مبرهنة هولديتش في الدائرة: وتر متحرك ومساحة ثابتة

الخلاصة السريعة

في الحالة الدائرية، مسار نقطة تقسّم وترًا ثابتًا إلى طولين a و b دائرة نصف قطرها r=√(R²−ab)، وفرق المساحتينπab. [1]

• نختار دائرة مركزها O=(0,0) ونصف قطرها 13، ووترًا طرفاه A=(5,−12) و B=(5,12). النقطة P=(5,−7) تقسمه إلى AP=5 و PB=19؛ طوله الكامل 24.
• ربع دورة يحول P إلى P′=(7,5)، مع بقاء بعده عن O مساويًا√74. دوران الوتر دورة كاملة يرسم للنقطة دائرة كاملة، وليس مجرد موضعين منفصلين.
• مساحة القرص الأصلي 169π ومساحة قرص المسار 74π؛ الفرق 95π، ويساويπ×5×19. هذا فرق مساحتين، لا فرق محيطين ولا مساحة قطعة دائرية يحدها وتر واحد.
• إذا صار نصف قطر الدائرة 15 مع الوتر نفسه 24 وتقسيمه 5 و 19، يصبح مربع نصف قطر المسار 130. الفرق 225π−130π=95π يبقى نفسه؛ الذي ثبت هو طول كل قطعة من الوتر.
• منتصف الوتر مختلف عن P: التقسيم 12 و 12 يعطي فرق مساحة 144π، لا 95π. وإذا كبرنا الرسم كله بعامل 2، تصير القطعتان 10 و 38 والفرق 380π؛ التكبير لا يثبت أطوالهما.
• المصدر يعرض المبرهنة لمنحنى أملس محدب مغلق مع شروط إضافية. [1] هنا نبرهن الدائرة فقط، ونفصل هذا البرهان عن تطبيق غير مفحوص على منحنيات عامة.

ثبت الوتر والنقطة المختارة

لدائرتنا المعادلة x²+y²=169. عند A=(5,−12) نجد 25+144=169، وكذلك عند B=(5,12). النقطتان على المحيط، والقطعة بينهما رأسية، وطولها 12−(−12)=24. القوس المنحني بينهما ليس القطعة التي نحركها.

تقع P=(5,−7) بين الطرفين. فرق الإحداثي الرأسي من A إلى P هو −7−(−12)=5، ومن P إلى B هو 12−(−7)=19. نجمع 5 و 19 فنستعيد 24، ولا نعامل هذين العددين كنصفي طول متساويين.

منتصف الوتر M=(5,0)، وهو مختلف عن P. القطعة OM أفقية وطولها 5، والوتر رأسي؛ لذلك OM عمودية عليه. نصف طول الوتر 12، ومن المثلث القائم OMA نجد 5²+12²=13². هذه مراجعة مستقلة لاختيار موضع الوتر.

حين نقول إن الوتر ثابت، نقصد بقاء طوله 24 وبقاء موضع P النسبي عليه: تبعد 5 عن الطرف A و 19 عن الطرف B. لا نختار نقطة جديدة عند كل زاوية، ولا نثبت P في المكان بينما يتحرك الطرفان حولها.

أدر الوتر واقرأ المسار

لدوران موجب بمقدار 90° حول O، تتحول (x,y) إلى (−y,x). إذن A′=(12,5)، B′=(−12,5)، M′=(0,5)، P′=(7,5). صار الوتر أفقيًا، لكن A′P′=5 و P′B′=19، فموضع التقسيم محفوظ.

مربع OP يساوي 5²+(−7)²=74، ومربع OP′ يساوي 7²+5²=74 أيضًا. الدوران يحفظ البعد عن المركز لكل زاوية، وليس عند 90° فقط. ولأن النقطة غير المركز، فإن دورة كاملة للوتر تولد دورة كاملة لمسارها حول O.

يمكن متابعة الإحداثيات عبر زاويةθ: Pθ=(5cosθ+7sinθ,5sinθ−7cosθ). عند تربيع المركبتين وجمعهما تلغى الحدود المختلطة، ويظهر 74(cos²θ+sin²θ)=74. هذا يثبت دائرة المسار x²+y²=74 في مثالنا.

أنصاف القطر 13 و√74 ليست طولَي الوتر 5 و 19. الأولان يقاسان من O، والآخران على AB. كما أن M يرسم دائرة نصف قطرها 5، لأن OM=5؛ رسم مسار المنتصف بدل مسار P يغير المسألة التي نحسبها.

اطرح المساحتين واستخرج العلاقة

مساحة القرص ذي نصف القطر 13 هي 169π. ومساحة القرص الذي حدّه مسار P هيπ(√74)²=74π. القرص الثاني داخل الأول ومتحد المركز معه، ولذلك مساحة الحلقة بين الحدينΔS=169π−74π=95π. الجذر لا يحتاج تقريبًا قبل التربيع.

في الدائرة، نكتب طول الوتر a+b، وبعد منتصفه عن المركز h. في إحداثيات يكون فيها الوتر رأسيًا، مربع h يساوي R²−(a+b)²/4. إزاحة نقطة التقسيم عن المنتصف هي (a−b)/2، وقد تكون سالبة؛ نحن سنربعها.

من التعامد يصبح r²=h²+(a−b)²/4. وبالتعويض r²=R²−(a+b)²/4+(a−b)²/4. الفرق بين المربعين −4ab، فتختزل العبارة إلى r²=R²−ab. وبطرح مساحتي القرصين نجدΔS=πR²−πr²=πab؛ هذه حجة للحركة الدائرية التي اخترناها.

في مثالنا a=5 و b=19، فيكون ab=95. كذلك h=5 والإزاحة عن المنتصف −7، فينتج r²=25+49=74. الأبعاد تظهر بوضوح: حاصل ضرب طولين يعطي مساحة بعد ضربه فيπ، بينما محيط الدائرة يتطلب طولًا واحدًا.

غير الدائرة وثبت قطعتي الوتر

للمقارنة نأخذ دائرة مركزها O نفسه ونصف قطرها 15. نضع C=(9,−12)، D=(9,12)، N=(9,0)، Q=(9,−7). تحقق 81+144=225 عند الطرفين، إذن CD وتر في الدائرة الجديدة، وطوله 24 كالسابق.

ما زال CQ=5 و QD=19، لكن بعد المنتصف N عن O صار 9 بدل 5. لذلك مربع OQ هو 9²+(−7)²=130. عندما ندير هذه القطعة، يرسم Q دائرة نصف قطرها√130؛ حد المسار الجديد أبعد من حد المسار الأول.

مساحة الحلقة الجديدة 225π−130π=95π. زادت مساحة القرص الخارجي بمقدار 56π، وزادت مساحة قرص المسار بمقدار 56π أيضًا. التعادل في الزيادتين يفسر ثبات الفرق، رغم أن أيًا من المساحتين منفردة لم تثبت.

لا نستنتج من هذا أن فرق المساحة يبقى ثابتًا عند أي تغيير هندسي. الذي أبقيناه هو التقسيم 5 و 19 مع حركة دورانية على دائرة. تمديد محور واحد أو تغيير طول الوتر يحتاج حسابًا جديدًا؛ الصورة الثانية توضح تغيير R وحده.

افصل المنتصف عن نقطة التقسيم

إذا اخترنا M بدل P على الوتر الأول، تصبح القطعتان 12 و 12. مسار M دائرة نصف قطرها 5، فمساحة قرصه 25π، والفرق 169π−25π=144π. المسار الأصغر هنا يعطي حلقة أكبر؛ ليس هذا تناقضًا مع 95π، لأن النقطة المختارة تغيرت.

لا نضع 24×24 مكان 5×19، لأن 24 طول الوتر الكامل، وليس طول كل قطعة منه. كما لا نضع 5+19 في صيغة المساحة: المجموع طول، والضرب حاصل طولين. تعريف a و b جزء من المسألة، وليس مجرد اسمين يمكن مبادلتهما بنصف القطر.

لعرض الفروق نضع في الجدول الدائرتين 13 و 15 مع التقسيم نفسه، ثم المنتصف في الدائرة 13. العمود الخاص بمربع نصف قطر المسار يراجع الطرح مباشرة؛ لا نعتمد على مقدار اللون الظاهر في رسم مصغر لاستخراج المساحة.

راجع شروط الدائرة والتكبير

حتى يوجد وتر بطول a+b في دائرة نصف قطرها R، نحتاج a+b≤2R، وهو ما يظهر في h²=R²−(a+b)²/4≥0. نختار a و b موجبين لتكون النقطة داخل الوتر. وفي أمثلتنا r² موجب، فينتج مسار دائري غير منكمش إلى نقطة.

في الدائرة 13 لدينا 24 أقل من 26، وفي الدائرة 15 لدينا 24 أقل من 30. أما قطر طولُه 26 في الدائرة 13، إذا قسمناه 13 و 13، فيكون r²=169−169=0؛ نقطة التقسيم هي O نفسه وتبقى ثابتة. لا نسمي هذا مسارًا دائريًا بنصف قطر موجب.

إذا كبرنا المثال الأول كله بعامل 2، يصبح R=26 وطول الوتر 48، والقطعتان 10 و 38. مربع نصف قطر المسار يصير 296، والفرق 676π−296π=380π، أي أربعة أمثال 95π. هذه عملية مختلفة عن تغيير R إلى 15 مع إبقاء الوتر 24.

إزاحة الرسم بمقدار (2,−3) تنقل المركز إلى O=(2,−3)، و P إلى (7,−10). فرق الإحداثيات بينهما ما زال (5,−7)، فالمسافات وفرق المساحة لا يتغيران. نكتب وحدات مربعة للحلقة، ونحتفظπ حتى نحتاج جوابًا عشريًا.

النص المرجعي يشترط شروطًا إضافية للحركة على منحنى عام. [1] اشتقاقنا تحقق للدائرة؛ لا نقدم منه برهانًا لكل منحنى محدب، ولا نستنتج تحقق تلك الشروط بمجرد رؤية وتر يتحرك في رسم.