متباينة كوشي شفارتز: حد الضرب القياسي وحالات المساواة

الخلاصة السريعة

في مثالنا، مربع الضرب القياسي 25 وحاصل ضرب مربعي الطولين 50، لذا 25 ≤ 50. المساواة ممكنة عند B=(4,2) وعند B=(−4,−2) أيضًا؛ في الحالة الثانية يكون الضرب القياسي −10، وتبقى قيمته المطلقة 10.

• للمتجهات الحقيقية بالضرب القياسي والطول الإقليدي، القيمة المطلقة للضرب القياسي لا تتجاوز حاصل ضرب الطولين. يجوز مقارنة مربع الضرب بحاصل ضرب مربعي الطولين لتجنب الجذور. [1]
• في A=(2,1) و B=(1,3)، الضرب 2 × 1 + 1 × 3 = 5، ومربعا الطولين 5 و 10. إذن 5² = 25 و 5 × 10 = 50؛ الفرق 25، والمساواة لا تتحقق في هذا الزوج.
• الزاوية بين هذين المتجهين 45°، وجيب تمامها 5/√50. الصورة الرئيسية ترسمهما من مبدأ واحد وبمقياس موحد؛ نسبة الضرب إلى حاصل ضرب الطولين هنا نحو 0.707، وليست 5 ولا 7.071.
• عند B=(4,2)، يكون الضرب 10 وحاصل ضرب الطولين 10، فتتحقق المساواة. وعند B=(−4,−2)، يصبح الضرب −10 وتتحقق المساواة بعد القيمة المطلقة أو التربيع؛ الزاويتان 0° و 180°، وليستا الزاوية نفسها.
• في الجدول يبقى A ثابتًا. عند B=(−1,2)، الضرب 0 والزاوية 90°، لكن حاصل ضرب مربعي الطولين 25؛ التعامد لا يحقق المساواة هنا. وفارق الطرفين في بعدين يساوي مربع المحدد؛ محدد الزوج الأصلي 5، ومربعه 25.
• إذا كان B=(0,0)، تساوى طرفا المتباينة عند 0. لكن لا نعرف زاوية بينه وبين A من قسمة الضرب على حاصل ضرب الطولين؛ المقام 0 والمتجه الصفري لا يحدد اتجاهًا. ولا تحذف القيمة المطلقة لتفحص المساواة، ولا تقسم مركبات صفرية لتبحث عن التناسب.

نحسب الضرب والطولين من مركبات متعامدة

نستخدم محورين ديكارتيين متعامدين ومقياسًا واحدًا. الضرب القياسي يجمع حاصل ضرب المركبتين المناظرتين؛ ومربع الطول الإقليدي يجمع مربعي المركبتين. الضرب هنا عدد، وليس متجهًا جديدًا. [2]

المتجه A=(2,1) طوله√5، لأن 2² + 1² = 5. والمتجه B=(1,3) طوله√10، لأن 1² + 3² = 10. ونحسب الضرب 2 × 1 + 1 × 3 = 5. هذه متجهات رياضية بلا وحدات مفترضة، وليست قوتين مقاستين.

حاصل ضرب الطولين√50، ومربعه 50. ومربع الضرب القياسي 5² = 25. المقارنة 25 ≤ 50 دقيقة؛ إذا استعملت الجذور فالمقارنة 5 ≤ √50، مع√50 ≈ 7.071. لا نقارن 5 مباشرة مع 50؛ أحدهما ضَرب والأخرى مربع حاصل ضرب الطولين.

القيمة المطلقة تحفظ الحد في الاتجاهين

نكتب المتباينة|A·B| ≤ ‖A‖ × ‖B‖. الرمز‖A‖ طول المتجه الإقليدي، أما|A·B| فقيمة مطلقة لعدد. تربيع الطرفين يحافظ على المقارنة لأنهما غير سالبين. [1]

للمتجهين غير الصفريين، تحدث المساواة عندما يكون أحدهما مضاعفًا عدديًا للآخر؛ المضاعف قد يكون موجبًا أو سالبًا. لذلك فالتناسب لا يقتصر على اتجاه واحد. [1]

للزاوية بين متجهين غير صفريين، يكون الضرب القياسي حاصل ضرب الطولين في جيب تمام الزاوية. استخراج جيب التمام بالقسمة يحتاج طولين غير صفريين. [2]

في زوجنا الأصلي، جيب التمام 5/√50، أي 1/√2، فنحصل على زاوية 45°. النسبة بين −1 و 1 وليست حاصل الضرب 5 نفسه. الصورة تقيس الزاوية بين السهمين، لا زاوية أحدهما من المحور الأفقي.

يمكن كذلك بيان حدين للضرب الموقع: لا يقل عن سالب حاصل ضرب الطولين، ولا يزيد على موجبه. هذا يفسر كيف يسمح الحد بضرب سالب؛ الإشارة تحمل معلومة الاتجاه، بينما القيمة المطلقة تصف المقدار.

الفرق في بعدين مربع لا يمكن أن يكون سالبًا

نكتب المتجه الأول (a,b) والثاني (c,d). عند توسيع حاصل ضرب مجموعي مربعات المركبات، ثم طرح مربع (ac + bd)، تلغى الحدود المشتركة، ويبقى a²d² + b²c² − 2abcd. هذا يساوي (ad − bc)²، وهو غير سالب. هكذا نحصل على برهان جبري في بعدين دون حساب زاوية.

في الزوج الأصلي، المحدد 2 × 3 − 1 × 1 = 5. مربعه 25، وهو الفارق 50 − 25 = 25 بين طرفي المقارنة المربعة. لا تخلط المحدد بالضرب القياسي؛ المحدد يطرح حاصلَي ضرب متقاطعين، والضرب القياسي يجمع حاصلَي ضرب مناظرين.

إذا صار المحدد 0 في بعدين، اختفى الفارق وتحققت المساواة. لا يفرض هذا أن كل مركبة غير صفرية حتى نقسم مركبة على أخرى. تستطيع فحص المحدد أو كتابة مضاعف متجه معلوم مباشرة؛ مع الحالات الصفرية نتجنب قسمة 0 على 0.

متجه في الاتجاه نفسه وآخر في الاتجاه المعاكس

نبقي A=(2,1)، ونجعل B=(4,2)، أي 2A. الضرب 10، ومربعا طولي المتجهين 5 و 20، فيكون حاصل ضرب الطولين 10. كذلك مربع الضرب 100 وحاصل ضرب مربعي الطولين 100؛ الزاوية 0°.

ثم نأخذ B=(−4,−2)، أي −2A. الضرب −10، لكن الطولين لم يتغيرا، وحاصل ضربهما 10. القيمة المطلقة للضرب 10، ومربعه 100؛ تتحقق المساواة نفسها في المتباينة، مع زاوية 180°.

أما المقارنة الموقعية −10 ≤ 10 فهي صحيحة دون مساواة. إذا أردت اختبار مساواة كوشي شفارتز، فافحص القيمة المطلقة أو الصيغة المربعة؛ حذف القيمة المطلقة يغير سؤال المساواة. الصورة الداخلية تضع هذين الاتجاهين في لوحتين مستقلتين، ثم تعرض الحالة الصفرية.

يعرض الجدول B في كل سطر، مع بقاء A=(2,1). العمودان الأخيران هما طرفا المتباينة بعد التربيع، بينما عمود الضرب يحتفظ بالإشارة. الحالة B=(−1,2) تعطي 0 لأن 2 × −1 + 1 × 2 = 0؛ زاويتها 90°، ولكن 0 لا يساوي 25.

المتجه الصفري يحقق المتباينة ولا يعطي زاوية

إذا كان B=(0,0)، فالضرب مع A يساوي 0 وطول B يساوي 0. يتساوى الطرفان 0؛ المتباينة ما زالت صحيحة. لكن محاولة حساب جيب تمام الزاوية بقسمة 0 على 0 لا تعرف عددًا، ولا يصبح اتجاه المتجه الصفري هو اتجاه A تلقائيًا.

في الرسم الداخلي، نعبر عن B الصفري بنقطة عند المبدأ، وليس بسهم نحو اتجاه مختار. يبقى A سهمًا معلوم الاتجاه. ذكر المساواة العددية لا يمنح النقطة زاوية 0° أو 90° أو 180°.

نقارن هنا متجهات حقيقية بالطول الإقليدي المعتاد ومحاور متعامدة. عند نقل مثال إلى حساب آخر، عرّف الضرب والطول قبل استعمال الحد. واحتفظ بالإشارة والقيمة المطلقة والحالة الصفرية في الحل والملخص، لأنها تغير معنى النتيجة.