مربع داخل مثلث قائم: هل الوتر أفضل قاعدة؟

لحساب مربع داخل مثلث قائم، تتغير القاعدة والارتفاع معًا عند اختيار الوتر. سنقارن وضعين في المثلث نفسه. [4]

الخلاصة السريعة

مربع الزاوية القائمة أكبر من مربع الوتر ضمن الوضعين المحددين أدناه. [2]

ساقان a,b>0 منتهيتان، والوتر c، بالسنتيمتر. ندرس مربعًا داخل المثلث؛ ضلع كامل على أحد أضلاعه والرأسان الآخران على الضلعين الباقيين، مع السماح بالتماس. [1]
لقاعدة طولها ℓ وارتفاع عمودي h، التشابه يعطي ضلع المربع s=ℓh/(ℓ+h) سم؛ عرض المقطع على ارتفاع s يساوي ℓ(1−s/h). [3]
على ساق: s_leg=ab/(a+b). على الوتر: الارتفاع h=ab/c، و s_hyp=abc/(c²+ab). اختيار الساق الأخرى يعيد مربع الزاوية نفسه. [4]
من c²=a²+b² نجد (c²+ab)²−c²(a+b)²=a²b²>0؛ إذن s_hyp/s_leg=c(a+b)/(c²+ab)<1. الموجبية تحفظ المقارنة بعد التربيع. [2]
مثالنا بساقين 35,12 ووتر 37 سم: الضلعان 420/47≈8.936170 و15540/1789≈8.686417 سم؛ المساحتان نحو 79.855138 و75.453840 سم² بالترتيب. [2][3][4]
المقارنة صارمة لكل ساقين موجبتين. نقارن المربعين القياسيين المحددين فقط؛ لم نبحث كل المربعات حرة الاتجاه، ولا المربعات ذات رؤوس على امتدادات الأضلاع. [1]

حدد المربعين اللذين نقارنهما

ضع رأس الزاوية القائمة عند (0,0)، والطرفين عند (a,0) و(0,b). المربع الأول يشترك مع هذا الرأس وضلعين على الساقين. الثاني له ضلع على الوتر ورأسان على الساقين. [1]

استخرج الضلع من التشابه

ارسم قطعة موازية للقاعدة على بعد s. المثلث فوقها مشابه للأصل، وارتفاعه h−s؛ فنسبة العرض للقاعدة (h−s)/h. لتساوي العرض والارتفاع نحل s=ℓ(h−s)/h، فنحصل على s(ℓ+h)=ℓh. الحل موجب وأصغر من h وℓ. [3]

بدل القاعدة وارتفاعها معًا

عند اختيار الساق a قاعدة، ارتفاعها b؛ مبادلتهما لا تغير ab/(a+b). وعند اختيار الوتر قاعدة، مساحة المثلث نفسها تحقق ab/2=ch/2، لذلك h=ab/c. التعويض يعطي s_hyp=abc/(c²+ab)؛ لا تستعمل إحدى الساقين بدل ارتفاع الوتر العمودي. [4]

برهان المقارنة الصارمة

نقسم الضلعين الموجبين فنحصل على النسبة المذكورة في الخلاصة. بتوسيع مربع المقام وطرح مربع البسط، ثم استعمال فيثاغورس، يبقى a²b². لأنه موجب، المقام أكبر من البسط، والنسبة أصغر من واحد. هذا برهان لجميع الساقين الموجبتين؛ لا يعتمد على مظهر المثال. [2]

مثال بأطوال دقيقة

نختار 35,12,37 سم؛ تحقق 35²+12²=37². ارتفاع الوتر 420/37 سم. نسبة الضلعين الدقيقة 1739/1789، ونسبة المساحتين مربعها. احسب المساحة من الكسر الدقيق قبل التقريب؛ مساحة مربع الساق 176400/2209 سم²، ومربع الوتر 241491600/3200521 سم². [2][3][4]

المقطع الموازي وحد المربع — التشابه يحدد العرض. [3]

ما حدود النتيجة؟

ضلع المربع على ضلع المثلث شرط. الشكل الذي يلامس خطوطًا ممتدة خارج المثلث لا يحقق الاحتواء. والرسمان يبينان وضعين صالحين بالمقياس نفسه؛ لا يثبتان حكمًا عن جميع الاتجاهات الممكنة. إذا انعدمت ساق، انعدم المثلث وخرج من فرضياتنا. [1]

المراجع

راجع تشابه المثلثات

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.