متوسط مساحتي قاعدتي الهرم الناقص: هل يعطي الحجم؟

متوسط مساحتي قاعدتي الهرم الناقص، مضروبًا في ارتفاعه، لا يعطي حجمه الدقيق. [1][2]

الخلاصة السريعة

المساحة ليست خطية. [2]

• هرم مربع قائم مقطوع بمستوى موازٍ لقاعدته. في مثال مؤلف: ضلعا القاعدتين a=6cm و b=2cm، والارتفاع العمودي h=9cm؛ cm سنتيمتر. عمومًا a>b>0 و h>0. [1]
• من القاعدة الكبرى نعد ارتفاع z؛ عنده ضلع المقطع s(z)=6−4z/9 بالسنتيمتر، و0≤z≤9. المساحة A(z)=s(z)² بالسم²؛ تتغير تربيعيًا، لا خطيًا. [2]
• الحجم V=∫₀⁹A(z)dz؛ القانون V=h(a²+ab+b²)/3 يعطي 9(36+12+4)/3=156cm³. نكامل المساحة، لا طول الضلع. [1][2]
• تقدير الطرفين T=h(a²+b²)/2=9(36+4)/2=180cm³؛ يزيد 24cm³ عن الحجم، لأن متوسط المساحتين ليس متوسط مساحة المقاطع. الخط البرتقالي يصل مساحتي الطرفين. [1][2]
• عند المنتصف z=4.5cm، الضلع 4cm والمساحة 16cm²؛ تقدير المنتصف M=9×16=144cm³، أقل من الحجم بـ12cm³. عمومًا M=h((a+b)/2)². [1][2]
• للشكل نفسه عمومًا، بالطرح: T−V=h(a−b)²/6، و V−M=h(a−b)²/12. الفرق موجب عند a>b؛ لا يكفي خطّية الضلع لاعتبار المساحة خطية. [1][2]

المراجع

1. حجم جذع الهرم
2. طريقة المقاطع

حجم الهرم الناقص

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.