل دائرة.

لكل دائرة صغيرة، بعد مركزها عن O هو4 أو3. نجد4+1=5 و3+2=5، فتقع داخل الدائرة الكبيرة وتماسها داخلي. نقاط التماس الكبيرة بالترتيب K1=(5,0)، K2=(0,5)، K3=(−5,0)، K4=(0,−5).

بين مركزي دائرتين متجاورتين مربع المسافة4²+3²=25، بينما مربع مجموع نصفي القطر(1+2)²=9. إذن الدائرتان منفصلتان. وبين1 و3 نجد64 أكبر من4، وبين2 و4 نجد36 أكبر من16؛ ينطبق الانفصال على الأزواج الستة.

نوع التماس بالدائرة الخامسة واحد، لذا نستخدم المماسات الخارجية. [1] حالات التماس المختلط خارج نطاق المثال.

نرتب الدوائر1 ثم2 ثم3 ثم4 حسب نقاط تماسها حول الدائرة الكبيرة. الزوجان13 و24 يقابلان الأزواج غير المتجاورة في هذا الترتيب. الرسم ليس أربع دوائر تمس بعضها بعضًا؛ الذي يجمعها هو تماس كل واحدة بالدائرة الخامسة.

المطلوب قطعة بين نقطتي تماس

في المماس المشترك الخارجي يقع المركزان في الجهة نفسها من خط المماس. وطول القطعة بين نقطتي التماس هو t=√(d²−(r−s)²). [1] لا نستخدم طول المستقيم كله، ولا القطعة بين المركزين.

عند إسقاط المركزين على المماس، يكون البعد بين الإسقاطين t، والفرق في المسافتين العموديتين r−s. لذلك d²=t²+(r−s)². هذا مثلث قائم يفسر طرح مربع الفرق، ولا يفترض أن أنصاف القطر متساوية. [1]

لنراجع الزوج12 بإحداثيات نقاط فعلية. ضع α=(4+6√6)/25 وβ=(−3+8√6)/25. متجه n=(α,β) طوله1؛ نأخذ P=(4+α,β) على الدائرة1 وQ=(2α,3+2β) على الدائرة2.

من المركز الأول إلى P المتجه n، ومن الثاني إلى Q المتجه2n. كذلك −4α+3β=−1، فيكون n عموديًا على Q−P=(−4+α,3+β). إذن PQ يلامس الدائرتين في النقطتين المحسوبتين، ونصفا القطر في الجهة نفسها.

مربع PQ يساوي24، وطوله2√6. الإحداثيات الدقيقة تحدد نقطتي التماس، أما قيمة4.899 تقريبًا فتساعد في قراءة الرسم فقط. اختيار المماس الخارجي الآخر للزوج يعطي طول القطعة نفسه؛ لا نجمع طولَي المماسين.

احسب الأطوال الستة قبل ضربها

بين O1 وO2 مربع البعد25، وفرق الأنصاف1−2=−1. تربيع الفرق يعطي1، لذلك t12=√(25−1)=2√6. لو استعملنا1+2 بدل الفرق لوجدنا4؛ ذلك طول نوع آخر من المماسات.

التناظر في المثال يجعل t23 وt34 وt14 مساوية للقيمة نفسها. هذا اتفاق خاص بأرقامنا. لا تقول المبرهنة إن جميع المماسات بين أربع دوائر متساوية، ولا نحتاج هذا التساوي لتسمية الصيغة العامة.

بين O1 وO3 البعد8 والنصفان1 و1؛ مربع الفرق0، فنجد t13=8. وبين O2 وO4 البعد6 والنصفان2 و2، فنجد t24=6. المماسان الخارجيان لكل زوج متساوي الأنصاف متوازيان، لكن قطعتَي التماس لهما طول غير صفري.

الجدول يسجل مربع بعد المركزين إلى جانب طول قطعة المماس. الرقم25 لا يمثل طولًا؛ بعد المركزين5. والرقم24 مربع طول المماس، بينما2√6 طوله. نحتفظ بهذه المستويات منفصلة حتى لا تدخل مربعات في مكان أطوال.

الزوج13 مثلًا له مماس عند y=1 بين النقطتين(4,1) و(−4,1). ويمكن للخط نفسه أن يمس دائرة أخرى أيضًا في هذا المثال؛ طول القطعة المقصودة يظل المسافة بين نقطتي تماس الزوج المحدد.

راجع المساواة ثم قارن بأبعاد المراكز

نجمع منتجَي المماسات للزوجين12 مع34، و14 مع23، لنجد منتج13 مع24: t12×t34+t14×t23=t13×t24. [2]

كل حاصل ضرب في الطرف الأيسر هو(2√6)(2√6)=24. يصبح المجموع24+24=48. الطرف الأيمن8×6=48. تحقق الجذور والأنصاف المختلفة مساواة دقيقة، لا اتفاقًا ناشئًا من تقريب القيم.

الآن جرّب أبعاد المراكز وحدها: المسافات المتجاورة5، والأخرى8 و6. سيصبح المجموع5×5+5×5=50، بينما المنتج الآخر8×6=48. لذلك لا نستبدل t12 بمسافة O1O2 رغم أن كليهما طول.

كايزي تعمم بطليموس باستعمال المماسات؛ وعند انعدام الأنصاف تعود الحالة النقطية. [2] هنا الأنصاف موجبة، فلا نستبدل الدوائر بمراكزها.

الرسم يظهر أن المراكز تقع على بعد3 أو4 من الأصل، لا5. وبسبب تناظر المراكز حول المحورين لا توجد دائرة تمر بها جميعًا: مركز أي دائرة تجمع الزوجين المتناظرين يجب أن يكون الأصل، لكن بعديه إلى الزوجين مختلفان. هذا يفسر فشل مساواة أبعاد المراكز.

المماس الداخلي يعطي أطوالًا أخرى

في الزوج12، المماس الداخلي y=1 يلمس الدائرة1 في U=(4,1)، والدائرة2 في V=(0,1). المركز الأول أسفل الخط، والثاني فوقه. طوله UV=4، لا2√6؛ هذه قطعة مختلفة عن PQ الخارجية.

خط المركزين يلتقي y=1 عند H=(8/3,1)، الواقعة بين U وV. لذلك يعبر هذا المماس المسار الواصل بين المركزين. في المثال القائم الموافق للمماس الداخلي تدخل1+2=3، فيكون الطول√(25−9)=4.

للأزواج12 و23 و34 و14 تكون الأطوال الداخلية4. للزوج13 نجد√(64−(1+1)²)=2√15، وللزوج24 نجد√(36−(2+2)²)=2√5. كل هذه المقادير حقيقية لأن الدوائر منفصلة في أزواجها.

إدخالها في صيغة الحالة الخارجية نفسها يعطي4×4+4×4=32، بينما(2√15)(2√5)=20√3. لم تتغير الدوائر؛ تغير نوع المقاطع المستخدمة. نختبر المساواة بمربعي الطرفين الموجبين:32²=1024 و(20√3)²=1200.

القيمتان مختلفتان. هذا لا ينفي صيغ كايزي الأخرى التي تختار المماسات بحسب أنواع التماس؛ إنه يرفض تبديل جميع المقاطع في حالتنا ثم نقل الهوية دون شروط. اللوحة الداخلية تميز PQ الخارجية عن UV الداخلية للزوج نفسه.

افحص الوحدات والمقياس وحدود النتيجة

كل حاصل ضرب من طولين له وحدة مربعة. لكن قيمة48 ليست مساحة الدائرة الكبيرة، ومساحتها25π، ولا مجموع مساحات الأقراص الصغيرة10π. الاشتراك في نوع الوحدة لا يجعل الكميات متساوية.

التكبير بعامل2 يجعل نصف الدائرة الكبيرة10، والأنصاف الصغيرة2 و4 و2 و4. المماسات المتجاورة4√6، والأخرى16 و12. لذلك48 يصبح192، لأن كل حاصل ضرب يزيد أربع مرات؛ الأطوال نفسها تتضاعف فقط.

الإزاحة بمقدار(2,−1) تنقل المركز الكبير إلى(2,−1)، والمراكز الصغيرة إلى(6,−1)، (2,2)، (−2,−1)، (2,−4). كل فرق بين مركزين وكل طول مماس محفوظ. الدوران يحفظ الأطوال والتماس أيضًا.

نتحقق من ترتيب التماس ووجود المماسات الحقيقية. الحالة أربع دوائر منفصلة داخل خامسة، وكل تماس معها داخلي. [1][2]

الحساب السابق مراجعة كاملة للمثال المؤلف، وليس برهانًا لكل وضع للدوائر. لا نستنتج وجود دائرة خامسة من مساواة عددية وحدها، ولا نطبق عكس المبرهنة أو حالة دائرة تحيط بثلاث أخرى. تحديد نوع المماس جزء من المسألة.