مبرهنة مونج: مراكز التشابه الخارجية لثلاث دوائر على مستقيم

الخلاصة السريعة

تنص مبرهنة مونج على استقامة ملتقيات أزواج المماسات المشتركة الخارجية لثلاث دوائر في البناء الذي توجد فيه تلك الملتقيات. [1] ندرس هنا دوائر منفصلة ذات أنصاف موجبة مختلفة زوجيًا، حتى تكون النقاط الثلاث منتهية.

• مركز التشابه الخارجي لزوج دوائر هو ملتقى المماسين المشتركين الخارجيين، وهو مركز التحاكي ذي المعامل الموجب بين الدائرتين. [2] نميزه عن مركزي الدائرتين ونقطتي التماس.
• في المثال أنصاف A و B و C هي 1 و 2 و 3. مربعات أبعاد المراكز 144 و 164 و 116، أكبر من مربعات مجموع الأنصاف 9 و 25 و 16؛ لذلك الدوائر منفصلة خارجيًا وتوجد المماسات المطلوبة.
• للزوج ذي المركزين U و V ونصفي القطر a و b، نحصل على E=(bU−aV)/(b−a)، بشرط a≠b. تعطي الأزواج P=(−12,0)، Q=(28,−20)، T=(−2,−5)، وكلها تحقق x+2y+12=0.
• في المثال 3P+Q−4T=0، أي T=(3P+Q)/4، فتقع T بين P و Q. ولأنصاف مختلفة زوجيًا، تلغي أوزان الفروق المقسومة على حاصل ضرب الأنصاف بعضها، وتلغي معها متجهات المراكز؛ هذا يفسر الاستقامة جبريًا.
• استخدام الجمع بدل الطرح يعطي مراكز التشابه الداخلية: (4,0)، (44/5,4)، (1,5/2). محدد الفروق 24، فتكوّن مثلثًا مساحته 12، ولا تحقق استقامة المراكز الخارجية. لا تبدل نوع المركز أثناء الحساب.
• إذا تساوى نصفا A و B عند 1، صار مماساهما الخارجيان y=1 و y=−1 متوازيين، فلا توجد P منتهية. يبقى Q=(16,−5) و T=(−2,−5) على y=−5. والتكبير بعامل 2 يحفظ الاستقامة ويغير خط المثال الأصلي إلى x+2y+24=0.

حدد المركز الخارجي قبل اختبار الاستقامة

لكل زوج نأخذ المماسين المشتركين الخارجيين؛ عند وجود تقاطعهما المنتهي نسمّي الملتقى مركز التشابه الخارجي. هو أيضًا مركز التحاكي الذي يحول إحدى الدائرتين إلى الأخرى بمعامل موجب. [2] لا نعد نقطة التماس مركزًا للتشابه.

التحاكي بمعامل موجبλ ومركز E يرسل كل نقطة X إلى E+λ(X−E). إذا كانλ أكبر من 1 توسعت المسافات من E، وإذا كان بين 0 و 1 تقلصت. يبقى الاتجاه من E إلى النقطة دون انعكاس؛ سنختارλ بنسبة نصفي القطر.

نميز بين المماس المشترك وبين القطعة التي تصل مركزي الدائرتين. المماس يلامس كل محيط في نقطة، بينما خط المركزين يمر بالمركز الخارجي أيضًا. يمكن أن تكون E بعيدة عن الدائرتين؛ لا يلزم وقوعها بينهما.

نسمي P مركز الزوج AB، و Q مركز BC، و T مركز CA. تنص نتيجة مونج على استقامة هذه النقاط في البناء المطلوب. [1] سنحسب كل نقطة من زوجها، ثم نفحص الخط المشترك؛ لا نفترض الخط أولًا لنضع النقاط عليه.

تحقق من الدوائر الثلاث والمماسات المطلوبة

نأخذ A=(0,0)، B=(12,0)، C=(4,10)، وأنصافها 1 و 2 و 3 على الترتيب. مربع AB هو 144، ومربع BC هو (12−4)²+10²=164، ومربع CA هو 4²+10²=116. لا نخلط نصف القطر بمربعه.

مربعات مجموع الأنصاف هي (1+2)²=9، و (2+3)²=25، و (3+1)²=16. كل مربع بعد بين مركزين أكبر من المجموع المناسب؛ لذلك لا يتداخل القرصان في أي زوج. هذه شروط أقوى مما نحتاج لبعض صيغ المبرهنة، لكنها تجعل المثال واضحًا.

لدائرتين منفصلتين أنصافهما مختلفة، يمكن الوصول إلى المماسين الخارجيين من مركز التحاكي الموجب. بما أن المركز الخارجي بعيد عن كل دائرة أكثر من نصف قطرها، يوجد مماسان من تلك النقطة إلى الأولى، وتحولهما العلاقة إلى مماسين للثانية. سنراجع ذلك عدديًا لأحد الأزواج.

الرسم الرئيسي يعرض الدوائر بمقياس موحد، وأزواج المماسات ممتدة حتى P و Q و T. الخط الأزرق يمر بالملتقيات الثلاث. تختلف هذه المماسات عن الخط الأزرق وعن القطع الواصلة بين المراكز؛ لون واحد لا يستبدل فحص المعادلات.

استخرج مركز التشابه من تحويل مركز الدائرة

للزوج ذي المركزين U و V ونصفي القطر a و b، يكون معامل التحاكيλ=b/a موجبًا. صورة U يجب أن تكون V، لذلك V=E+(b/a)(U−E). بعد الضرب في a وإعادة الترتيب نحصل على E=(bU−aV)/(b−a)، حين a≠b.

التحويل نفسه يضاعف كل بعد عن U بعامل b/a، فيرسل محيط نصفه a إلى محيط نصفه b. كما أنه يثبت كل مستقيم يمر بمركزه E. لذلك صورة مماس من E للدائرة الأولى مماس على المستقيم نفسه للدائرة الثانية، فيكون مشتركًا خارجيًا.

بالتعويض للأزواج الثلاثة نجد P=(2A−B)/(2−1)=(−12,0)، و Q=(3B−2C)/(3−2)=(28,−20)، و T=(C−3A)/(1−3)=(−2,−5). في الزوج CA استعملنا a=3 و b=1؛ لا نغير ترتيب الأنصاف دون تغيير ترتيب المراكز معه.

للزوج AB، معادلتا المماسين من P هما x+12+√143y=0 و x+12−√143y=0. البعد العمودي من A إلى كل خط 12/√144=1، ومن B إليه 24/√144=2. تعويض P يعطي 0؛ إذن يلتقي المماسان في P ويمسان الدائرتين فعلًا.

افحص الخط وفسر إلغاء المتجهات

عند P نجد −12+0+12=0، وعند Q نجد 28−40+12=0، وعند T نجد −2−10+12=0. إذن النقاط الثلاث تحقق x+2y+12=0. كما أن P و Q مختلفتان، فتحددان خطًا وحيدًا. ميله −1/2، ولا نفترض أن مراكز A و B و C مستقيمة.

في المثال 3P+Q−4T=0. بحلها بالنسبة إلى T نجد T=(3P+Q)/4، وهو متوسط موزون بمعاملين 3/4 و 1/4 مجموعهما 1. لذلك تقع T على القطعة PQ، على ربع الطريق من P إلى Q؛ الفرق T−P=(10,−5) هو ربع Q−P=(40,−20).

لنكتب a و b و c لأنصاف الدوائر ذات المراكز A و B و C. صيغ المراكز الخارجية تعطي[(b−a)/(ab)]P=A/a−B/b، و[(c−b)/(bc)]Q=B/b−C/c، و[(a−c)/(ca)]T=C/c−A/a. هذه معادلات متجهات، فالقسمة تكون لكل إحداثي.

بجمع المعادلات تختفي متجهات المراكز. كذلك مجموع الأوزان يساوي (1/a−1/b)+(1/b−1/c)+(1/c−1/a)=0. عندما تكون الأنصاف مختلفة زوجيًا تكون الأوزان غير صفرية، فيمكن عزل T كتوليفة من P و Q بمعاملين مجموعهما 1؛ فتثبت الاستقامة. هذا البرهان الجبري يخص المراكز المنتهية المحددة بالصيغ.

لا تخلط المراكز الداخلية بالخارجية

إذا استعملنا معامل التحاكي السالب −b/a، أصبح المركز بين U و V وحصلنا على I=(bU+aV)/(b+a). الفرق بين الصيغتين ليس تغييرًا شكليًا للإشارة: المعامل السالب يعكس الاتجاه من مركز التحاكي.

تطبيق صيغة الجمع على الأزواج الثلاثة يعطينا I₁=(4,0)، I₂=(44/5,4)، I₃=(1,5/2). هذه المراكز ليست P و Q و T. مثلًا I₁ بين A و B، بينما P خارج القطعة عند الإحداثي −12.

الفروق I₂−I₁=(24/5,4)، و I₃−I₁=(−3,5/2). محددهما (24/5)(5/2)−4(−3)=24؛ نصف القيمة المطلقة يعطي مساحة 12. إذن المراكز الداخلية الثلاثة ليست مستقيمة في هذا المثال.

يكفي هذا لرفض استبدال المراكز الثلاثة كلها بالداخلية ثم نقل النتيجة نفسها. لا نزعم أن أي اختيار يمزج أنواع المراكز يفشل، ولا نناقش تعميمات الاتجاهات هنا. راجع إشارة المعامل ونوع المماس قبل تسمية نقطة الحساب.

تعامل مع تساوي الأنصاف والتكبير قبل القسمة

نغير نصف B إلى 1، ونبقي A و C كما هما. للزوج AB صار المقام b−a صفرًا؛ لا تعطي الصيغة نقطة منتهية. مماساهما الخارجيان y=1 و y=−1 متوازيان ومختلفان، كما يوضح الرسم الداخلي. لا نقسم على صفر ولا نسمي النتيجة عددًا كبيرًا.

يبقى نصف C هو 3، فنحصل على Q=(3B−C)/2=(16,−5)، و T=(C−3A)/(1−3)=(−2,−5). الخط بينهما y=−5، وموازٍ للمماسين الخارجيين للزوج المتساوي. لا يمر بمحوري الدائرتين عند y=0، ولا يستبدل إحدى نقطتي التماس.

نرجع إلى الأنصاف 1 و 2 و 3، ونكبر الشكل كله بعامل 2. تصبح المراكز A=(0,0)، B=(24,0)، C=(8,20)، والأنصاف 2 و 4 و 6. المراكز الخارجية P=(−24,0)، Q=(56,−40)، T=(−4,−10)، وخطها x+2y+24=0.

تتضاعف الإحداثيات والأطوال، بينما تبقى نسبة نصفي القطر ومعامل التحاكي كما هما. راجع أولًا وجود المماسات المطلوبة واختلاف الأنصاف، ثم احسب المراكز من الصيغة، وافحص خطًا واحدًا. المبرهنة مرجعية، والصيغ والإلغاء والفحوص هنا توضح البناء المنتهي؛ لا نعالج مراكز عند اللانهاية أو دوائر متطابقة.