محيط شكل من مربعات متجاورة: لماذا نطرح الحواف المشتركة مرتين؟

حدد نوع الشكل الذي سنعده

يعرّف درس Oak National Academy الشكل المركب بأنه مكوّن من شكلين أساسيين أو أكثر، ويصف الشكل المركب المستقيم الأضلاع بأنه مكوّن من مستطيلات. وينبّه إلى أن اختصار مضاعفة الطول والعرض لا يعمل دائمًا عند التداخل. سنبني مسألتنا من مربعات مرسومة دون تداخل، ونعد حدودها مباشرة. ^[1]

في ورقتنا، كل خلية مربع طول ضلعه وحدة واحدة على شبكة مربعة واحدة. لا يشترك مربعان في مساحة داخلية، ويكون التلامس المستخدم في تركيب الشكل على ضلع كامل. نختار شكلًا متصلًا بلا ثقوب، ونريد طول حدوده الخارجية. هذه الشروط جزء من السؤال؛ إذا تغيرت، لا تستعمل الإجابة المكتوبة من غير مراجعة.

سنقول حافة مشتركة عندما يقع ضلع كامل بين خليتين متجاورتين. نعد هذا الموضع مرة واحدة، مهما أمكن رؤيته من الجهتين. وسنقول حافة خارجية عندما يكون في جهة منها مربع من شكلنا، وفي الجهة الأخرى لا توجد خلية من الشكل. كل حافة في النموذج طولها وحدة واحدة، فيتحول العد إلى طول.

لماذا لا نجمع محيطات المربعات مباشرة؟

ابدأ بمربعين متجاورين على ضلع واحد. قبل التجاور، يعطي جمع أربعة أضلاع لكل مربع ثماني وحدات. بعد التركيب، تجد حول الشكل ست حواف وحدة: اثنتين أعلى، واثنتين أسفل، وواحدة عند كل طرف. أما الفاصل بين المربعين فليس من الحدود الخارجية. الفرق بين ثمانية وستة وحدتان، مع أن الفاصل نفسه طوله وحدة واحدة.

السبب أن هذا الضلع ظهر في حساب المربع الأول، ثم ظهر مرة أخرى في حساب المربع الثاني. لحذفه من جمع المحيطات علينا إزالة النسختين، لا نسخة واحدة. لذلك لا نطرح طول الحافة المشتركة مرة فقط. يرسم الشكل الداخلي الخط المشترك متقطعًا، ويترك الحدود الخارجية متصلة؛ اختلاف الخطين يوضح وظيفتهما حتى دون الاعتماد على اللون.

جرب الخطأ المقابل: إذا طرحت وحدتين ثم عدت الفاصل مرة ثانية بوصفه حافة مشتركة أخرى، ستحصل على أربع وحدات بدل ست. لقد حذفت الشيء نفسه مرتين. اكتب علامة واحدة عند الموضع المشترك في قائمة الحصر، ثم احتفظ بعامل الاثنين في الحساب؛ لا تجمع الطريقتين.

برهان العد في النموذج العام

لنرمز إلى عدد الخلايا بالحرف N، وإلى عدد مواضع الحواف المشتركة بالحرف E. عند عد أربعة أضلاع لكل خلية، نحصل على 4N. في هذا الجمع تظهر كل حافة خارجية مرة، وكل حافة مشتركة مرتين. إذا حذفنا نسختي كل موضع مشترك، يبقى عدد الحواف الخارجية وحده. إذن حساب نموذجنا هو P=4N−2E، حيث P المحيط بوحدات الطول.

هذا استنتاج من طريقة العد، وليس قاعدة نطلب منك حفظها قبل رؤية السبب. نحتاج معرفة E من ترتيب الخلايا، لا من عددها فقط. تستطيع حصره صفًا صفًا: ابحث عن كل زوج متجاور أفقيًا، ثم عن كل زوج متجاور رأسيًا. سجل كل موضع واحدًا، ولا تعد الجهة اليمنى واليسرى للموضع نفسه موضعين مختلفين.

ولا يساوي عدد الحواف المشتركة عدد خطوط الرسم الطويلة. قد يجمع خط واحد عدة مقاطع وحدة بين خلايا متجاورة؛ نفصلها حسب الخلايا. عرّف ما تعده أولًا، ثم قارنه بحدود الرسم؛ بهذه الخطوة يبقى للحرفين معنى واحد طوال الحل.

خمس خلايا ومساحة واحدة ومحيطان

النموذج الأول صف أفقي من خمس خلايا. بين كل خليتين متتاليتين حافة مشتركة، فتوجد أربع حواف: الأولى مع الثانية، والثانية مع الثالثة، والثالثة مع الرابعة، والرابعة مع الخامسة. نعوض N=5 وE=4، فينتج 4×5−2×4=12. وللتحقق المباشر، نعد خمس وحدات أعلى وخمسًا أسفل ووحدة عند كل طرف، فنجمع اثنتي عشرة.

النموذج الثاني يبدأ بمستطيل من صفين وثلاثة أعمدة، ونترك خانة الركن السفلي الأيمن فارغة. الخلايا الباقية خمس. في الصف الأعلى حافتان مشتركتان، وفي الأسفل حافة واحدة، وبين الصفين حافتان؛ المجموع خمس. لذلك يكون المحيط 4×5−2×5=10. تابع الحدود حول الركن الناقص لتتحقق؛ لا تحسب الخط الذي يفصل خليتين ممتلئتين.

في كل نموذج خمس خلايا لا تتداخل، ولذلك مساحته خمس وحدات مربعة داخل ورقتنا. لكن المحيطين مختلفان، لأن ترتيبها غيّر عدد الحواف المشتركة. احتفظ بعمود للمساحة وآخر للمحيط كي لا تنتقل وحدة أحدهما إلى الآخر.

حدود الطريقة وأخطاء تطبيقها

لو تلامس مربعان عند زاوية فقط، فلا توجد بينهما حافة كاملة من النوع الذي عرّفناه، كما أنهما لا يصنعان نموذج اتصالنا المختار. ولو وضعنا مربعًا فوق جزء من آخر، تتداخل المساحتان ويصبح عد أربع حواف لكل خلية وصفًا مختلفًا. لذلك نستبعد هذه الرسوم من التمرين، بدل إدخال رقم تقريبي للحواف المشتركة.

نستبعد أيضًا الأشكال ذات الثقوب. حساب المقاطع التي تفصل الخلايا عن الفراغ قد يشمل حدود ثقب داخلي، بينما سؤالنا يطلب الحد الخارجي فقط. لا تعالج هذا الفرق بإهمال خطوط عشوائية في الرسم؛ عد إلى تعريف المطلوب وافرض الشروط قبل الحساب. لا توجد ثقوب في الصف أو نموذج الركن الناقص، فالفراغ عند الركن مفتوح على الخارج.

أضف خلية ثم تحقق من التغيير

ابدأ بالصف ذي الخمس خلايا ومحيطه اثنتي عشرة. أضف خلية عند الطرف، فتكون قد أضفت أربعة أضلاع إلى الجمع الأول، وأضفت موضعًا مشتركًا واحدًا نحذف عنه وحدتين. الزيادة الصافية وحدتان، والمحيط الجديد أربع عشرة. تحقق مباشرة من الصف الجديد: ست وحدات أعلى، وست أسفل، ووحدة عند كل طرف.

وفي الشكل المتراص، أعد الخلية إلى الركن الناقص. تضيف أربعة أضلاع، لكن الخلية الجديدة تشارك ضلعين كاملين مع الشكل القديم، فنحذف أربع وحدات من الجمع. لا يتغير المحيط، ويبقى عشرًا، مع ارتفاع عدد الخلايا إلى ست. قارنه بمستطيل الصفين والثلاثة أعمدة كاملًا. في ورقتك اكتب عدد الخلايا قبل التغيير وبعده، والحواف الجديدة، ثم فسّر لماذا اختلف أثر الإضافتين.