رسم مثلث بضلع وزاويتين مجاورتين: افحص اتجاه الشعاعين

سم زاويتي طرفي الضلع

المعطيات قطعة أ ب وزاويتان مرسومتان عند طرفيها. أطوال أذرع الزاويتين لا تدخل في نقل طول الضلع. [1]

هذه حالة زاوية–ضلع–زاوية: الضلع يصل بين رأسي الزاويتين المعطاتين. [2]

في مثالنا نكتب ثلاث خانات: أ ب=8 سم، أ=45°، ب=60°. لا توجد زاوية معطاة عند ج تحتاج إلى تحويلها إلى زاوية طرف آخر قبل النسخ.

نحتاج طولًا موجبًا وزاويتين موجبتين مجموعهما أقل من180°؛ فالزوايا الداخلية تجمع إلى180° في المستوى. [3] افحص ذلك قبل رسم الأقواس. قاعدة ذات طول صفر لا تعطي رأسين مختلفين، وزاوية صفر لا تعطي مثلثًا ذا مساحة.

نستخدم مستوى إقليديًا ومقياسًا واحدًا. الزاويتان مرسومتان قابلتان للنسخ؛ لا نزعم إمكان إنشاء كل قياس عددي بالفرجار والمسطرة من الصفر. الأعداد والإحداثيات الآتية تحدد نموذجًا مستقلاً لفحص اتجاهات الرسم.

انقل القاعدة وانسخ الزاويتين

اختر أ وانقل من القطعة المعطاة طول أ ب بالفرجار، ثم حدد ب وارسم القاعدة. انسخ زاوية أ عند أ وزاوية ب عند ب. [1]

للنسخ ارسم قوسًا يقطع ذراعي الزاوية، وكرره بالفتحة نفسها عند الرأس الجديد. انقل المسافة المستقيمة بين علامتي القوس إلى القوس الجديد، وارسم الشعاع من الرأس خلال العلامة الناتجة. [1]

في مثال القاعدة الأفقية ننسخ45° من أ ب إلى أعلى؛ عند ب نبدأ من ب أ، أي من الاتجاه المتجه يسارًا، وننسخ60° إلى أعلى أيضًا. اتجاه الشعاع الثاني عن المحور السيني الموجب هو180°−60°=120°، وليس60°.

اختر الشعاعين في نصف المستوى نفسه بالنسبة إلى القاعدة. إذا قررت رسم النسخة أسفلها، اعكس اختياري النسخ معًا؛ لا تجعل أحد الشعاعين فوق القاعدة والآخر تحتها ثم تبحث عن رأس مشترك.

مد الشعاعين إلى الأمام حتى يلتقيا؛ التقاطع ج هو الرأس الثالث. القاعدة المنقولة والزاويتان المنسوختان تحقق المعطيات. [2]

احتفظ بسهم من أ إلى ب وسهم من ب إلى أ لتعرف مرجع كل زاوية.

راجع تقاطع مثال8 سم حسابيًا

نضع أ=(0،0) وب=(8،0)، والإحداثيات بالسم. شعاع أ ذو اتجاه45° معادلته ص=س، س≥0. شعاع ب ذو اتجاه120° معادلته ص=√3(8−س)، س≤8. القيدان يمثلان الشعاعين المختارين، لا المستقيمين كاملين.

عند التقاطع س=√3(8−س)، إذن س(1+√3)=8√3. بضرب البسط والمقام في√3−1 نحصل على س=4(3−√3)، وص=س. لذلك ج≈(5.071797،5.071797). تقع س بين0 و8، وص موجبة، فتتحقق جهتا الشعاعين.

طول أ ج يساوي√(س²+ص²)=√2 س=4√2(3−√3) سم. ولأن8−س=4(√3−1)، وص=√3(8−س)، فإن ب ج=√((8−س)²+ص²)=2(8−س)=8(√3−1) سم. نبقي صيغ الجذور دقيقة، ونستعمل التقريب لقراءة موضع ج فقط.

المتجه أ ج له مركبتان متساويتان موجبتان، فيؤكد45°. عند ب، المتجه ب أ=(−8،0)، والمتجه ب ج=(س−8،ص). قسمة حاصل ضربهما8(8−س) على حاصل الطولين8×2(8−س) تعطي1/2، أي إن زاوية ب تساوي60°.

تكون زاوية ج=180°−45°−60°=75°. النسخة السفلية ج′=(4(3−√3)،−4(3−√3)) تحافظ على مربعات الأطوال نفسها. ليست ج′ خطأ إذا نسخت الزاويتين معًا نحو الأسفل؛ الخطأ هو تغيير مرجع زاوية ب أو قبول تقاطع خلف الاتجاه المطلوب.

لا نستنتج دقة فرجار فعلي من الصورة. هندسة المخطط بالإحداثيات تؤكد المثال الرياضي؛ عند العمل على الورقة راجع ثبات فتحة النقل ووضوح العلامات ومرجع كل زاوية.

مجموع180 أو210 درجة: لماذا لا يوجد رأس؟

إذا تجاوز مجموع الزاويتين180° لا يلتقي الشعاعان المطلوبان لتكوين المثلث. [2] وعند مساواته180° لا تبقى زاوية ثالثة موجبة. [3] نفحص حالتين على القاعدة نفسها ذات الطول8 سم.

في الأولى أ=60° وب=120°. اتجاه شعاع أ العلوي60°، واتجاه شعاع ب العلوي180°−120°=60°. معادلتا المستقيمين ص=√3س وص=√3(س−8). لو تساوت قيمتا ص لنفس س للزم0=−8√3، وهذا مستحيل. هما متوازيان ومختلفان؛ تمديدهما لا يحل المشكلة.

في الثانية أ=120° وب=90°. شعاع أ العلوي يتجه يسارًا: ص=−√3س مع س≤0. شعاع ب رأسي إلى أعلى: س=8 مع ص≥0. لا توجد نقطة تحقق س≤0 وس=8 معًا، لذا لا تقاطع للشعاعين.

المستقيمان الحاملان في الحالة الثانية يتقاطعان بالفعل عند(8،−8√3). لكن هذه النقطة ذات س موجبة خلف شعاع أ، وص سالبة خلف شعاع ب. وصلها بالرأسين يرسم مثلثًا آخر بزاوية30° عند أ و90° عند ب و60° عند رأسه السفلي؛ لا يحقق أ=120°.

الفرق بين شعاع ومستقيم حاسم: المستقيم يقبل الامتدادين، أما الشعاع فيبدأ من الرأس ويتبع اتجاهًا واحدًا. اكتب قيد اتجاه كل شعاع بجانب معادلته قبل قبول تقاطع حسابي أو مرئي. عدم تحقق القيد سبب كاف لرفض النقطة، ولو كانت على المستقيمين.

قبل اعتماد الرسم راجع طول القاعدة وأسماء زاويتي طرفيها ومجموعهما، ثم تحقق أن ج أمام الرأسين وفي نصف المستوى المختار. لا تستبدل الشعاعين بامتدادين خلفيين لتجاوز بيانات غير صالحة.